第7讲直线的倾斜角与斜率（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选修第一册）

第07讲 直线的倾斜角与斜率（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线的倾斜角 知识点02：直线的斜率 知识点03：倾斜角和斜率的应用 知识点04：两条直线平行的判定 知识点05：两条直线垂直的判定 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求直线的倾斜角 题型02：两点坐标求直线斜率 题型03：斜率与倾斜角的变化关系 题型04： 已知斜率求参数 题型05：由斜率判断两条直线平行 题型06：由斜率判断两条直线垂直 题型07：已知直线平行求参数 题型08：已知直线垂直求参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线的倾斜角 1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度． 【例1】判断下列直线的倾斜角，并说明理由。 （1）直线 （2）直线 解：（1）直线为平行于轴的水平直线，根据倾斜角特殊规定： 倾斜角 。 （2）直线为垂直于轴的竖直直线，直线与轴正方向夹角为，即： 倾斜角。 答案：倾斜角为，倾斜角为。 【知识点02】直线的斜率 1. 倾斜角求斜率公式（）： 2. 两点坐标求斜率公式（）： 3. 倾斜角与斜率对应关系： ，，直线水平； ，，倾斜角越大，斜率越大； ，斜率不存在，直线竖直； ，，倾斜角越大，斜率越大。 4.斜率与方向向量关系 当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k). 【例2】已知直线过点、，求直线的斜率。 解：由两点斜率公式，代入： 答案：直线斜率为。 【知识点03】倾斜角和斜率的应用 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 【例3】已知直线倾斜角，求直线斜率，并判断直线升降趋势。 解：根据斜率定义公式 ： 因为 ，所以直线从左到右上升。 答案：斜率为，直线单调上升。 【知识点04】两条直线平行的判定 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 【例4】判断直线（过）与直线（过）是否平行。 解：第一步：求斜率 第二步：求斜率 第三步：判定位置关系 ，且两直线经过不同点，不重合。 故 。 答案：两条直线互相平行。 【知识点05】两条直线垂直的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 分步推导过程 步骤1：找倾斜角数量关系 两直线互相垂直，夹角为，可得： 步骤2：等式两边同时取正切 步骤3：代入三角诱导公式化简 步骤4：替换斜率定义式 步骤5：整理得到核心判定公式 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝.. 【例5】已知直线斜率，直线过点，判断两直线是否垂直。 解：第一步：求斜率 第二步：验证垂直公式 满足垂直判定条件，故 。 答案：两条直线互相垂直。 【题型01】求直线的倾斜角 【典例1-1】（25-26高二上·广东潮州·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与轴垂直，故倾斜角为. 【变式1-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线，则直线倾斜角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为， 由直线方程为， 可得斜率，解得， 即直线的倾斜角为. 【变式1-2】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）直线的倾斜角为______． 【答案】 【分析】求出直线的斜率，即可得到其倾斜角. 【详解】直线即，所以直线的斜率为， 设倾斜角为，则，又，所以， 即直线的倾斜角为. 故答案为： 【变式1-3】（25-26高二上·上海嘉定·期中）已知直线，则直线的倾斜角为___________. 【答案】/ 【分析】设直线的倾斜角为，先求出直线的斜率，由，即可得出答案. 【详解】由直线可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以，则. 故答案为：. 【题型02】两点坐标求直线斜率 【典例2-1】（25-26高二上·山东青岛·期末）经过、两点的直线斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线的斜率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，经过、两点的直线斜率为. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线经过两点，得直线的斜率， 则直线的倾斜角，直线的倾斜角为， 所以的斜率为. 【变式2-2】（25-26高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 【答案】 【详解】设此直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 【变式2-3】经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率. (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1)存在，斜率 (2)存在，斜率 (3)答案见解析 【分析】根据两点斜率公式即可求解. 【详解】（1）存在，直线AB的斜率， （2）存在，直线CD的斜率， （3）当时，斜率不存在；当时，直线的斜率. 【题型03】斜率与倾斜角的变化关系 【典例3-1】（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得出答案. 【详解】由，，则. 故选：A 【变式3-1】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AB 【分析】根据倾斜角与斜率的关系判断即可. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为， 对于：，所以，故正确； 对于：，所以，故正确； 对于：，所以，故错误； 对于：，所以，故错误. 故选：. 【变式3-2】（25-26高二上·四川成都·期末）若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由直线倾斜角的范围再结合正切函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】当时，，所以； 当时，，即； 所以的取值范围是. 【变式3-3】（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）若直线l的斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为__________. 【答案】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案. 【详解】由题，，又， 所以. 故答案为：. 【题型04】已知斜率求参数 【典例4-1】（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，整理得，解得. 【变式4-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 【变式4-2】（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【分析】根据斜率公式可得关于m的方程，求解可得实数的值. 【详解】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高二上·新疆喀什·阶段检测）若斜率为2的直线经过三点，则的值为多少？ 【答案】 【分析】应用两点求斜率公式计算求参即可. 【详解】因为直线经过三点， 则， 所以. 【题型05】由斜率判断两条直线平行 【典例5-1】（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行的条件判断即可. 【详解】对于直线，可化为， 对于A，因为，所以，与目标直线不平行，故A错误， 对于B，因为，所以，与目标直线平行，故B正确， 对于C，因为，所以，与目标直线不平行，故C错误， 对于D，因为，所以，与目标直线不平行，故D错误. 故选：B 【变式5-1】（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 【变式5-2】直线，那么与_________. 【答案】平行 【分析】根据两条直线斜率关系即可判断. 【详解】由题可得，且与不重合，所以与平行； 故答案为：平行 【变式5-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与不平行，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)与重合，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，，所以与重合． 【题型06】由斜率判断两条直线垂直 【典例6-1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 【变式6-1】（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 【变式6-2】已知，，，，试判断直线与的位置关系. 【答案】. 【分析】通过计算得到，由此作出判断. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. 【变式6-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两直线斜率乘积等于得垂直； （2）由两直线斜率乘积等于得垂直； （3）由两直线一条斜率为0，一条斜率不存在得垂直． 【详解】（1）两直线的斜率，，由，则． （2）两直线的斜率，，由，则． （3）的斜率为0，的斜率不存在，． 【题型07】已知直线平行求参数 【典例7-1】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【分析】由两直线平行的条件计算． 【详解】由题意，， 时，方程是，的方程是，平行； 时，方程可化为，方程化为，两直线重合，舍去， 故选：A. 【变式7-1】（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）（多选）已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 【答案】AC 【分析】根据两直线平行的充要条件求解即可. 【详解】要使三条直线共有两个不同的交点，则有两条直线平行，第三条直线与它们不平行． 因为直线与不平行，所以或． 当时，,解得； 当时，，解得． 综上，的值可能是或． 【变式7-2】（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 【答案】7 【分析】根据斜率相等计算. 【详解】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. 故答案为：. 【变式7-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，直线． (1)当时，求直线的倾斜角的取值范围; (2)当时，求实数的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先将直线的方程转化为斜截式求出斜率，结合得斜率为负，再根据斜率与倾斜角的对应关系，确定倾斜角的范围. （2）利用两直线平行的系数关系求出的可能值，再验证排除两直线重合的情况，得到符合条件的值. 【详解】（1）∵直线的方程为，∴直线的斜率． 又∵，∴． ∵当时，，∴直线的倾斜角. （2）∵，∴，解得． ∵当时，与重合， ∴当时，． 【题型08】已知直线垂直求参数 【典例8-1】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）若直线和互相垂直，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用两直线垂直，它们的斜率乘积为，即可求解. 【详解】由直线和互相垂直，可得：， 解得：， 故选：D. 【变式8-1】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）若直线与直线垂直，则的值可能为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】CD 【分析】根据两条直线垂直系数关系列式计算求解. 【详解】直线与直线垂直， 则，所以或. 故选：CD. 【变式8-2】（25-26高二上·福建泉州·期末）若直线与直线互相垂直，则实数的值_____. 【答案】0或 【分析】直接由两条直线垂直的充要条件可得. 【详解】由直线与直线互相垂直， 所以，，解得或. 故答案为：0或 【变式8-3】（24-25高二上·新疆喀什·阶段检测）已知直线互相垂直，求实数的值 【答案】0或1 【分析】根据直线垂直的结论计算即可. 【详解】因为直线互相垂直， 所以根据直线垂直的结论知道，， 解得， 即或. 知识点01 直线的倾斜角 1. 定义：直线与轴相交时，以轴正方向为始边，逆时针旋转到直线的最小正角。 2. 特殊规定：直线与轴平行或重合时，倾斜角为。 3. 取值范围（必考）： 4. 核心性质：平面内任意一条直线有且仅有一个倾斜角，倾斜角唯一刻画直线倾斜程度。 知识点02 直线的斜率 1. 倾斜角求斜率公式（）： 2. 两点坐标求斜率公式（）： 3. 倾斜角与斜率对应关系： ，，直线水平； ，，倾斜角越大，斜率越大； ，斜率不存在，直线竖直； ，，倾斜角越大，斜率越大。 知识点03 倾斜角与斜率的应用 1. 单调性判断：直线从左至右上升；直线从左至右下降；直线水平；斜率不存在直线竖直。 2. 范围互求：可根据倾斜角范围求斜率范围，也可根据斜率范围反推倾斜角范围。 3. 核心作用：是判定两直线平行、垂直位置关系的核心工具。 知识点04 两条直线平行的判定 设为平面内两条不重合直线： 1. 斜率均存在： 2. 斜率均不存在：两直线倾斜角均为，两直线平行。 3. 关键前提： ⇏ 必平行，需排除两直线重合情况。 知识点05 两条直线垂直的判定 1. 两直线斜率均存在且不为0： 2. 特殊垂直模型：一条直线斜率为0（水平直线），一条直线斜率不存在（竖直直线），两直线互相垂直。 知识点06高频简约易错点 （1）倾斜角范围记错，误写为； （2）时，误用斜率公式计算，忽略斜率不存在； （3）斜率相等直接判定平行，未排除直线重合； （4）遗漏“水平直线与竖直直线垂直”的特殊垂直情况； （5）钝角倾斜角对应负斜率，区间范围判断易出错。 一、单选题 1．（25-26高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用两直线平行时，斜率间的关系可求答案. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得. 故选：B 3．（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率计算公式，列出不等式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. 4．（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【详解】因为直线过点，，且斜率为1， 所以，解得． 5．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与直线平行，则实数的值为（     ） A． B．1 C．或1 D．0 【答案】C 【分析】利用两条直线平行的条件列式求解. 【详解】因为，当时，显然不合题意； 所以，解得或. 故选：C. 6．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据直线垂直得出斜率关系结合两点的斜率公式计算求解参数即可. 【详解】因为点，，所以直线的斜率． 因为，所以直线的斜率， 即，解得． 故选：C． 8．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线和直线，以下论述中： （1）当或时,与相交; （2）当时,或 （3） 当且仅当时, （4）当时, 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】直线和直线平行，则；若两直线垂直，则.根据这些结论分别判断每个论述的正确性即可. 【详解】对于直线和直线， 若两直线相交，则. 由可得. 解得且，所以（1）错误.   若，则. 由可得，即，解得或. 当时，即，，两直线重合. 同理，当，，,，满足题意，所以（2）错误.   由前面分析可知，当时，两直线平行，所以（3）正确.   若，则. 展开式子得，即，解得，所以（4）正确. 故正确的有（3）（4）. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）若直线与直线垂直，则的值可能为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】CD 【分析】根据两条直线垂直系数关系列式计算求解. 【详解】直线与直线垂直， 则，所以或. 故选：CD. 10．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用直线斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，三条直线的倾斜角分别为，可得， 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得, 结合选项，可得选项A、B、C. 故选：ABC. 11．（25-26高二上·广东清远·期末）已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 【答案】AC 【分析】A选项，由两点斜率公式得到A正确；B选项，得到直线的斜率，从而得到直线的倾斜角；C选项，由中点坐标公式可得C正确；D选项，得到与不平行，D错误. 【详解】A选项，直线的斜率为，A正确； B选项，直线的斜率为，故直线的倾斜角不为，B错误； C选项，线段的中点坐标为，C正确； D选项，，显然，故与不平行， 故四边形不是平行四边形，D错误. 故选：AC 三、填空题 12．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）直线的倾斜角大小为_____________. 【答案】 【分析】由直线方程可得直线的斜率，即可求得直线的倾斜角. 【详解】由题意可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，故， 故答案为： 13．（25-26高二上·江西吉安·期末）直线与直线，若，则__________. 【答案】3 【分析】根据两直线平行，列出有关的等式，即可求出实数的值，再验证直线的关系. 【详解】由，则，化简得，可得或， 当时，直线的方程为，此时不是直线，故舍去，所以 故答案为：. 14．（24-25高二上·全国·课后作业）设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为______. 【答案】或 【分析】由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果. 【详解】由，得，即. 所以，得，即. 或，经验证均符合题意，故的值是或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·课堂例题）经过下列两点的直线的倾斜角与斜率是否存在？如果存在，求其倾斜角与斜率. (1)，； (2)，； 【答案】(1)存在，倾斜角，斜率 (2)存在，倾斜角，斜率 【分析】（1）存在，计算斜率和倾斜角即可；（2）存在，计算斜率和倾斜角即可. 【详解】（1）存在，直线AB的斜率，即， 又，倾斜角. （2）存在，直线CD的斜率，即， 又，倾斜角. 16．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知点和点，若直线PM和PN的斜率分别为2和，求点P的坐标；若过点的直线l与线段MN总有交点，求直线l的斜率的取值范围. 【答案】点P的坐标为，直线l的斜率的取值范围为 【分析】设点，根据斜率公式列出方程组，即可求得点的坐标；再利用斜率公式，分别求得，结合图象，即可求解. 【详解】由题意，设点， 因为直线PM和PN的斜率分别为2和，，， 可得，解得，所以点的坐标为. 由斜率公式，可得， 因为过的直线与线段总有交点， 则直线的斜率需满足或， 即直线的斜率的取值范围.    17．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）给出两条直线，，其中. (1)设，求； (2)求的值，使得 【答案】(1) (2) 【分析】直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）与重合； （2）与平行； （3）与相交； （4）与垂直. 【详解】（1）由，解得，所以时， （2）当时，即时， 18．（24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1) (2)四边形为直角梯形 【分析】（1）求出可得两直线线关系； （2）求出且可得四边形形状； 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 19．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知点，，直线经过点与， (1)若与直线垂直，求； (2)若与线段有交点，求的倾斜角的取值范围， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合直线的斜率公式与垂直性质计算即得； （2）结合图形，由直线的斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】（1），因为与直线垂直，所以， 所以，，解得； （2）依题意， 由与线段有交点，当直线斜率存在时， 则的斜率的取值范围是， 因直线的倾斜角的范围是， 故的倾斜角的取值范围是， 若斜率不存在时，倾斜角为， 综上，的倾斜角的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 直线的倾斜角与斜率（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线的倾斜角 知识点02：直线的斜率 知识点03：倾斜角和斜率的应用 知识点04：两条直线平行的判定 知识点05：两条直线垂直的判定 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求直线的倾斜角 题型02：两点坐标求直线斜率 题型03：斜率与倾斜角的变化关系 题型04： 已知斜率求参数 题型05：由斜率判断两条直线平行 题型06：由斜率判断两条直线垂直 题型07：已知直线平行求参数 题型08：已知直线垂直求参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线的倾斜角 1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度． 【例1】判断下列直线的倾斜角，并说明理由。 （1）直线 （2）直线 【知识点02】直线的斜率 1. 倾斜角求斜率公式（）： 2. 两点坐标求斜率公式（）： 3. 倾斜角与斜率对应关系： ，，直线水平； ，，倾斜角越大，斜率越大； ，斜率不存在，直线竖直； ，，倾斜角越大，斜率越大。 4.斜率与方向向量关系 当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k). 注意点： (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0. 【例2】已知直线过点、，求直线的斜率。 【知识点03】倾斜角和斜率的应用 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 【例3】已知直线倾斜角，求直线斜率，并判断直线升降趋势。 【知识点04】两条直线平行的判定 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 【例4】判断直线（过）与直线（过）是否平行。 【知识点05】两条直线垂直的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 分步推导过程 步骤1：找倾斜角数量关系 两直线互相垂直，夹角为，可得： 步骤2：等式两边同时取正切 步骤3：代入三角诱导公式化简 步骤4：替换斜率定义式 步骤5：整理得到核心判定公式 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝. 【例5】已知直线斜率，直线过点，判断两直线是否垂直。 【题型01】求直线的倾斜角 【典例1-1】（25-26高二上·广东潮州·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线，则直线倾斜角度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）直线的倾斜角为______． 【变式1-3】（25-26高二上·上海嘉定·期中）已知直线，则直线的倾斜角为___________. 【题型02】两点坐标求直线斜率 【典例2-1】（25-26高二上·山东青岛·期末）经过、两点的直线斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 【变式2-3】经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率. (1)，； (2)，； (3)，. 【题型03】斜率与倾斜角的变化关系 【典例3-1】（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【变式3-2】（25-26高二上·四川成都·期末）若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 【变式3-3】（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）若直线l的斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为__________. 【题型04】已知斜率求参数 【典例4-1】（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【变式4-3】（24-25高二上·新疆喀什·阶段检测）若斜率为2的直线经过三点，则的值为多少？ 【题型05】由斜率判断两条直线平行 【典例5-1】（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【变式5-2】直线，那么与_________. 【变式5-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【题型06】由斜率判断两条直线垂直 【典例6-1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【变式6-1】（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式6-2】已知，，，，试判断直线与的位置关系. 【变式6-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【题型07】已知直线平行求参数 【典例7-1】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）（多选）已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 【变式7-2】（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 【变式7-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，直线． (1)当时，求直线的倾斜角的取值范围; (2)当时，求实数的值． 【题型08】已知直线垂直求参数 【典例8-1】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）若直线和互相垂直，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）若直线与直线垂直，则的值可能为（    ） A． B．4 C． D．2 【变式8-2】（25-26高二上·福建泉州·期末）若直线与直线互相垂直，则实数的值_____. 【变式8-3】（24-25高二上·新疆喀什·阶段检测）已知直线互相垂直，求实数的值 知识点01 直线的倾斜角 1. 定义：直线与轴相交时，以轴正方向为始边，逆时针旋转到直线的最小正角。 2. 特殊规定：直线与轴平行或重合时，倾斜角为。 3. 取值范围（必考）： 4. 核心性质：平面内任意一条直线有且仅有一个倾斜角，倾斜角唯一刻画直线倾斜程度。 知识点02 直线的斜率 1. 倾斜角求斜率公式（）： 2. 两点坐标求斜率公式（）： 3. 倾斜角与斜率对应关系： ，，直线水平； ，，倾斜角越大，斜率越大； ，斜率不存在，直线竖直； ，，倾斜角越大，斜率越大。 知识点03 倾斜角与斜率的应用 1. 单调性判断：直线从左至右上升；直线从左至右下降；直线水平；斜率不存在直线竖直。 2. 范围互求：可根据倾斜角范围求斜率范围，也可根据斜率范围反推倾斜角范围。 3. 核心作用：是判定两直线平行、垂直位置关系的核心工具。 知识点04 两条直线平行的判定 设为平面内两条不重合直线： 1. 斜率均存在： 2. 斜率均不存在：两直线倾斜角均为，两直线平行。 3. 关键前提： ⇏ 必平行，需排除两直线重合情况。 知识点05 两条直线垂直的判定 1. 两直线斜率均存在且不为0： 2. 特殊垂直模型：一条直线斜率为0（水平直线），一条直线斜率不存在（竖直直线），两直线互相垂直。 知识点06高频简约易错点 （1）倾斜角范围记错，误写为； （2）时，误用斜率公式计算，忽略斜率不存在； （3）斜率相等直接判定平行，未排除直线重合； （4）遗漏“水平直线与竖直直线垂直”的特殊垂直情况； （5）钝角倾斜角对应负斜率，区间范围判断易出错。 一、单选题 1．（25-26高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 3．（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 5．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与直线平行，则实数的值为（     ） A． B．1 C．或1 D．0 6．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 8．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线和直线，以下论述中： （1）当或时,与相交; （2）当时,或 （3） 当且仅当时, （4）当时, 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）若直线与直线垂直，则的值可能为（    ） A． B．4 C． D．2 10．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广东清远·期末）已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 三、填空题 12．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）直线的倾斜角大小为_____________. 13．（25-26高二上·江西吉安·期末）直线与直线，若，则__________. 14．（24-25高二上·全国·课后作业）设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为______. 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·课堂例题）经过下列两点的直线的倾斜角与斜率是否存在？如果存在，求其倾斜角与斜率. (1)，； (2)，； 16．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知点和点，若直线PM和PN的斜率分别为2和，求点P的坐标；若过点的直线l与线段MN总有交点，求直线l的斜率的取值范围. 17．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）给出两条直线，，其中. (1)设，求； (2)求的值，使得 18．（24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 19．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知点，，直线经过点与， (1)若与直线垂直，求； (2)若与线段有交点，求的倾斜角的取值范围， 1 学科网（北京）股份有限公司 $