4.2.1对数的运算性质课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件核心内容为对数的运算性质，课堂从指数与对数的逆运算关系切入，通过具体对数算式引导学生猜想性质，新知初探明确运算公式及条件，自我诊断夯实基础，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以数学抽象和数学运算为核心，通过情境探究、例题精析（如对数式化简、方程求解）及通性通法总结，培养学生逻辑推理能力。分层设计（诊断、例题、跟踪）帮助学生逐步掌握运算技能，教师可直接用于课堂教学提高效率，学生能提升数学思维与解题能力。

2.1　对数的运算性质 新课程标准解读 核心素养 理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算 数学抽象、数学运算 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与 对数的关系以及指数运算性质中，得出相应对数的运算性质吗？同学 们能否大胆猜想一下对数的运算性质呢？ 【问题】　观察下列各式，你能从中猜想出什么结论？ 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）log2（2×4）＝log22＋log24＝3； （2）log3（3×9）＝log33＋log39＝3； （3）log2（4×8）＝log24＋log28＝5. ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点　对数的运算性质 若 a ＞0，且 a ≠1， M ＞0， N ＞0， b ∈R，那么： （1）log a （ M · N ）＝ ⁠； （2）log a ＝ ⁠； log aM ＋log aN 　 log aM －log aN 　 （3）log aMb ＝ ⁠. b log aM 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 提醒　（1）性质的逆运算仍然成立；（2）公式成立的条件是 M ＞0， N ＞0，而不是 MN ＞0，比如式子log2[（－2）·（－ 3）]有意义，而log2（－2）与log2（－3）都没有意义；（3）性 质（1）可以推广为：log a （ N1· N2·…· Nk ）＝log aN1＋log aN2 ＋…＋log aNk ，其中 Nk ＞0， k ∈N＋. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）log2 x2＝2log2 x . （　×　） （2）log a [（－2）×（－3）]＝log a （－2）＋log a （－3）. （　×　） （3）log a （ xy ）＝log ax ·log ay . （　×　） 2.2log510＋log50.25＝（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 解析：　原式＝log5（100×0.25）＝log525＝2.故选C. × × × 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 计算：（1）lg ＋lg ＝ 　 　； 解析：lg ＋lg ＝lg（ × ）＝lg ＝lg 1 ＝ . （2）log345－log35＝ ⁠； 解析：log345－log35＝log3 ＝log39＝log332＝2. （3）log2（23×45）＝ ⁠. 解析：log2（23×45）＝log223＋log245＝3＋5log24＝3＋ 5log222＝3＋5×2＝13. 　 2　 13　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 对数式的运算 【例1】　计算下列各式的值： （1）log2 ＋log224－ log284； 解：法一　原式＝log2 ＝log2 ＝－ . 法二　原式＝ log2 ＋log2（23×3）－ log2（22×3×7）＝ log27－ log2（25×3）＋3＋log23－1－ log23－ log27＝－ ×5－ log23＋2＋ log23＝－ ＋2＝－ . 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）lg 52＋ lg 8＋lg 5·lg 20＋（lg 2）2. 解：原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×（1＋lg 2）＋（lg 2）2 ＝2（lg 5＋lg 2）＋lg 5＋lg 2（lg 5＋lg 2） ＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 对数式化简与求值的基本原则和方法 （1）基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进 行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着 便于真数化简的原则进行； （2）两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和（差）收成 积（商）的对数；②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两 对数的和（差）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　计算：（1）log3 ＋lg 25＋lg 4＋ ＋（－9.8）0； 解：原式＝log3 ＋lg 52＋lg 22＋ ＋1＝ ＋2lg 5＋2lg 2＋ ＝3＋2（lg 5＋lg 2）＝3＋2lg 10＝3＋2×1＝5. （2）2log32－log3 ＋log38－ . 解：原式＝2log32－（log325－log332）＋log323－ ＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 用已知对数式求值 【例2】　用log ax ，log ay ，log az 表示下列各式： （1）log a （ x2 yz ）； 解：log a （ x2 yz ）＝log ax2＋log ay ＋log az ＝2log ax ＋log ay ＋log az . 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）log a ； 解：log a ＝log ax2－log a （ yz ）＝2log ax －（log ay ＋log az ）＝ 2log ax －log ay －log az . （3）log a . 解：log a ＝log a －log a （ y2 z ）＝ log ax －2log ay －log az . 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　用已知对数式求值的关键是充分利用对数运算的性质将要表示的 对数式变形. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 已知 a ＝log32，用 a 来表示log38－2log36为（　　） A. a －2 B. 5 a －2 C. 3 a －（1＋ a ）2 D. 3 a － a2－1 解析：　log38－2log36＝3log32－2（log32＋log33）＝3 a －2（ a ＋ 1）＝ a －2. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 对数方程 【例3】　方程log2（9 x －5）＝2＋log2（3 x －2）的解为 x ＝ ⁠. 解析：原方程可化为log2（9 x －5）＝log2[4（3 x －2）]， ∴9 x －5＝4（3 x －2）＞0，3 x ＞2，∴（3 x ）2－4×3 x ＋3＝0，∴（3 x －3）（3 x －1）＝0， ∵3 x ＞2，∴3 x ＝3，即 x ＝1. 1　 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 1. （变条件）本例条件变为“log2（9－2 x ）＝3－ x ”，求 x 的值. 解：∵log2（9－2 x ）＝3－ x ，∴log2（9－2 x ）＝log223－ x ，∴9－2 x ＝23－ x ，可化简为9－2 x ＝ ， 令2 x ＝ t （ t ＞0），可得9－ t ＝ ，化简为 t （9－ t ）＝8， 即 t2－9 t ＋8＝0，∴（ t －1）（ t －8）＝0，解得 t1＝1， t2＝8， ∴2 x ＝1或8，解得 x ＝0或3. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （变条件）本例条件变为“ ＝9”，求 x 的值. 解：∵ ＝9，∴ ＝9，且2 x －1＞0， ∴（2 x －1）2＝9，∴2 x －1＝3（2 x －1＝－3舍去），解得 x ＝2. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 对数方程的类型及一般解法 （1）log af （ x ）＝log ag （ x ）：可利用对数性质化为一般方程 f （ x ）＝ g （ x ）＞0求解； （2） p （log ax ）2＋ q log ax ＋ r ＝0：利用换元法，设 t ＝log ax ，化为 一元二次方程 pt2＋ qt ＋ r ＝0求解. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 已知log（ x＋3）（ x2＋3 x ）＝1，则实数 x ＝ ⁠. 解析：由对数的性质，得 解得 x ＝1，故实数 x 的值为1. 1　 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 计算2log63＋log64＝（　　） A. 2 B. log62 C. log63 D. 3 解析：　2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 若lg x ＝1－lg 5，则 x ＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　因为lg x ＝1－lg 5，所以lg x ＋lg 5＝lg 5 x ＝1，即5 x ＝ 10，解得 x ＝2.故选B. 3. 若lg 2＝ m ，则lg 5＝（　　） A. m C. 1－ m 解析：　lg 5＝lg ＝lg 10－lg 2＝1－ m . 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 方程lg（2 x ＋1）＋lg x ＝1的解为 ⁠. 解析：由题得lg[（2 x ＋1） x ]＝1＝lg 10，所以 x （2 x ＋1）＝ 10，所以2 x2＋ x －10＝0，解得 x ＝2或 x ＝－ .经检验，当 x ＝－ 时，原方程没有意义， x ＝2满足方程. x ＝2　 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 求下列各式的值： （1）ln e2； 解：ln e2＝2ln e＝2. （2）log3e＋log3 ； 解：log3e＋log3 ＝log3（e· ）＝log33＝1. （3）lg 50－lg 5. 解：lg 50－lg 5＝lg ＝lg 10＝1. 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $