第2课时直接开平方法讲义2026-2027学年人教版九年级上册数学

本讲义聚焦一元二次方程的直接开平方法，以平方根概念为基础，系统梳理x²=p和(mx+n)²=p两种类型的求解原理，结合p的正负零讨论根的情况，通过变形转化及实际应用构建学习支架，帮助学生逐步掌握解法。 资料通过表格归纳根的情况、分层讲解考点、辨析易错点及总结解题步骤，培养学生推理意识与抽象能力。课中辅助教师清晰授课，课后学生可通过练习与解析查漏补缺，提升方程求解与应用能力。

人教版九年级数学上册 · 第二十一章 一元二次方程 人教版九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 第 2 课时 直接开平方法 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 初三数学同步讲义 · 暑期预习衔接 ▎一、学习目标 1. 理解直接开平方法的基本原理，掌握平方根的概念在解方程中的应用。 2. 能熟练运用直接开平方法解 x² = p 型和 (mx + n)² = p 型的一元二次方程。 3. 能根据 p 的取值（正数、零、负数）讨论方程根的情况。 4. 能将某些一元二次方程通过变形转化为可用直接开平方法求解的形式。 5. 能运用直接开平方法解决简单的实际问题。 ▎二、知识梳理 ◆ （一）平方根的回顾 在学习实数时，我们已经知道：如果一个数的平方等于 a（a ≥ 0），那么这个数叫做 a 的平方根。即若 x² = a（a ≥ 0），则： 其中，正的平方根叫做算术平方根，记作 ；负的平方根记作 。当 a = 0 时，平方根只有一个，即 0 本身。当 a < 0 时，负数没有平方根（在实数范围内）。 ◆ （二）直接开平方法的原理 利用平方根的定义，直接对一元二次方程两边开平方来求解的方法，叫做直接开平方法。 💡 直接开平方法的适用条件 方程能化为以下两种形式之一： ① x² = p（p ≥ 0）型 ② (mx + n)² = p（p ≥ 0）型 核心思想：将方程一边化为某个式的平方，另一边为非负常数。 ◆ （三）两种基本类型 类型一：x² = p 型 根据平方根的定义： 当 p > 0 时，方程有两个不等的实数根： 当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根：x₁ = x₂ = 0 当 p < 0 时，方程没有实数根（因为任何实数的平方都是非负的）。 p 的取值 方程 x² = p 的根的情况 根的个数 p > 0 （两个不等的实数根） 2 个 p = 0 x = 0（两个相等的实数根） 1 个 p < 0 无实数根 0 个 类型二：(mx + n)² = p 型 当 p ≥ 0 时，对两边开平方得： 由此解出 x： 当 p > 0 时，方程有两个不等的实数根；当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 p < 0 时，方程无实数根。 ⚠ 注意 ① 使用直接开平方法时，必须确保右边是非负数（p ≥ 0）； ② 开平方后必须写正负号（），不能只写正根； ③ 类型二中，m ≠ 0 是保证方程为一元二次方程的条件。 ▎三、考点精讲 ◆ 考点1：x² = p 型方程的求解 例1 解下列方程： （1）x² = 16　　（2）x² = 9　　（3）x² = -4　　（4）2x² = 32 【解析】 （1）因为 16 > 0，两边直接开平方： 所以 x₁ = 4，x₂ = -4。 （2）因为 9 > 0，两边直接开平方： 所以 x₁ = 3，x₂ = -3。 （3）因为 -4 < 0，负数在实数范围内没有平方根，所以方程无实数根。 （4）两边同除以 2 得 x² = 16，开平方得 x = 。所以 x₁ = 4，x₂ = -4。 ◆ 考点2：(mx + n)² = p 型方程的求解 例2 解下列方程： （1）(x + 3)² = 25　　（2）(2x - 1)² = 9　　（3）(3x + 2)² = 7 【解析】 （1）因为 25 > 0，两边开平方： 即 x + 3 = 5 或 x + 3 = -5 解得 x₁ = 2，x₂ = -8。 （2）因为 9 > 0，两边开平方： 即 2x - 1 = 3 或 2x - 1 = -3 由 2x - 1 = 3 得 x = 2；由 2x - 1 = -3 得 x = -1。 所以 x₁ = 2，x₂ = -1。 （3）因为 7 > 0，两边开平方： 即 3x + 2 = 或 3x + 2 = - 所以 x₁ = (-2 + )/3，x₂ = (-2 - )/3。 ◆ 考点3：需要先变形再开方的方程 有些方程不能直接开平方，但经过变形后可以转化为 (mx + n)² = p 的形式。 例3 解下列方程： （1）2(x - 1)² = 18　　（2）(2x - 3)² = (x + 1)²　　（3）4x² + 4x + 1 = 9 【解析】 （1）两边同除以 2 得 (x - 1)² = 9，开平方： 即 x - 1 = 3 或 x - 1 = -3，解得 x₁ = 4，x₂ = -2。 （2）两边直接开平方（注意左右两边都是完全平方的形式）： 情况1：2x - 3 = x + 1，解得 x = 4 情况2：2x - 3 = -(x + 1)，即 2x - 3 = -x - 1，解得 3x = 2，x = 2/3 所以 x₁ = 4，x₂ = 2/3。 （3）左边 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)²，所以原方程化为： 开平方：2x + 1 = 由 2x + 1 = 3 得 x = 1；由 2x + 1 = -3 得 x = -2。 所以 x₁ = 1，x₂ = -2。 💡 变形技巧 ① 系数化1：如果 (mx+n)² 前面有系数，先两边同除以该系数； ② 识别完全平方式：如 4x²+4x+1=(2x+1)²，9x²-6x+1=(3x-1)²； ③ 两边都是平方：如 (2x-3)²=(x+1)² 可直接开平方。 ◆ 考点4：根据根的情况求字母参数的值 例4 已知关于 x 的方程 (x + a)² = b。 （1）若方程有两个不等的实数根，求 b 的取值范围； （2）若方程有两个相等的实数根，求 a、b 满足的关系； （3）若方程无实数根，求 b 的取值范围。 【解析】 （1）方程 (x + a)² = b 有两个不等的实数根，需要 b > 0。 此时 x + a = ，得 x₁ = -a + ，x₂ = -a - 。两个根不等。 所以 b > 0。 （2）方程有两个相等的实数根时，b = 0。此时 x + a = 0，即 x₁ = x₂ = -a。a 可为任意实数。 （3）方程无实数根时，b < 0。因为 (x + a)² ≥ 0，而右边 b < 0，不可能相等。 例5 已知关于 x 的方程 (2x - 1)² = 2m - 3。 （1）若方程有实数根，求 m 的取值范围； （2）若 m = 2，求方程的根。 【解析】 （1）方程有实数根的条件是右边 2m - 3 ≥ 0，即 m ≥ 3/2。 （2）当 m = 2 时，2m - 3 = 1，方程为 (2x - 1)² = 1。 开平方：2x - 1 = 由 2x - 1 = 1 得 x = 1；由 2x - 1 = -1 得 x = 0。 所以 x₁ = 1，x₂ = 0。 ◆ 考点5：直接开平方法的实际应用 例6 一个正方形的面积比一个长方形面积的一半多 8。已知长方形长比宽多 2 cm，宽为 4 cm。求正方形的边长。 【解析】 长方形宽为 4 cm，长为 6 cm，面积为 24 cm²。 设正方形边长为 x cm，根据题意： 即 x² = 20，开平方： 因为边长 x > 0，所以 x = 。即正方形的边长为 cm。 ▎四、易错点辨析 ◆ 易错点1：开平方后漏写正负号 ⚠ 【误区】 解方程 x² = 9 时，直接写 x = = 3，漏掉了负根。 ✓ 【正解】 x² = 9 → x = = 正解：x₁ = 3，x₂ = -3 口诀：开平方必写 ，正负两个根。 ◆ 易错点2：右边为负数时仍开平方 ⚠ 【误区】 解方程 x² = -4 时，写 x = ，这是错误的。 ✓ 【正解】 因为任何实数的平方都是非负的，x² ≥ 0。 而 -4 < 0，所以 x² = -4 无实数根。 在实数范围内，负数没有平方根。 ◆ 易错点3：(mx+n)² = p 型方程解错 ⚠ 【误区】 解方程 (2x - 1)² = 9 时，写 2x - 1 = 3 → x = 2，漏掉了另一种情况。 ✓ 【正解】 (2x-1)² = 9 → 2x-1 = 情况1：2x-1 = 3 → x = 2 情况2：2x-1 = -3 → x = -1 正解：x₁ = 2，x₂ = -1 ◆ 易错点4：未化简就直接开方 ⚠ 【误区】 解方程 3x² = 27 时，写 x = = ，计算复杂且不简洁。 ✓ 【正解】 先两边除以3：x² = 9 再开平方：x = 正解：x₁ = 3，x₂ = -3 技巧：先化简再开方，计算更简便。 ▎五、方法归纳 💡 直接开平方法解题步骤 第1步 变形：将方程化为 x² = p 或 (mx+n)² = p 的形式 第2步 判断：看右边 p 的符号 p > 0 → 两个不等实数根 p = 0 → 两个相等实数根（即一个根） p < 0 → 无实数根 第3步 开方：当 p ≥ 0 时，两边开平方，注意写 号 第4步 求解：分别解两个一元一次方程，得出两个根 第5步 检验：代入原方程检验 ▎六、随堂练习 ◆ （一）选择题 1. 方程 x² = 5 的解是（ ） A. x = 　　B. x = -　　C. x = 　　D. x = 2. 方程 (x - 2)² = 9 的解是（ ） A. x = 5　　B. x = -1　　C. x₁ = 5, x₂ = -1　　D. x₁ = 5, x₂ = 1 3. 方程 x² + 1 = 0 的实数根的个数为（ ） A. 0 个　　B. 1 个　　C. 2 个　　D. 无数个 4. 若方程 (x + 5)² = m 有两个相等的实数根，则 m = （ ） A. -5　　B. 0　　C. 5　　D. 25 5. 方程 (3x - 2)² = 7 的解为（ ） A. x = 　　B. x = (2)/3　　C. x = 　　D. x = 6. 若 (2x - 1)² = (x + 3)²，则 x 的值为（ ） A. x = 4　　B. x = -2/3　　C. x = 4 或 x = -2/3　　D. x = 4 或 x = 2/3 ◆ （二）填空题 7. 方程 x² = 121 的根是 __________。 8. 方程 (x - 1)² = 5 的根是 __________。 9. 若 x² = m + 1 无实数根，则 m 的取值范围是 __________。 10. 方程 (3x - 1)² = 4 的根是 __________。 11. 若 (x + 2)² = 0，则 x = ____。 12. 方程 4(x - 3)² = 16 的根是 __________。 ◆ （三）解答题 13. 解下列方程： （1）x² = 81 （2）(x + 4)² = 49 （3）(x - 1)² = 4 （4）(2x - 3)² = 5 14. 已知关于 x 的方程 (x + a)² = b。 （1）当 b > 0 时，求方程的根； （2）当方程有两个相等的实数根时，求 a、b 满足的条件； （3）当方程无实数根时，求 b 的取值范围。 15. 已知关于 x 的方程 (2x - 1)² = 2m - 3。 （1）若方程有实数根，求 m 的取值范围； （2）若 m = 2，求方程的根。 ▎七、答案与解析 ◆ （一）选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C A B A C 【解析】 1. C。x² = 5 → x = 。 2. C。x-2 = → x = 5 或 x = -1。 3. A。x² = -1 < 0，无实数根。 4. B。有两个相等实数根需 m = 0。 5. A。3x-2 = → x = 。 6. C。2x-1 = 。情况1：2x-1=x+3→x=4；情况2：2x-1=-(x+3)→3x=-2→x=-2/3。 ◆ （二）填空题答案 7. x₁ = 11，x₂ = -11 8. x₁ = 1+，x₂ = 1- 9. m < -1。解析：x² = m+1 无实数根需 m+1 < 0 → m < -1 10. x₁ = 1，x₂ = -1/3。解析：3x-1 = → 3x = 3 或 3x = -1 11. x = -2。解析：(x+2)² = 0 → x+2 = 0 → x = -2 12. x₁ = 5，x₂ = 1。解析：(x-3)² = 4 → x-3 = → x = 5 或 x = 1 ◆ （三）解答题答案 13.【解答】 （1）x² = 81，x = 。∴ x₁ = 9, x₂ = -9。 （2）x + 4 = 。由 x+4 = 7 得 x = 3；由 x+4 = -7 得 x = -11。∴ x₁ = 3, x₂ = -11。 （3）(x - 1)² = 4。x - 1 = 。由 x-1 = 2 得 x = 3；由 x-1 = -2 得 x = -1。∴ x₁ = 3, x₂ = -1。 （4）(2x - 3)² = 5。2x - 3 = 。 ∴ x₁ = , x₂ = 。 14.【解答】 （1）当 b > 0 时，x + a = ， （2） 方程有两个相等的实数根时，b = 0（a 可为任意实数）。 此时 x₁ = x₂ = -a。 （3）方程无实数根时，b < 0。 15.【解答】 （1）方程有实数根的条件是 2m - 3 ≥ 0，即 m ≥ 3/2。 （2）当 m = 2 时，2m - 3 = 2×2 - 3 = 1。 方程为 (2x - 1)² = 1，开平方：2x - 1 = 。 由 2x - 1 = 1 得 x = 1；由 2x - 1 = -1 得 x = 0。 ∴ x₁ = 1, x₂ = 0。 学科网（北京）股份有限公司 $