5.1.2弧度制课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以弧度制为核心，通过基础概念辨析、中档运算应用到拔高综合情境的三层设计，实现从单一知识点到实际问题解决的巩固路径，培养数学抽象、运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|角度弧度互化、终边位置判断|如第1题概念辨析，直接考查互化公式，强化符号意识| |中档|扇形弧长面积计算、象限角与集合运算|如第13题扇形面积最值，结合函数思想，提升推理能力| |拔高|实际情境应用（时钟、《九章算术》）、动态问题|如第19题动点旋转综合，融合周期与不等式，发展应用意识|

课时作业41　弧度制 一、选择题 1．下列结论错误的是(　　) A．－150°化成弧度是－ rad B．－ rad化成角度是－600° C．67°30′化成弧度是 rad D． rad化成角度是15° 2．将－1 665°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　) A．－－8π B．－8π C．－10π D．－10π 3．若α＝－5 rad，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知某扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为10，则该扇形的周长为(　　) A． B． C． D． 5．(多选)下列四个角为第三象限角的是(　　) A.2 B． C．240° D．－ 6．(多选题)若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径可能等于(　　) A．5 B．2 C．3 D．4 7．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于(　　) A．∅ B．{α|－4≤α≤π} C．{α|0≤α≤π} D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π} 8．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课上课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是(　　) A. B. C. D. 9．(多选题)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图所示)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田．下列说法正确的是(　　) A．“弦”AB＝4米，“矢”CD＝2米 B．按照经验公式计算弧田面积为(4＋2)平方米 C．按照弓形的面积计算弧田的实际面积为平方米 D．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米(参考数据：≈1.73，π≈3.14) 二、填空题 10．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则用弧度制表示角α的取值范围是________． 11．在直径为10 cm的轮子上有一条长为6 cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s后P转过的弧长为 . 12．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝ . 13．已知扇形的周长为2，当它的半径为时，扇形面积最大，这个最大值为 . 14．工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．某班级想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的圆心角为120°，外圆半径为50 cm，内圆半径为20 cm.则制作这样一面扇面需要的布料为 (仅考虑正面)(用数字作答，π取3.14)． 三、解答题 15．已知角α＝2 025°. (1)将角α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出角α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与角α终边相同的角． 16．已知半径为2 的圆O中，弦AB的长为4. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 17．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 18.如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长． 19．半径为1的圆的圆心是坐标原点O，点P从点A(1,0)出发，按照逆时针方向沿圆周匀速旋转，已知点P在1秒内转过的角度为θ(0<θ<π)，经过2秒到达第三象限，经过14秒又回到出发点A处．求： (1)θ的大小； (2)线段OP每秒钟扫过的扇形的面积． 课时作业41　弧度制 （答案） 一、选择题 1．下列结论错误的是(　　) A．－150°化成弧度是－ rad B．－ rad化成角度是－600° C．67°30′化成弧度是 rad D． rad化成角度是15° 解析：对于A，－150°＝－150×＝－，A错误．其他选项均正确． 答案：A 2．将－1 665°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　) A．－－8π B．－8π C．－10π D．－10π 解析：－1 665°＝－1 800°＋135°＝－10π＋. 答案：D 3．若α＝－5 rad，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由于－2π<－5<－，故角α的终边在第一象限． 答案：A 4．已知某扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为10，则该扇形的周长为(　　) A． B． C． D． 解析：由题意得，扇形的半径r＝，则该扇形的弧长l＝2r＝，∴该扇形的周长为l＋2r＝. 答案：D 5．(多选)下列四个角为第三象限角的是(　　) A.2 B． C．240° D．－ 解析：2弧度角为第二象限角；＝3π＋与π＋的终边相同，为第三象限角；240°＝180°＋60°为第三象限角；－＝－π－为第二象限角． 答案：BC 6．(多选题)若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径可能等于(　　) A．5 B．2 C．3 D．4 解析：∵扇形的周长与面积的数值相等， ∴设扇形所在圆的半径为R，扇形弧长为l， 则2R＋l＝l·R，∴l＝.∵l>0，∴R>2. 故选ACD. 7．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于(　　) A．∅ B．{α|－4≤α≤π} C．{α|0≤α≤π} D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π} 解析：集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．而A集合中满足B集合范围的只有k＝0或k＝－1的一部分，即只有D选项满足．故选D. 8．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课上课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是(　　) A. B. C. D. 解析：8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是×4＝.故选C. 9．(多选题)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图所示)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田．下列说法正确的是(　　) A．“弦”AB＝4米，“矢”CD＝2米 B．按照经验公式计算弧田面积为(4＋2)平方米 C．按照弓形的面积计算弧田的实际面积为平方米 D．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米(参考数据：≈1.73，π≈3.14) 解析：由题意可得∠AOB＝，OA＝4米，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2(米)，可得“矢”CD＝4－2＝2(米)，由AD＝AOsin＝4×＝2(米)，可得“弦”AB＝2AD＝4米，所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2(平方米)．实际面积＝××42－×4×2＝－4(平方米)，－4－4－2≈0.9(平方米)．综上可知A，B，D正确，C错误． 故选ABD. 二、填空题 10．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则用弧度制表示角α的取值范围是________． 解析：阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z). 答案：(k∈Z) 11．在直径为10 cm的轮子上有一条长为6 cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s后P转过的弧长为 . 解析：P到圆心O的距离OP＝＝4(cm)， 又P点转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)， ∴弧长为α·OP＝25×4＝100(cm)． 答案：100cm. 12．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝ . 解析：由题可得角α的终边与角的终边重合，所以与α终边相同的角的集合为. 因为α∈(－4π，4π)，所以－4π<2kπ＋<4π， 化简得－<k<.因为k∈Z，所以k＝－2，－1,0,1， 所以α＝－π，－π，，π. 答案：－π，－π，，π. 13．已知扇形的周长为2，当它的半径为时，扇形面积最大，这个最大值为 . 解析：设扇形的半径与圆心角分别为r，θ，则2r＋θr＝2，可得θ＝，可得扇形的面积为S＝r2θ＝r2× ＝r(1－r)＝－r2＋r＝－2＋，故当r＝时，S取最大值. 答案：. 14．工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．某班级想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的圆心角为120°，外圆半径为50 cm，内圆半径为20 cm.则制作这样一面扇面需要的布料为 (仅考虑正面)(用数字作答，π取3.14)． 解析：因为120°＝，S1＝××502，S2＝××202，扇面面积S＝S1－S2＝××502－××202＝×(502－202)＝700π≈700×3.14＝2 198(cm2)． 答案：2 198(cm2)． 三、解答题 15．已知角α＝2 025°. (1)将角α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出角α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与角α终边相同的角． 解：(1)α＝2 025°＝2 025×＝＝10π＋，是第三象限角，∴α是第三象限角． (2)由－5π≤2kπ＋<0得－<k<－，因为k∈Z，∴k＝－3，－2，－1，对应角依次为－，－，－. 16．已知半径为2 的圆O中，弦AB的长为4. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 解：(1)因为圆O的半径为2 ，弦AB的长为4， 所以OA＝OB＝2 ，AB＝4，所以OA2＋OB2＝AB2， 故△OAB为直角三角形，且∠AOB为直角， 所以弦AB所对的圆心角α为. (2)由弧长公式得，l＝αr＝×2 ＝π， 扇形的面积S1＝lr＝×π×2 ＝2π， 又S△AOB＝×2 ×2 ＝4， 所以S＝S1－S△AOB＝2π－4， 即弧所在的弓形的面积S＝2π－4. 17．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 解：(1)如图．由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形， 所以α＝∠AOB＝60°＝. (2)由(1)可知α＝，r＝10， 所以弧长l＝α·r＝×10＝， 所以S扇形＝lr＝××10＝， 而S△AOB＝·AB·＝×10×＝， 所以S＝S扇形－S△AOB＝50. 18.如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长． 解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t， 则t·＋t·＝2π.解得t＝4. 所以第一次相遇时所用的时间是4秒． 第一次相遇时点P已经运动到角·4＝的终边与圆交点的位置，点Q已经运动到角－的终边与圆交点的位置，所以点P走过的弧长为×4＝，点Q走过的弧长为×4＝×4＝. 19．半径为1的圆的圆心是坐标原点O，点P从点A(1,0)出发，按照逆时针方向沿圆周匀速旋转，已知点P在1秒内转过的角度为θ(0<θ<π)，经过2秒到达第三象限，经过14秒又回到出发点A处．求： (1)θ的大小； (2)线段OP每秒钟扫过的扇形的面积． 解：(1)∵0<θ<π，∴0<2θ<2π. 又∵2kπ＋π<2θ<2kπ＋(k∈Z)， ∴k＝0.∴<θ<.① 又∵14θ＝2nπ(n∈Z)，∴θ＝(n∈Z)．② 由①②可得θ＝或θ＝. (2)由(1)知θ＝或θ＝. 又∵S扇形＝θr2＝θ， ∴S扇形＝或S扇形＝. 即线段OP每秒钟扫过的扇形的面积是或. 学科网（北京）股份有限公司 $