精品解析：山东省青岛市胶州市第六中学2021—2022学年八年级下学期第二次月考数学试卷

八年级数学下学期第二次阶段性质量检测 一、选择题：（每题3分，共42分） 1. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项的变形是整式乘法，为因式分解的逆过程，不符合要求； B选项的变形是整式乘法，为因式分解的逆过程，不符合要求； C选项的右边不是整式积的形式，不符合要求； D选项将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义. 2. 把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后，余下的部分是( ) A. m+1 B. 2m C. 2 D. m+2 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：先提取公因式（m﹣1）后，得出余下的部分． 解：（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）， =（m﹣1）（m+1+1）， =（m﹣1）（m+2）． 故选D． 考点：因式分解-提公因式法． 点评：先提取公因式，进行因式分解，要注意m﹣1提取公因式后还剩1． 3. 下列各式是完全平方式的是( ) A. B. C. x＋xy＋1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】可化为 ，形如的式子，即为完全平方式. 【详解】A、x 2 -x+是完全平方式； B、缺少中间项±2x，不是完全平方式； C、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式； D、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式， 故选 A. 【点睛】本题是对完全平方式的考查，熟练掌握完全平方知识是解决本题的关键. 4. 已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（ ） A. 2ab B. －2ab C. 3b2 D. －5b2 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式， 则单项式M可以是−5b2． 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 5. 是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解和乘法运算是互逆运算，直接计算可得． 【详解】(3a﹣y)(3a+y)=9a2﹣y2． 故选：C． 【点睛】本题考查了用平方差公式分解因式．此题的关键是掌握平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．还要知道因式分解和乘法运算是互逆运算． 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将等号右侧展开得，根据对应项系数相等列等式计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得， 故选C． 【点睛】本题考查了多项式的乘法运算．解题的关键在于根据对应项系数相等列等式． 7. 若二次三项式可以用完全平方公式因式分解，则的值为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 【详解】解：∵可以用完全平方公式进行因式分解， ∴k=±4， 故选：C． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 8. 两个连续的奇数的平方差总可以被 k整除，则k等于（ ） A. 4 B. 8 C. 4或-4 D. 8的倍数 【答案】B 【解析】 【分析】设两个连续奇数分别为2n+1，2n+3，表示出两数的平方差，化简后即可求出k的值． 【详解】设两个连续奇数为2n+1，2n+3， 根据题意得：（2n+3）2-（2n+1）2=（2n+3+2n+1）（2n+3-2n-1）=8（n+1）， 则k的值为8． 故选B． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，弄清题意是解本题的关键． 9. 在下列各式中，是分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】依据分式的定义即可判断. 【详解】(x+3)÷(x-1)=， ，(x+3)÷(x-1)=，这3个式子的分母中含有字母，因此是分式.其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式. 故式子中是分式的有3个. 故选B. 【点睛】此题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题得到关键. 10. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式及二次根式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式、分式有意义的条件及函数，熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键． 11. 下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．当x＝0时，分式无意义，故本选项不符合题意； B．当x＝0，分式无意义，故本选项不符合题意； C．当x＝﹣1，分式无意义，故本选项不符合题意； D．∵x2≥0， ∴x2+1＞0， ∴无论x取何值，分式总有意义，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 12. 如果把分式中的和都扩大为原来的4倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的8倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【详解】解：把和都扩大为原来的倍后，分式变为， 即分式的值扩大为原来的倍． 13. 下列各分式中，最简分式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式的分子和分母没有公因式的分式即为最简分式，根据定义解答． 【详解】A、=，故该项不是最简分式； B、=-x-y，故该项不是最简分式； C、分子分母没有公因式，故该项是最简分式； D、=，故该项不是最简分式； 故选：C． 【点睛】此题考查最简分式定义，化简分式，掌握方法将分式的化简是解题的关键． 14. 下面四个式子的约分运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A中，无公因式可约，不能直接约去指数，运算错误； 选项B中，是分子分母的项而非公因式，不能直接约分，运算错误； 选项C中，由得，运算错误； 选项D中，由得，运算正确. 二、填空（每题3分，共18分） 15. 已知，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式化简，然后将代入计算即可得出结果。 【详解】解： 当时，原式。 故答案为：。 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用和化简求值，能熟练运用完全平方公式是解题的关键。 16. 如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则______．     【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算与图形面积的计算，因式分解的运用，理解图示，掌握整式的混合运算是关键． 根据题意得到，运用因式分解得到，代入计算即可． 【详解】解：边长为，的长方形的周长为，面积为， ∴， ∴， ∵， ∴原式， 故答案为： ． 17. 当x的值是________时，分式的值为零． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出不等式，解等式或不等式即可． 【详解】解：由题意得|x|-3=0，且2x-6≠0， 解得，x=±3，x≠3， ∴x=-3． 则x=-3时，分式 的值为零． 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查的是分式值为零的条件，特别注意分母不为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18. 若方程有增根，则__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，然后将增根代入即可求出结论． 【详解】解：将化为整式方程为 根据增根的定义：原分式方程的增根为x=1 将x=1代入整式方程，解得：m=-2 故答案为：-2． 【点睛】此题考查了分式方程的增根．增根是化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．所以应先确定增根，然后代入化为整式方程的方程算出字母的值． 19. 甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业.为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的长为（）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的宽应该是________米. 【答案】 【解析】 【分析】利用4块土地换成一块土地后的面积与原来4块土地的面积相等，而原来的4块土地的总面积，则换成一块土地后面积也为()平方米，又因为此地的长为（）米，根据矩形面积的公式得到此地的宽为， 再把整理变形后再进行除法运算即可得到结论． 【详解】解：∵原来4块地的总面积， ∴将这4块地换成一块地后面积为()平方米， 而此地的长为（）米， ∴此地的长 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算：多项式除以多项式时，可以把被除式分解后再进行除法运算． 20. 通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：______． 【答案】． 【解析】 【分析】根据图形中的正方形和长方形的面积，以及整体图形的面积进而得出恒等式． 【详解】解：由面积可得：． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确利用面积得出等式是解题关键． 三、解答题：（因式分解每个4分，计算和方程每个5分，化简求值每个6分共40分） 21. 分解因式： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 22. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分式除法转化为乘法，约分计算即可； （2）将整式部分通分，转化为同分母分式减法，化简即可． 【小问1详解】 解∶原式 【小问2详解】 解：原式 23. 化简求值 （1）先化简再求值：，其中； （2）先化简代数式，再从，，2三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 【答案】（1） 化简结果为，值为 （2） 化简结果为，当时，原式 【解析】 【小问1详解】 解： ， 当时，原式； 【小问2详解】 解： ， ∵，，. ∴，，， ∴当时，原式. 24. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） 原分式方程无解 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解； 【小问2详解】 解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为. 25. 国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． （1）求的值； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）16；（2）购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元 【解析】 【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值． 【详解】解：（1）由题意可知： ， 解得：x=16， 经检验：x=16是原方程的解； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y， 由题意可知： y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500， ∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍， ∴m≥3（100-m）， 解得：m≥75，即75≤m＜100， 在y=-m+500中，-1＜0，则y随m的增大而减小， ∴当m=75时，y最大，且为-75+500=425元， ∴购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元． 【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式． 26. 问题提出： 最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．） 问题探究： 为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． （1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表① 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 1 1 1 1个1 （2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表② 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 2 1 1 2个1 2 1 （3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况： 表③ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 3 1 1 2个2 2 ， 2 3 1 （4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况： 表④ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 4 1 1 3个2 2 ， 2 3 ， 2 4 1 （5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空： 表⑤ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 1 ___ ___ 2 ， 2 3 _______ _____ 4 ， 2 5 1 问题解决： （1）最长边长为6的整数边三角形有___________个． （2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数． （3）最长边长为128的整数边三角形有__________个． 拓展延伸： 在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个． 【答案】问题探究：见解析；问题解决：（1）12；（2）当为奇数时，整数边三角形个数为；当为偶数时，整数边三角形个数为；（3）4160；拓展延伸：295 【解析】 【分析】问题探究： 根据（1）（2）（3）（4）的具体推算，总结出相同的规律，按规律填好表格即可； 问题解决： （1）由最长边长分别为1，2，3，4，5总结出能反应规律的算式，再根据规律直接写出最长边长为6时的三角形的个数； （2）分两种情况讨论：当为奇数，当为偶数，再从具体到一般进行推导即可； （3）当最长边长时，为偶数，再代入进行计算，即可得到答案； 拓展延伸： 分两种情况讨论：当9是底边的棱长时，由最长边长为9的三角形个数有：个，当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，底边三角形共有：个，从而可得答案. 【详解】解：问题探究： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 3 ，， 3 3个3 问题解决： （1）最长边长为1的三角形有：个， 最长边长为2的三角形有：个， 最长边长为3的三角形有：个， 最长边长为4的三角形有：个， 最长边长为5的三角形有：个， 所以最长边长为6的三角形有：个， 故答案为： （2）由（1）得： 最长边长为1的三角形有：个， 最长边长为3的三角形有：个， 最长边长为5的三角形有：个， 所以当为奇数时，整数边三角形个数为； 最长边长为2的三角形有：个， 最长边长为4的三角形有：个， 最长边长为6的三角形有：个， 所以当为偶数时，整数边三角形个数为. （3）当最长边长时，为偶数， 可得此时的三角形个数为： 故答案为： 拓展延伸： 当9是底边的棱长时， 最长边长为9的三角形个数有：个， 而直三棱柱的高分别为：1，2，3，4，5，6，7，8，9， 所以这样的直三棱柱共有：个， 当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8， 底边三角形共有：个， 所以这样的直三棱柱共有：个， 综上，满足条件的直三棱柱共有个. 故答案为： 【点睛】本题考查的是学生的阅读理解能力，探究规律的方法，并运用规律解决问题，同时考查了立体图形的含义，三角形的三边关系，弄懂题意，掌握探究方法，运用规律的能力都是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期第二次阶段性质量检测 一、选择题：（每题3分，共42分） 1. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 2. 把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后，余下的部分是( ) A. m+1 B. 2m C. 2 D. m+2 3. 下列各式是完全平方式的是( ) A. B. C. x＋xy＋1 D. 4. 已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（ ） A. 2ab B. －2ab C. 3b2 D. －5b2 5. 是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若二次三项式可以用完全平方公式因式分解，则的值为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 16 8. 两个连续的奇数的平方差总可以被 k整除，则k等于（ ） A. 4 B. 8 C. 4或-4 D. 8的倍数 9. 在下列各式中，是分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 11. 下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（ ） A. B. C. D. 12. 如果把分式中的和都扩大为原来的4倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的8倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 13. 下列各分式中，最简分式是（　　） A. B. C. D. 14. 下面四个式子的约分运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空（每题3分，共18分） 15. 已知，则的值是________． 16. 如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则______．     17. 当x的值是________时，分式的值为零． 18. 若方程有增根，则__________． 19. 甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业.为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的长为（）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的宽应该是________米. 20. 通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：______． 三、解答题：（因式分解每个4分，计算和方程每个5分，化简求值每个6分共40分） 21. 分解因式： （1）； （2） 22. 计算： （1）； （2） 23. 化简求值 （1）先化简再求值：，其中； （2）先化简代数式，再从，，2三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 24. 解分式方程： （1）； （2）． 25. 国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． （1）求的值； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 26. 问题提出： 最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．） 问题探究： 为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． （1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表① 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 1 1 1 1个1 （2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表② 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 2 1 1 2个1 2 1 （3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况： 表③ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 3 1 1 2个2 2 ， 2 3 1 （4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况： 表④ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 4 1 1 3个2 2 ， 2 3 ， 2 4 1 （5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空： 表⑤ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 1 ___ ___ 2 ， 2 3 _______ _____ 4 ， 2 5 1 问题解决： （1）最长边长为6的整数边三角形有___________个． （2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数． （3）最长边长为128的整数边三角形有__________个． 拓展延伸： 在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $