1.4 练习4 用空间向量研究距离问题 课时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦“用空间向量研究距离问题”，分层设计从基础公式应用到综合几何模型，覆盖点、线、面距离，适配新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-2题）|点到平面距离公式直接应用|结合具体坐标强化公式运算，培养运算能力与模型意识| |提升层（3-9题）|点到直线、三角形高、正方体中点面距离|融入正方体等几何模型，设置多选题（8-9题），发展空间观念与推理能力| |综合层（10-16题）|直线方程应用、四棱锥中点线距离、解答题综合证明|含动点问题（8题）与实际情境（11题），需构建向量模型，提升数学语言表达与创新意识|

1.4 练习4　用空间向量研究距离问题 1. (2024·合肥一中高二期中)已知A(1，2，1)是平面α内一点，n＝(－1，－1，1)是平面α的一个法向量，若P(2，0，3)是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (　C　) A. B. C. D. 2 【解析】 由题意得＝(1，－2，2)，故点P到平面α的距离d＝. 2. (2025·湖北高二期中)已知点Q(6，10，－1)，平面α＝{P|n·＝0}，其中n＝(2，1，2)，则点A(－1，0，1)到平面α的距离是(　C　) A. B. 2 C. D. 3 【解析】 由平面α＝{P|n·＝0}，得n＝(2，1，2)是平面α的法向量，点Q(6，10，－1)在平面α内，＝(7，10，－2)，∴点A(－1，0，1)到平面α的距离是. 3. 已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　C　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【解析】 ∵＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，则在上的投影为＝－4.又||＝，∴AC边上的高BD的长为＝5. 4. 已知空间向量＝(0，1，0)，＝(1，0，1)，则点A到直线BC的距离为(　B　) A. 1 B. C. D. 【解析】 由向量＝(0，1，0)，＝(1，0，1)可得＝(1，－1，1)，则方向上的单位向量为(1，－1，1)＝，因此点A到直线BC的距离为. 5. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为(　B　) A. B. C. D. 【解析】 以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，，平面ABC1D1的一个法向量为＝(1，0，1)，点O到平面ABC1D1的距离d＝. 6. 在三棱柱ABC－A1B1C1中，＝(0，2，－3)，＝(－2，0，－3)，，则该三棱柱的高为(　B　) A. B. C. 2 D. 4 【解析】 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则∴令z＝2，则x＝，y＝3，∴n＝(，3，2)是平面ABC的一个法向量.点A1到平面ABC的距离d＝，故该三棱柱的高为. 7. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为　(　C　) A. 2 B. 4 C. D. 【解析】 如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，∴＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，∴，∴EF∥MN，AM∥BF.∵EF⊄平面AMN，MN⊂平面AMN，BF⊄平面AMN，AM⊂平面AMN，∴EF∥平面AMN，BF∥平面AMN，又EF∩BF＝F，∴平面AMN∥平面EFBD.设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝2，则n＝(2，－2，1).∵＝(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD的距离d＝. 8. (多选)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱AB上一动点，则点P到平面A1C1D的距离可能是(　BC　) A. B. C. D. 2 【解析】 如图所示，以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A1(2，0，0)，C1(0，2，0)，D(0，0，2)，故＝(－2，2，0)，＝(－2，0，2)，设P(2，λ，2)(0≤λ≤2)，平面A1C1D的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，则n＝(1，1，1)，又＝(0，λ，2)，∴P到平面A1C1D的距离d＝.∵0≤λ≤2，∴d∈. 9. (多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法中，正确的是 (　ACD　) A. ||＝ B. 点O到平面ABC1D1的距离是 C. 平面A1BD与平面B1CD1的距离为 D. 点P到直线AB的距离为 【解析】 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，∵，∴，∴||＝，A正确；∵，平面ABC1D1的一个法向量为＝(0，－1，1)，∴点O到平面ABC1D1的距离d1＝，B错误；＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)，设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝1，x＝1，故n＝(1，1，1)，∴点D1到平面A1BD的距离d2＝，∵平面A1BD∥平面B1CD1，∴平面A1BD与平面B1CD1的距离等于点D1到平面A1BD的距离，故平面A1BD与平面B1CD1的距离为，C正确；∵＝(1，0，0)，∴，∴点P到直线AB的距离d＝，D正确. 10. 在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且方向向量为n＝(X，Y，Z)(XYZ≠0)的直线方程为，已知空间中一条直线l：x－1＝4－y＝，则点A(4，3，3)到直线l的距离为 　.  【解析】 由题意，直线l为，经过点P(1，4，2)，且n＝(1，－1，2)为l的一个方向向量，∴＝(－3，1，－1)，故点A到直线l的距离为d＝. 11. (2025·安徽六安模拟)已知四棱锥A－EBCD，AE⊥平面BCDE，底面EBCD是∠E为直角，EB∥DC的直角梯形，如图所示，且CD＝2EB＝2AE＝4，DE＝2，F为AD的中点，则点F到直线BC的距离为 　.  【解析】 由题意知，AE⊥平面BCDE，BE，ED⊂平面BCDE，∴AE⊥BE，AE⊥ED，又BE⊥ED，故以E为原点，EB，ED，EA所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)，得F(0，，1)，∴＝(2，2，0)，＝(2，，－1)，记c＝，a＝＝(2，，－1)，则|a|＝＝2，a·c＝1，∴点F到直线BC的距离为d＝. 12. 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为 　.  【解析】 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，M，A(1，0，0)， ∴＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即令x＝1，则y＝z＝1，∴n＝(1，1，1)，∴点M到平面ACD1的距离d＝.又MN∥AD1，故MN∥平面ACD1，故直线MN到平面ACD1的距离为. 13. (2025·内蒙古高二期中)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为线段AB，B1C1的中点. (1)求点F到A1C的距离； (2)求点F到平面A1CE的距离. 解： (1)以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为2，则A1(2，0，2)，C(0，2，0)，F(1，2，2)，可得＝(－2，2，－2)，＝(1，0，2)， ·＝－2＋0－4＝－6，||＝，||＝＝2，设点F到A1C的距离为d，则d＝. (2)设平面A1CE的法向量为n，E(2，1，0)，A1(2，0，2)，C(0，2，0)，则＝(0，1，－2)，＝(－2，2，－2). 设n＝(x，y，z)， 令z＝1，解得y＝2，x＝1，∴n＝(1，2，1)， 又＝(1，0，2)，·n＝1＋0＋2＝3，|n|＝，点F到平面A1CE的距离为. 14. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点. (1)求异面直线AC与PB间的距离； (2)在侧面PAB内(包括边界)找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出点N到直线AB和AP的距离. 解： (1)由题意得AB⊥AD，PA⊥AD，PA⊥AB.以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，C(，1，0)，P(0，0，2)，B(，0，0)，∴＝(，1，0)，＝(，0，－2)，＝(0，0，2). 设异面直线AC，PB的公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)，则 即 取x＝1，得n＝. 设异面直线AC与PB间的距离为d，则d＝. (2)设N(a，0，c)，0≤a≤，0≤c≤2. 由(1)知E，∴，由题意得解得 ∴N，∴点N到直线AB的距离为1，点N到直线AP的距离为. 15. (2025·四川成都高二期中)在空间直角坐标系中，已知平面β过点M0(x0，y0，z0)，且以向量n＝(a，b，c)为法向量，则平面β的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.若平面β的方程为2x－2y＋3z－4＝0，则点M(1，1，2)到平面β的距离为(　C　) A. B. C. D. 【解析】 ∵平面β的方程为2x－2y＋3z－4＝0，取平面β内一点P(2，0，0)，则平面β的法向量为n＝(2，－2，3)，又∵M(1，1，2)，∴＝(－1，1，2)，∴点M到平面β的距离为d＝. 16. 如图所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，BC1与底面ABCD所成角的正切值为2，M是DD1的中点，N是BD上的一个动点，设＝λ(0＜λ＜1). (1)当λ＝时，证明：MN∥平面ABC1D1； 证明： 连接D1B， ∵λ＝，∴N为DB的中点，又M是DD1的中点，∴MN为△BDD1的中位线，则MN∥D1B. ∵MN⊄平面ABC1D1，D1B⊂平面ABC1D1， ∴MN与平面ABC1D1平行. (2)若点N到平面BCM的距离为d，试用λ表示d，并求出d的取值范围. 解： 由题意，BC1与底面ABCD所成的角为∠C1BC，即tan∠C1BC＝＝2，则C1C＝4.建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(0，0，2)，∴＝(2，2，0)，＝(－2，0，0)，＝(－2，－2，2)， ∵＝λ＝(2λ，2λ，0)(0＜λ＜1)，∴N(2λ，2λ，0)，∴＝(－2λ，－2λ，2). 设平面BCM的法向量为n＝(x，y，z)，则解得 令y＝1，则n＝(0，1，1)，∴点N到平面BCM的距离d＝λ.∵0＜λ＜1，∴0＜d＜. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 练习4　用空间向量研究距离问题 1. (2024·合肥一中高二期中)已知A(1，2，1)是平面α内一点，n＝(－1，－1，1)是平面α的一个法向量，若P(2，0，3)是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 ( 　) A. B. C. D. 2 2. (2025·湖北高二期中)已知点Q(6，10，－1)，平面α＝{P|n·＝0}，其中n＝(2，1，2)，则点A(－1，0，1)到平面α的距离是( 　) A. B. 2 C. D. 3 3. 已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于( 　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知空间向量＝(0，1，0)，＝(1，0，1)，则点A到直线BC的距离为( 　) A. 1 B. C. D. 5. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为( 　) A. B. C. D. 6. 在三棱柱ABC－A1B1C1中，＝(0，2，－3)，＝(－2，0，－3)，，则该三棱柱的高为( 　) A. B. C. 2 D. 4 7. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为　( 　) A. 2 B. 4 C. D. 8. (多选)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱AB上一动点，则点P到平面A1C1D的距离可能是( 　) A. B. C. D. 2 9. (多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法中，正确的是 ( 　) A. ||＝ B. 点O到平面ABC1D1的距离是 C. 平面A1BD与平面B1CD1的距离为 D. 点P到直线AB的距离为 10. 在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且方向向量为n＝(X，Y，Z)(XYZ≠0)的直线方程为，已知空间中一条直线l：x－1＝4－y＝，则点A(4，3，3)到直线l的距离为 .  11. (2025·安徽六安模拟)已知四棱锥A－EBCD，AE⊥平面BCDE，底面EBCD是∠E为直角，EB∥DC的直角梯形，如图所示，且CD＝2EB＝2AE＝4，DE＝2，F为AD的中点，则点F到直线BC的距离为 .  12. 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为 .  13. (2025·内蒙古高二期中)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为线段AB，B1C1的中点. (1)求点F到A1C的距离； (2)求点F到平面A1CE的距离. 14. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点. (1)求异面直线AC与PB间的距离； (2)在侧面PAB内(包括边界)找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出点N到直线AB和AP的距离. 15. (2025·四川成都高二期中)在空间直角坐标系中，已知平面β过点M0(x0，y0，z0)，且以向量n＝(a，b，c)为法向量，则平面β的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.若平面β的方程为2x－2y＋3z－4＝0，则点M(1，1，2)到平面β的距离为( 　) A. B. C. D. 16. 如图所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，BC1与底面ABCD所成角的正切值为2，M是DD1的中点，N是BD上的一个动点，设＝λ(0＜λ＜1). (1)当λ＝时，证明：MN∥平面ABC1D1； (2)若点N到平面BCM的距离为d，试用λ表示d，并求出d的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $