精品解析：2022年四川省内江市隆昌市蓝天育才学校中考数学模拟试卷（二）

2022年四川省内江市隆昌市蓝天育才学校中考数学模拟试卷（二） 考试注意事项： 1、考生须诚信考试，遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员 管理； 2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场； 3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答（作图可使用铅笔） ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记．考生书写在答题卡规定区域外的答案无效． 4、考试开始信号发出后，考生方可开始作答． 一．选择题（共12小题，共36分） 1. 若与1互为相反数，那么（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据互为相反数的两数和为0，可得a+1=0即可． 【详解】解：∵互为相反数的两数和为0， ∴a+1=0， 故选B． 【点睛】本题考查相反数，掌握相反数的性质是解题关键． 2. 2020年是不寻常的一年，据世卫组织统计，截至2020年6月28日全球累计已超过1040万人确诊感染了“新冠”病毒，将数据1040万用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】1040万 故选：C． 【点睛】考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图，一个正方块的六个面分别标有A、B、C、D、E、F，从三个不同方向看到的情况如图所示，则A的对面应该是字母（　　） A. B B. C C. E D. F 【答案】B 【解析】 【分析】观察三个正方体，与A相邻的字母有D、E、B、F，从而确定出A对面的字母是C． 【详解】解：由图可知，A相邻的字母有D、E、B、F， 所以A对面的字母是C． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，仔细观察图形从相邻面考虑求解是解题的关键． 4. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ） A. x≠0 B. x≥2或x≠0 C. x≥2 D. x≤﹣2且x≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由题意可得： 解得： ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一选项判断即可． 【详解】解：选项：，故本选项不合题意； 选项：，故本选项不合题意； 选项：，故本选项不合题意； 选项：，故本选项符合题意； 6. 已知非零实数x满足，则的值为( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】先将转化为，然后利用完全平方公式将变形为，再代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查分式的化简求值，完全平方公式的应用，运用了恒等变换和整体代入的思想．灵活运用完全平方公式是解题的关键． 7. 下列事件，是必然事件的是（　　　） A. 投掷一枚硬币，向上一面是正面 B. 同旁内角互补 C. 打开电视，正播放电影《英雄儿女》 D. 任意画一个多边形，其外角和是360° 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件，随机事件的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】A.投掷一枚硬币，向上一面是正面，是随机事件，不符合题意， B.同旁内角互补，是随机事件，不符合题意， C.打开电视，正播放电影《英雄儿女》，是随机事件，不符合题意， D.任意画一个多边形，其外角和是360°，是必然事件，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查必然事件和随机事件的定义，掌握上述定义是解题的关键． 8. 如图，在中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件知∠A＝∠A，再添加选项中的条件依次判断即可得到答案. 【详解】解：A、，，则可判断，不符合题意； B、，，则可判断，不符合题意； C、 ，若成立，则，由题可知DE与BC不平行，符合题意； D、 ，，则可判断，不符合题意 故选：C． 【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，已知一个角相等时，再确定另一组角相等或是构成已知角的两边对应成比例，即可证明两个三角形相似. 9. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由两个正方形的面积分别得出其边长，设AC=BD=a，由勾股定理解得a的值，后按照正弦函数和余弦函数的定义得出sinθ和cosθ的值，最后代入要求的式子计算即可． 【详解】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25， ∴大正方形的边长是，小正方形的边长是， 设AC=BD=a，如图， △ABD中，由勾股定理得： a2+（5+a）2=125， 解得a=5或（舍去）， ∴sinθ=，cosθ=， ∴sinθ•cosθ=． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、弦图及正弦函数和余弦函数的计算，明确相关性质及定理是解题的关键． 10. 如图，四边形是平行四边形，以为直径的与切于点，交于点，连接，若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，先根据勾股定理计算的长，证明∽，则根据，可得的长，最后利用等角的三角函数相等可得结论． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 与切于点， ， 设，则， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， 是的直径， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、圆的有关性质、勾股定理等知识，学会转化的思想，把问题转化为方程解决，添加辅助线是解题的关键，属于中考常考题型． 11. 若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣5，且关于x的分式方程+2＝有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组整理得： ， 由解集为x≤﹣5，得到4a+3≥﹣5，即a≥﹣2， 分式方程去分母得：（2﹣a）x＝12， 解得：x＝， 由x为非负整数，且x≠3，得到2﹣a＝1，2，3，6，12， 解得a＝1或0或﹣1或﹣4或﹣10 ∵a≥﹣2， ∴a＝1或0或﹣1， 符合条件的所有整数a的和为1+0﹣1＝0． 故选：D． 【点睛】此题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12. 如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（　　） A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，．首先确定点的坐标，再根据6次一个循环，由，推出经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，． 在正六边形中，，，， ， 在中，，， ， ， ， ，， 将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转， 次一个循环， ， 经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同， 与关于原点对称， ，， 经过第2025次旋转后，顶点的坐标，， 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 二．填空题（本题共8小题，共40分） 13. 把多项式分解因式的结果是 _____． 【答案】ab（a+b）（a﹣b） 【解析】 【分析】首先提取公因式，然后使用平方差公式进行计算即可得到答案； 【详解】解：原式＝ab（）＝ab（a+b）（a﹣b）． 故答案为：ab（a+b）（a﹣b）． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 14. 已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】设圆的半径为cm，根据弧长公式列式计算即可． 【详解】解：设圆的半径为cm， 则， 解得，cm， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 15. “七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．如图，一只小虫在七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是___． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影部分的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出小虫停在阴影部分上的概率． 【详解】解：设大正方形的边长为1，则大正方形的对角线长为，大正方形的面积为1， 则阴影部分的面积=； ∴它停在阴影部分的概率是：； 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 16. 已知中，，，为的中点，为上一点，，在上、在上，，且若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，则，从而得出，利用两个角相等证明，得，代入即可解决问题． 【详解】解：过作于， 为的中点， ， 又， ， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 17. 已知，那么的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，二次根式有意义的条件，掌握算理是解决问题的关键．本题要分类讨论，当时或当时，先化简为最简二次根式，再代入计算即可． 【详解】解：已知， 当时， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ， ； 故答案为：或． 18. 有一边是另一边的倍的三角形叫做幸运三角形，这两边中较长边称为幸运边，这两边的夹角叫做幸运角．如图，是幸运三角形，为幸运边，为幸运角，，点B，C在反比例函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当是直角三角形且时，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，再利用对应边的关系把、的坐标表示出来，再代入计算即可． 【详解】解：过作轴于，过作于，过作轴于，如图， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 的纵坐标为，即， ，，， ， 点、在函数的图象上， ， 解得：（舍去），， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了新定义的理解和运用，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质，表示出、的坐标是解题的关键． 19. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是___． 【答案】． 【解析】 【分析】延长EF到G，使FG=EF，连接AG，根据三角形的三边关系确定AG的取值范围，再根据FM是△AEG的中位线得出FM=AG，得出FM的取值范围即可． 【详解】解：延长EF到G，使FG=EF，连接AG，BG， ∵在Rt△ABC中，AC=BC=2， ∴AB===2， ∵正方形BDEF的边长为， ∴△BFG为等腰直角三角形， ∴BG=2， ∴AB-BG≤AG≤AB+BG（共线时相等）， 即2-2≤AG≤2+2， ∵F为EG的中点，M为AE的中点， 故FM是△AEG的中位线， ∴FM=AG， ∴≤FM≤， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理等知识点，根据三角形三边关系得出AG的取值范围是解题的关键． 20. 如图，在矩形中，，，、分别是、边上的动点，，则的最小值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】因与两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接，又因点在上是一动点，由边与边关系，只有当点在直线上时的和最小，由平行四边形可知时可求的最小值． 【详解】解：设，则；过点作，且连接，当点、、三点共线时，的最值小；如图： 四边形是平行四边形： 由点、、三点共线， 由四边形是矩形． 四边形是平行四边形． 又 在中，由勾股定理得： 又∵，则， 解得∶， 在中，由勾股定理得： 又 又 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，求的长时也可以用三角形的中位线求解，难点是作辅助线，三点共线时两条线段的和最小． 三．解答题（本题共9小题，共84分） 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算负整数指数幂、指数幂、乘方、化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，进一步合并得出答案即可． 【详解】解：原式 ． 22. 在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）如图1所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由； （2）如图2所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由． 【答案】（1）全等，见解析；（2）全等，见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据同角的余角证明∠DAC＝∠BCE，再利用AAS定理证明△DAC≌△ECB； （2）首先根据同角的余角证明∠DAC＝∠BCE，进而利用HL定理证明△ACD≌△CBE． 【详解】（1）如图1，全等， 理由：∵∠ACB＝90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠DAC+∠DCA＝∠BCE+∠DCA， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△DAC与△ECB中， ∵， ∴△DAC≌△ECB（AAS）； （2）如图2，全等， 理由： ∵∠ACB＝90°，AD⊥MN， ∴∠DAC+∠ACD＝∠ACD+∠BCE， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ACD与△CBE中， ∵， ∴△ACD≌△CBE（AAS）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质定理的同时，还渗透了对旋转变换的考查；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理解题． 23. 某班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图． 类别 频数人数 频率 小说 戏剧 散文 其他 合计 根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）该班有______名学生； （2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比； （3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的人恰好是乙和丙的概率． 【答案】（1） （2）①，②，③，④； （3） 【解析】 【分析】（1）根据散文的频数和频率，可以计算出该班有多少名学生； （2）根据（1）中的结果和频数分布表中的数据，可以将频数分布表补充完整，然后计算出扇形统计图中“其他”类所占的百分比即可； （3）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率． 【小问1详解】 解：该班的学生有：（名）； 【小问2详解】 解：类型为小说的频数为， 类型为戏剧的频率为 ， 类型为其他的频率为： ， 合计为， 补全的频数分布表如下： 类别 频数人数 频率 小说 戏剧 散文 其他 合计 扇形统计图中“其他”类所占的百分比为：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由上可得，一共有种可能性，其中选取的是乙和丙的有两种可能性， ∴选取的人恰好是乙和丙的概率为． 24. 第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） 【答案】钟楼AB的高度约为56m 【解析】 【分析】作DF⊥AB于F，根据矩形的性质得到FB＝DE＝10，DF＝BE，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】解：作DF⊥AB于F， 设AB＝xm， ∵FB⊥EB，DE⊥EB，DF⊥AB， ∴四边形FBED为矩形， ∴FB＝DE＝10，DF＝BE， ∴AF＝10﹣x， 在Rt△AFD中，∠ADF＝45°， ∴DF＝AF＝x﹣10， 在Rt△ABC中，∠ACB＝53°，tan∠ACB＝， ∴BC＝， 由题意得，BE﹣BC＝CE，即x﹣10﹣x＝4， 解得，x＝56， 答：钟楼AB的高度约为56m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 25. 如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． （1）求证：是的切线； （2）求证：平分； （3）若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 【答案】（1）证明：如图中，连接． 是切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵为半径， 是的切线． （2）证明：如图中，设． ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 平分． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）设，通过导角计算证明，即可解决问题； （3）图中，设交于点，、是的切线，推出平分，因为平分，推出点是的内心，设的内切圆交于，点到上各点的最大距离为，求出即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图中，设交于点． 是的切线， 平分， 平分， 点是的内心，设的内切圆交于， 的直径为， ， 垂直平分， ， ， ， ， 点到上各点的最大距离为， 最大距离． 26. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？ 【答案】（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）有三种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件；方案一需要资金最少，最少资金是10万元；（3）节省的资金再次购买农机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件 【解析】 【分析】（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，根据题意可直接列出二元一次方程组求解即可； （2）在（1）的基础之上，结合题意，建立关于m的一元一次不等式组，求解即可得到m的范围，从而根据实际意义确定出m的取值，即可确定不同的方案，最后再结合一次函数的性质确定最小值即可； （3）结合（2）的结论，直接求出可节省的资金，然后确定降价后的单价，再建立二元一次方程，并结合实际意义进行求解即可． 【详解】解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元． 根据题意，得， 解得：， 答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元． （2）根据题意，得， 解得：， ∵m为整数， ∴m可取5、6、7， ∴有三种方案： 方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件； 方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件； 方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件． 设总资金为W万元，则， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，（万元）， ∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元． （3）由（2）可知，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件时，费用最小， 根据题意，此时，节省的费用为（万元）， 降价后的单价分别为：甲种0.8万元，乙种0.3万元， 设节省的资金可购买a台甲种，b台乙种， 则：， 由题意，a，b均为非负整数， ∴满足条件的解为：或， ∴节省的资金再次购买农机具的方案有两种： 方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件； 方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件． 【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的实际应用，找准等量关系，理解一次函数的性质是解题关键． 27. 如图，是的直径，点C是上一点，过点C作弦于E，点F是上一点，交于点H，过点F作一条直线交的延长线于M，交的延长线于G，． （1）求证：是的切线； （2）若，试探究之间的关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 解：，理由如下： 连接，如图： ∵， ∴， ， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，可得，再由，可得，即可求证； （2）连接，证明，可得，即可解答； （3）连接，根据题意可设，则，在中，利用勾股定理可得 ，从而得到，设半径为r，则，然后在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 设半径为r，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵是的切线， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆切线的判定、相似三角形性质和判定、勾股定理、圆中的有关计算及三角函数等知识，解题的关键是求出圆的半径． 28. 如图，在和中，，，，点为中点，连接． （1）如图1所示，若点正好在边上，求证：； （2）如图2所示，点在边上，分别延长，，相交于点，当，时，求线段的长度； （3）如图3所示，若，，取的中点，连接，在绕点逆时针旋转过程中，求线段的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE=∠B，可得结论． （2）如图2中．过点G作GH⊥BC于H．首先证明D，H共点，求出AC，AG，可得结论． （3）如图3中，取DE的中点F，AC的中点G，连接AF，BG，NG．求出BG，GN可得结论． 【详解】（1）证明：如图1中， ， ， ，， ， ， ，， ， ． （2）解：如图2中．过点作于． ，， ， ． ， ， 可以假设，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 与重合， ，， ， ， ， ． （3）解：如图3中，取的中点，的中点，连接，，． ，， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， 的最大值为． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 29. 如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点、（点在右侧），与轴交于点，点的横坐标恰好为．动点、同时从原点出发，沿射线分别以每秒和个单位长度运动，经过秒后，以为对角线作矩形，且矩形四边与坐标轴平行． （1）求的值及秒时点的坐标； （2）当矩形与抛物线有公共点时，求时间的取值范围； （3）在位于轴上方的抛物线图象上任取一点，作关于原点的对称点为，当点恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）， 【解析】 【分析】（1）将，代入，求出a，即可得到抛物线解析式，当秒时，，设的坐标为，建立方程求解即可； （2）经过秒后，，，由（1）方法知，的坐标为，的坐标为进而得出的坐标为，的坐标为将代入，将代入，解方程即可得到答案； （3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则 ．又得，消去得，即可求解． 【详解】解：（1）由题意知，交点A坐标为，代入， 解得， ∴抛物线解析式为． 当秒时，，设的坐标为， 则， 解得或（舍）， 所以的坐标为． （2）经过秒后，，， 由（1）方法知，的坐标为，的坐标为， 由矩形的邻边与坐标轴平行可知，的坐标为，的坐标为． 矩形在沿着射线移动的过程中，点与抛物线最先相交， 如图①，然后公共点变为2个，点与抛物线最后相离，然后渐行渐远． 如图②，将代入，得， 解得，或（舍）， 将代入，得， 解得，或（舍）． 所以，当矩形与抛物线有公共点时，时间的取值范围是． （3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则 ．又得， 消去得 ， 当时，长度的最小值为． 此时，，解得， 所以，点的坐标是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，中心对称等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年四川省内江市隆昌市蓝天育才学校中考数学模拟试卷（二） 考试注意事项： 1、考生须诚信考试，遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员 管理； 2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场； 3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答（作图可使用铅笔） ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记．考生书写在答题卡规定区域外的答案无效． 4、考试开始信号发出后，考生方可开始作答． 一．选择题（共12小题，共36分） 1. 若与1互为相反数，那么（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 2020年是不寻常的一年，据世卫组织统计，截至2020年6月28日全球累计已超过1040万人确诊感染了“新冠”病毒，将数据1040万用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 3. 如图，一个正方块的六个面分别标有A、B、C、D、E、F，从三个不同方向看到的情况如图所示，则A的对面应该是字母（　　） A. B B. C C. E D. F 4. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ） A. x≠0 B. x≥2或x≠0 C. x≥2 D. x≤﹣2且x≠0 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零实数x满足，则的值为( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 7. 下列事件，是必然事件的是（　　　） A. 投掷一枚硬币，向上一面是正面 B. 同旁内角互补 C. 打开电视，正播放电影《英雄儿女》 D. 任意画一个多边形，其外角和是360° 8. 如图，在中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（ ） A. B. C. D. 9. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是平行四边形，以为直径的与切于点，交于点，连接，若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 11. 若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣5，且关于x的分式方程+2＝有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3 D. 0 12. 如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（　　） A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 二．填空题（本题共8小题，共40分） 13. 把多项式分解因式的结果是 _____． 14. 已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为_________． 15. “七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．如图，一只小虫在七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是___． 16. 已知中，，，为的中点，为上一点，，在上、在上，，且若，则______． 17. 已知，那么的值是______． 18. 有一边是另一边的倍的三角形叫做幸运三角形，这两边中较长边称为幸运边，这两边的夹角叫做幸运角．如图，是幸运三角形，为幸运边，为幸运角，，点B，C在反比例函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当是直角三角形且时，则k的值为_______． 19. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是___． 20. 如图，在矩形中，，，、分别是、边上的动点，，则的最小值为__________． 三．解答题（本题共9小题，共84分） 21. 计算：． 22. 在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）如图1所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由； （2）如图2所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由． 23. 某班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图． 类别 频数人数 频率 小说 戏剧 散文 其他 合计 根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）该班有______名学生； （2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比； （3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的人恰好是乙和丙的概率． 24. 第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） 25. 如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． （1）求证：是的切线； （2）求证：平分； （3）若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 26. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？ 27. 如图，是的直径，点C是上一点，过点C作弦于E，点F是上一点，交于点H，过点F作一条直线交的延长线于M，交的延长线于G，． （1）求证：是的切线； （2）若，试探究之间的关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 28. 如图，在和中，，，，点为中点，连接． （1）如图1所示，若点正好在边上，求证：； （2）如图2所示，点在边上，分别延长，，相交于点，当，时，求线段的长度； （3）如图3所示，若，，取的中点，连接，在绕点逆时针旋转过程中，求线段的最大值． 29. 如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点、（点在右侧），与轴交于点，点的横坐标恰好为．动点、同时从原点出发，沿射线分别以每秒和个单位长度运动，经过秒后，以为对角线作矩形，且矩形四边与坐标轴平行． （1）求的值及秒时点的坐标； （2）当矩形与抛物线有公共点时，求时间的取值范围； （3）在位于轴上方的抛物线图象上任取一点，作关于原点的对称点为，当点恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $