精品解析：山东省青岛市胶州市瑞华初级中学2021—2022学年八年级下学期 第二次月考数学试卷

2021-2022八年级数学第二学期第二次质量测试题 （时间：90分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各式：，，，，，其中分式共有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式； ，的分母中含有字母，因此是分式，分式共有2个； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的定义，解题的关键是明确分式分母中必须含有字母． 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据分式的基本性质及符号变化规律判断各选项等式是否成立． 【详解】解：选项A：将的分子、分母同乘，得，与不相等，等式不成立； 选项B：无法分解为含因式的整式，不能约分得，等式不成立； 选项C：将的分母提取，得，与右侧相等，等式成立； 选项D：将的分子分母同时乘以，得，与不相等，等式不成立． 3. 把分式的分子、分母中的x、y同时扩大2倍，则分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 变为原来的 D. 不改变 【答案】A 【解析】 【分析】将、替换为、后代入分式化简，与原分式比较． 【详解】解：将、同时扩大2倍后，新分式为，分式的值扩大2倍． 4. 方程的解是（ ） A. B. 3 C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：， 方程的两边同乘，得：， 移项得：， 合并同类项可得：, ∴. 检验：把代入， ∴原方程的解为． 故选C． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根． 5. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由因式分解的运算法则分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，不是因式分解；故A错误； B、，不是因式分解；故B错误； C、，不是因式分解；故C错误； D、，是因式分解；故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行解题． 6. 小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程． 【详解】解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时， 故选A． 7. 无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：当a=0时，a2=0，故A、B中分式无意义； 当a=-1时，a+1=0，故C中分式无意义； 无论a取何值时，a2+1≠0， 故选D． 8. 如图，在中，，，平分交于E，于D．下列结论：①；②点E在线段的垂直平分线上；③；④．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定定理、直角三角形的性质判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的个数为4个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 把多项式n（n﹣2）+m（2﹣n）分解因式的结果是_____． 【答案】（n﹣2）（n﹣m）． 【解析】 【分析】用提取公因式法分解因式即可． 【详解】n（n﹣2）+m（2﹣n）= n（n﹣2）-m（n-2）=（n﹣2）（n﹣m）． 故答案为（n﹣2）（n﹣m）． 【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解；一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 10. 分式当x __________时,分式的值为零． 【答案】= -3 【解析】 【分析】根据分子为0，分母不为0时分式的值为0来解答． 【详解】根据题意得： 且x-3 0 解得：x= -3 故答案为= -3 【点睛】本题考查的是分式值为0的条件，易错点是只考虑了分子为0而没有考虑同时分母应不为0． 11. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是___________． 【答案】－1 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把增根x＝3代入整式方程，即可求得相关字母的值． 【详解】解：分式方程， 去分母得：， 由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3， 把x＝3代入整式方程得：， 解得：m＝－1， 故答案：－1． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 12. “绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化环境，某区计划对长米的河道进行整治，原计划每天修米，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时，每天的工作效率比原计划提高，那么实际整治这段河道的工期比原计划缩短了_____天．（结果化为最简分式） 【答案】 【解析】 【分析】根据原计划工期实际工期缩短的工期即可解答． 【详解】解：∵河道长米，计划每天修米， ∴计划所用时间为天， ∵实际施工每天的工作效率比原计划提高， ∴实际所用时间为天， ∴实际整治这段河道的工期比原计划缩短了（天）． 13. 某工厂原计划在规定时间内生产12000个零件，实际每天比原计划多生产100个零件，结果比规定时间节省了．若设原计划每天生产x个零件，则根据题意可列方程为_____． 【答案】- 【解析】 【分析】设原计划每天生产x个零件，则根据时间差关系可列出方程. 【详解】设原计划每天生产x个零件，根据结果比规定时间节省了． 可得 - 故答案为 - 【点睛】理解工作问题，从时间关系列出方程. 14. 如图（1），△AB1C1是边长为1的等边三角形；如图（2），取AB1的中点C2，画等边三角形AB2C2，连接B1B2；如图（3），取AB2的中点C3；画等边三角形AB3C3，连接B2B3；如图（4），取AB3的中点C4，画等边三角形AB4C4，连接B3B4，则B3B4的长为_____．若按照这种规律一直画下去，则BnBn+1的长为_____（用含n的式子表示） 【答案】 ①. ， ②. 【解析】 【分析】过点C2作C2D⊥B1B2于点D，根据锐角三角函数的定义得出B1D的长，进而得出B1B2的长，同理可得出B2B3的长，找出规律即可得出结论． 【详解】如图，过点C2作C2D⊥B1B2于点D， ∵△AB1C1是边长为1的等边三角形，C2是AB1的中点， ∴B1C2＝B2C2＝． ∵△AB2C2是等边三角形， ∴∠B1C2B2＝120°，B1C2＝B2C2， ∴∠DB1C1＝∠DB2C2＝30°， ∴B1D＝B1C2•cos30°＝， ∴B1B2＝2B1D＝， 同理可得，B2B3＝，B3B4＝…， ∴BnBn+1＝． 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，求出B1B2的长，找出规律是解答此题的关键． 三、计算题（15题共8分，16题16分，17、18、19、20题每题8分，21题10分，22题12分，共78分） 15. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）提出公因式即可； （2）先提出公因式，再根据完全平方公式解答． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 16. 化简： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同时除以，得， 经检验，是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解． 18. 先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】，原式 【解析】 【分析】先利用平方差公式通分，再用完全平方公式因式分解并约分完成分式化简，最后根据已知比例关系整体代换求出代数式的值． 【详解】解： ， 当，即时， 原式． 19. 如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF． （1）求证：AF＝DE； （2）若OM平分∠EOF，求证：OM⊥EF． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定和性质即可证明； （2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB=∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论． 【详解】证明：（1）∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△DCE中，， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）， ∴AF＝DE； （2）由（1）得：Rt△ABF≌Rt△DCE， ∴∠AFB＝∠DEC， ∴OE＝OF， ∵OM平分∠EOF ∴OM⊥EF． 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定和性质及等腰三角形的性质，熟练应用三角形全等的判定和性质是解题的关键． 20. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，将△ABC沿CA方向平移4cm得到△EFA，连接BE，BF；BE与AF交于点G (1)判断BE与AF的位置关系，并说明理由； (2)若∠BEC＝15°，求四边形BCEF的面积． 【答案】（1）BE⊥AF，理由详见解析；（2）12. 【解析】 【分析】（1）由△ABC沿CA方向平移4cm得到△EFA，即可得BF＝CA＝AE，AB＝EF，又由AB＝AC，证得AB＝BF＝EF＝AE，根据有四条边都相等的四边形是菱形，即可证得四边形ABFE是菱形，再根据菱形的对角线互相垂直可得BE⊥AF； （2）首先作BM⊥AC于点M，由AB＝AE，∠BEC＝15°，求得∠BAC＝30°，那么BM＝AB＝2cm，然后利用梯形的面积公式即可求得四边形BCEF的面积． 【详解】解：（1）BE⊥AF．理由如下： ∵将△ABC沿CA方向平移4cm得到△EFA， ∴BF＝CA＝AE＝4cm，AB＝EF． ∵AB＝AC， ∴AB＝BF＝EF＝AE， ∴四边形ABFE是菱形， ∴BE⊥AF； （2）作BM⊥AC于点M． ∵AB＝AE，∠BEC＝15°， ∴∠ABE＝∠AEB＝15°， ∴∠BAC＝30°． ∴BM＝AB＝2cm． ∵BF＝CA＝AE＝4cm， ∴四边形BCEF的面积＝（BF+CE）•BM ＝×12×2 ＝12． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质，平移的性质，等腰三角形的性质，梯形面积的求法等知识．此题难度不大，掌握平移的性质是解题的关键． 21. 随着人们环保意识的增强，越来越多的人选择低碳出行，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行五月份型车的销售总利润为元，型车的销售总利润为元．且型车的销售数量是型车的倍，已知销售型车比型车每辆可多获利元． （1）求每辆型车和型车的销售利润； （2）若该车行计划一次购进两种型号的自行车共台且全部售出，其中型车的进货数量不超过型车的倍，则该车行购进型车、型车各多少辆，才能使销售总利润最大？最大销售总利润是多少？ 【答案】（1）每辆A型车的利润为120元，每辆B型车的利润为170元．（2）商店购进34台A型车和66台B型车，才能使销售总利润最大，最大利润是15300元． 【解析】 【分析】（1）设每台A型车的利润为x元，则每台B型车的利润为（x+50）元，根据题意得×2； （2）设购进A型车a台，这100辆车的销售总利润为y元，据题意得，y＝120a+170（100﹣a），即y＝﹣50a+17000，再由B型车的进货数量不超过A型车的2倍确定a的取值范围，然后可得最大利润． 【详解】解：（1）设每台A型车的利润为x元，则每台B型车的利润为（x+50）元， 根据题意得×2， 解得x＝120． 经检验，x＝120是原方程的解， 则x+50＝170． 答：每辆A型车的利润为120元，每辆B型车的利润为170元． （2）设购进A型车a台，这100辆车的销售总利润为y元， 据题意得，y＝120a+170（100﹣a），即y＝﹣50a+17000， 100﹣a≤2a， 解得a≥33， ∵y＝﹣50a+17000， ∴y随a的增大而减小， ∵a为正整数， ∴当a＝34时，y取最大值，此时y＝﹣50×34+17000＝15300． 即商店购进34台A型车和66台B型车，才能使销售总利润最大，最大利润是15300元． 【点睛】根据题意列出分式方程和不等式．理解题意，弄清数量关系是关键． 22. 如图1，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接，． （1）用含t的代数式表示下列线段：________，________，________； （2）如图2，连接，交于点O，设y为与的周长差，求y与t的函数关系式，并求当t为何值时，与的周长相等． （3）是否存在某一时刻，使得为直角三角形？若存在，请直接写出值；不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2）当时，，当时，；当时，与的周长相等 （3）当为秒或秒时，为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）由题意得，，由，得，得，由，得； （2）由（1）得，由且得四边形为平行四边形，故，得，分情况讨论得表达式；当时，此时两三角形周长相等； （3）为直角三角形时，分和两种情况，利用直角三角形所对直角边等于斜边的一半，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ，即，， ， 四边形是平行四边形， ， 的周长为,的周长为， ， ∴当时，； 当时，． 当时，，解得， 当时，与的周长相等； 【小问3详解】 解：①如图，当时， ， ， ，， ，且， 可得，解得； ②如图，当时， 由（2）得四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 可得，解得， 因此，当为秒或秒时，为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022八年级数学第二学期第二次质量测试题 （时间：90分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各式：，，，，，其中分式共有（ ）个． A. B. C. D. 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 把分式的分子、分母中的x、y同时扩大2倍，则分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 变为原来的 D. 不改变 4. 方程的解是（ ） A. B. 3 C. D. 无解 5. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得 A. B. C. D. 7. 无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，平分交于E，于D．下列结论：①；②点E在线段的垂直平分线上；③；④．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 把多项式n（n﹣2）+m（2﹣n）分解因式的结果是_____． 10. 分式当x __________时,分式的值为零． 11. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是___________． 12. “绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化环境，某区计划对长米的河道进行整治，原计划每天修米，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时，每天的工作效率比原计划提高，那么实际整治这段河道的工期比原计划缩短了_____天．（结果化为最简分式） 13. 某工厂原计划在规定时间内生产12000个零件，实际每天比原计划多生产100个零件，结果比规定时间节省了．若设原计划每天生产x个零件，则根据题意可列方程为_____． 14. 如图（1），△AB1C1是边长为1的等边三角形；如图（2），取AB1的中点C2，画等边三角形AB2C2，连接B1B2；如图（3），取AB2的中点C3；画等边三角形AB3C3，连接B2B3；如图（4），取AB3的中点C4，画等边三角形AB4C4，连接B3B4，则B3B4的长为_____．若按照这种规律一直画下去，则BnBn+1的长为_____（用含n的式子表示） 三、计算题（15题共8分，16题16分，17、18、19、20题每题8分，21题10分，22题12分，共78分） 15. 因式分解： （1） （2） 16. 化简： （1） （2） （3） （4） 17. 解方程： （1） （2） 18. 先化简，再求值：已知，求的值． 19. 如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF． （1）求证：AF＝DE； （2）若OM平分∠EOF，求证：OM⊥EF． 20. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，将△ABC沿CA方向平移4cm得到△EFA，连接BE，BF；BE与AF交于点G (1)判断BE与AF的位置关系，并说明理由； (2)若∠BEC＝15°，求四边形BCEF的面积． 21. 随着人们环保意识的增强，越来越多的人选择低碳出行，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行五月份型车的销售总利润为元，型车的销售总利润为元．且型车的销售数量是型车的倍，已知销售型车比型车每辆可多获利元． （1）求每辆型车和型车的销售利润； （2）若该车行计划一次购进两种型号的自行车共台且全部售出，其中型车的进货数量不超过型车的倍，则该车行购进型车、型车各多少辆，才能使销售总利润最大？最大销售总利润是多少？ 22. 如图1，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接，． （1）用含t的代数式表示下列线段：________，________，________； （2）如图2，连接，交于点O，设y为与的周长差，求y与t的函数关系式，并求当t为何值时，与的周长相等． （3）是否存在某一时刻，使得为直角三角形？若存在，请直接写出值；不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $