第2课时直接开平方法讲义2026-2027学年人教版九年级上册数学

 

 

 

 

 

 

人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程

 

 

第 2 课时

直接开平方法

 

 

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初三数学同步讲义 · 暑期预习衔接

▎一、学习目标

1. 理解直接开平方法的基本原理，掌握平方根的概念在解方程中的应用。

2. 能熟练运用直接开平方法解 x² = p 型和 (mx + n)² = p 型的一元二次方程。

3. 能根据 p 的取值（正数、零、负数）讨论方程根的情况。

4. 能将某些一元二次方程通过变形转化为可用直接开平方法求解的形式。

5. 能运用直接开平方法解决简单的实际问题。

▎二、知识梳理

◆ （一）平方根的回顾

在学习实数时，我们已经知道：如果一个数的平方等于 a（a ≥ 0），那么这个数叫做 a 的平方根。即若 x² = a（a ≥ 0），则：

 

其中，正的平方根叫做算术平方根，记作 ；负的平方根记作 。当 a = 0 时，平方根只有一个，即 0 本身。当 a < 0 时，负数没有平方根（在实数范围内）。

◆ （二）直接开平方法的原理

利用平方根的定义，直接对一元二次方程两边开平方来求解的方法，叫做直接开平方法。

 

◆ （三）两种基本类型

类型一：x² = p 型

根据平方根的定义：

当 p > 0 时，方程有两个不等的实数根：

 

当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根：x₁ = x₂ = 0

当 p < 0 时，方程没有实数根（因为任何实数的平方都是非负的）。

 

类型二：(mx + n)² = p 型

当 p ≥ 0 时，对两边开平方得：

由此解出 x：

 

当 p > 0 时，方程有两个不等的实数根；当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 p < 0 时，方程无实数根。