第09讲 两条直线平行和垂直的判定（思维导图+2知识点+5大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第09讲 两条直线平行和垂直的判定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 两条直线平行的判定 题型02 平行关系的应用及参数问题 题型03 两条直线垂直的判定 题型04 垂直关系的应用及参数问题 题型05 平行、垂直关系的综合应用（含几何应用） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.两条直线平行 2.两条直线垂直 1. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直,培养直观想象和数学运算的核心素养. 学习重点：根据斜率判定两条直线平行或垂直 学习难点：解决两条直线平行或垂直中的参数问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 两条直线平行 1、对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 2、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 即时即练 1．过,两点的直线与过，两点的直线平行，则________． 【答案】/ 【分析】利用两点间的斜率公式结合两条平行直线斜率关系即可求解. 【详解】由题可得：，因为，所以，解得：； 故答案为： 2．（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【分析】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 【方法总结】 在判断两直线的平行关系时,应先看两直线的斜率是否存在,然后再进行判断,同时注意不要漏掉两直线重合的情况. 知识点02 两条直线垂直 1、如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 即时即练 1．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）已知直线过两点，且，则直线的斜率为__________． 【答案】/ 【分析】根据直线斜率的定义及互相垂直直线斜率间的关系得解. 【详解】因为直线过， 所以， 因为， 所以， 故答案为：. 2．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 【答案】(1)垂直 (2)垂直 【分析】（1）根据斜率关系判断两直线是否垂直； （2）根据斜率关系判断两直线是否垂直； （3）根据法向量关系判断两直线是否垂直. 【详解】（1）直线的斜率，直线的斜率，因为，所以与垂直． （2）直线的斜率不存在，故与轴垂直，直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． 【方法总结】 判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下,看它们的斜率之积是否等于-1,但应注意当有一条直线与x轴垂直(斜率不存在),另一条直线与x轴平行或重合时,这两条直线也垂直. 题型01 两条直线平行的判定 1．下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行 B．若，则 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交 D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行 【答案】C 【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案. 【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误； 若，则或，的斜率都不存在，B错误； 若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确； 若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误． 故选：C. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】B 【分析】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系. 【详解】由题意，由点和点，可得，所以的方程为， 又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故选：B． 3．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 4．（多选题）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．直线的倾斜角为，直线经过点， B．直线的方向向量为，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【答案】CD 【分析】求出设直线的斜率为，直线的斜率为．根据斜率是否相等，即可判断直线的位置关系； 【详解】对于选项A，因为直线经过点，， 所以直线的斜率， 又直线的倾斜角为，所以直线的斜率，故直线与直线平行或重合，故A错误； 对于选项B，直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线与不平行，故B错误； 对于选项C，，，则有，故C正确； 又，则，，不共线，故． 对于选项D，由已知点的坐标，得与均与轴垂直且不重合，故有，故D正确． 故选：CD． 【技巧归纳】 在判断两直线的平行关系时,应先看两直线的斜率是否存在,然后再进行判断,同时注意不要漏掉两直线重合的情况. 题型02 平行关系的应用及参数问题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据平行列方程，化简求得的值. 【详解】依题意，， 又，则，即，解得． 故选：B 2．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线经过、两点，直线的方向向量为，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据题意求出两直线的斜率，根据可得出两直线的斜率相等，可得出关于的等式，解之即可. 【详解】当时，此时的斜率不存在，而直线的斜率，显然不平行，故不等于， 则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以，即，整理得，解得或. 故选：A. 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）若直线l₁经过两点A（4，2y+1），B（2，-3），直线l₂的倾斜角为，且， 则y等于（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据直线平行时斜率相等，直接解题即可. 【详解】因为直线l₁经过两点A（4，2y+1），B（2，-3），所以直线l₁的斜率为， 因为直线l₂的倾斜角为，所以直线l₂的斜率为， 因为，所以，所以，所以. 故选：B 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 【答案】7 【分析】根据斜率相等计算. 【详解】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. 故答案为：. 5．在△ABC中，，，E，F分别为边AC，BC的中点，则直线EF的斜率为________. 【答案】 【分析】先根据三角形中位线得到EF∥AB，再利用直线的斜率公式和两直线平行列出关系式，求解即可. 【详解】∵E，F分别为边AC，BC的中点， ∴由三角形中位线可得：EF∥AB. ∴. 故答案为： 【技巧归纳】 由两条直线平行求参数的值,一般是利用斜率的坐标公式表示出斜率,令斜率相等求解,但在解题过程中要注意对参数的讨论,不要遗漏直线与x轴垂直的特殊情况.同时,求得值后要注意检验,排除重合的情况. 题型03 两条直线垂直的判定 1．在平面直角坐标系中，两条直线（    ）时候垂直？ A．斜率之积为-1时 B．两条直线有1个公共点的时候 C．两条直线分别与坐标轴垂直的时候 D．以上答案均不正确 【答案】A 【分析】由两直线垂直的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：斜率之积为-1时，两直线垂直，正确 对于B：两条直线有1个公共点的时候，可能相交但不垂直，错误 对于C：两条直线分别与坐标轴垂直的时候，如果是同一坐标轴，那么平行，错误 对于D：错误 故选：A 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】利用两直线的位置关系求解. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】根据两直线的斜率关系判断即可. 【详解】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直. 故选：D 4．（24-25高二上·重庆·阶段检测）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（   ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 【答案】C 【分析】设两直线的斜率分别为，利用根与系数的关系，即可得到，即可判断. 【详解】设两直线的斜率分别为，因为是方程的两根， 利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直. 故选：C 5．（2024高二·全国·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【答案】(1)垂直 (2)不垂直 (3)垂直 (4)当或时，直线，当且时，与不垂直． 【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可； （4）分的斜率是否存在进行分类讨论，当两条两条直线垂直，可以是一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0， 也可以是两条直线斜率均存在时，斜率之积为，从而确定直线与垂直时的值. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为，所以． （2）由题意知，直线的斜率为，直线的斜率为， 而，所以与不垂直． （3）记的斜率为，因为，所以， 解得或， 又因为为锐角，所以． 因为的斜率为，且，所以． （4）由题意，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能存在或不存在． ①当直线的斜率不存在时，，即，此时，满足． ②当直线的斜率存在时，，由斜率公式，得，． 若，则，即，解得． 综上所述，当或时，直线，当且时，与不垂直． 【技巧归纳】 判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下,看它们的斜率之积是否等于-1,但应注意当有一条直线与x轴垂直(斜率不存在),另一条直线与x轴平行或重合时,这两条直线也垂直. 题型04 垂直关系的应用及参数问题 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据直线垂直得出斜率关系结合两点的斜率公式计算求解参数即可. 【详解】因为点，，所以直线的斜率． 因为，所以直线的斜率， 即，解得． 故选：C． 2．（25-26高二上·安徽马鞍山·阶段检测）已知直线过点、，直线方向向量为，且，则______． 【答案】3 【分析】根据直线的方向向量求其斜率，再结合两点斜率公式和垂直关系列式求解即可. 【详解】由直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 又因为过点、，且， 所以，解得． 故答案为：3 3．若点与关于直线对称，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，则，根据斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解． 【详解】由题意知，则， ∴，得， 设的倾斜角为，， ∴，则． 故选：B． 4．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知，若点在轴负半轴上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标，利用垂直关系，结合斜率公式列式求解. 【详解】设点，则直线的斜率必存在，分别为， 由，得，即， 而，解得，点的纵坐标为. 故选：A 【技巧归纳】 由两条直线垂直求参数的值,一般是利用斜率的坐标公式表示出斜率,令斜率之积为-1求解,但在解题过程中要注意讨论直线与x轴垂直的情况.此时一条直线的斜率为零,另一条直线的斜率不存在,对于斜率不存在的直线,可令直线上两点的横坐标相等,即可求解. 题型05 平行、垂直关系的综合应用（含几何应用） 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 2．已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标，再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标. 【详解】设C点坐标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则，， ∴，则， ∴点C的坐标为. 故选：D. 3．以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【详解】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则， 所以，， 两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. 4．（多选题）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求相应直线的斜率，结合平行、垂直关系逐项分析判断. 【详解】由题意可得：，，，，， 因为，可知，故A正确； 因为，可知，故B正确； 因为，可知PS与QS不平行，故C错误； 因为，可知，故D正确； 故选：ABD. 5．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 【答案】（1）三点在同一直线上； （2）与互相垂直 【分析】（1）计算可得，可得结论； （2）计算可得，可得结论. 【详解】（1）因为，，， 所以，又直线均过点， 所以点三点在同一条直线上； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过，两点，所以， 所以，所以与互相垂直. 6．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知直线经过点． (1)若斜率为2，且，求； (2)若的一个方向向量的坐标为，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用平行直线斜率相等的性质可求参数的值； (2)利用垂直直线斜率乘积为的性质可求参数的值. 【详解】（1）因为斜率为2，且，直线经过点， 所以，解得； （2）因为的一个方向向量的坐标为，所以斜率为， 又因为，所以直线的斜率为， 即，解得. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 【技巧归纳】 1、利用平面几何图形各边所在直线的斜率可以确定各边是否平行或垂直,从而判定平面几何图形的形状.具体方法: (1)在平面直角坐标系内画出图形,根据所画图形作出直观猜想. (2)求出各边所在直线的斜率,判断边的平行与垂直关系. (3)确定平面几何图形的形状. 2、由于只根据边的平行与垂直进行判断,故只能判定直角三角形、梯形、平行四边形、直角梯形、矩形等特殊平面几何图形的形状. 1．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断． 【详解】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确； 由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确， 所以正确的命题个数是4． 故选：D． 2．已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解． 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率，由，得， 所以，即，又，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：B． 3．以，，为顶点的三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】C 【分析】求出、的斜率，即可判断. 【详解】因为，， 所以，， ∴，∴， ∴是以点为直角顶点的直角三角形. 故选：C 4．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知直线经过，，直线经过，.如果，则（   ） A．3 B．5 C．2 D．2或5 【答案】D 【分析】根据两直线垂直时的斜率关系求解即可，注意讨论斜率是否存在. 【详解】当，即时，则直线的斜率不存在，此时直线的斜率， 所以直线与直线垂直，满足条件， 当时，直线的斜率存在，且斜率为，又直线的斜率为， 因为，所以， 解得； 综上，的值为5或2， 故答案为：D. 5．（多选题）（2025高二上·全国·专题练习）已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据斜率的计算公式计算出各条直线的斜率，根据斜率关系判断直线位置关系. 【详解】解：由斜率公式知，，，，，．所以ABC均正确，D错误． 故选：ABC. 6．已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 【答案】6 【分析】首先表示出直线的斜率，直线的斜率，依题意，从而得到方程，解得即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过、两点，所以直线的斜率， 又与平行，，即，解得． 故答案为： 7．若点关于直线对称，则直线的斜率 ______________ ． 【答案】 【分析】由点，求得，结合，即可求解. 【详解】由点，可得， 设直线的斜率为，因为点关于直线对称，可得，解得. 故答案为：. 8．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知点和，点P在y轴正半轴上，且∠APB为直角，则P点坐标为__________. 【答案】 【分析】利用两直线垂直条件可得两直线斜率之积为，从而可求得坐标. 【详解】由点P在y轴正半轴上，可设点， 由点和，可得 因为∠APB为直角，所以， 即， 因为，所以，即点， 故答案为： 9．（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与不平行，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)与重合，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 10．（25-26高二上·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）根据两直线垂直则斜率之积为，列方程求解即可； （2）根据两直线平行则斜率相等，列方程求解即可. 【详解】（1）经过，两点的斜率为：， 经过，两点的斜率为：， 两直线垂直则斜率之积为，所以，解得或； （2）经过，两点的斜率为：， 两直线平行则斜率相等，所以，解得或. 11．（24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1) (2)四边形为直角梯形 【分析】（1）求出可得两直线线关系； （2）求出且可得四边形形状； 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 12．已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【答案】平行四边形，理由见解析 【分析】应用两点式求四边形各边所在直线斜率，由斜率及点的关系判断边之间的位置关系； 【详解】如下图示：   OA边所在直线的斜率，AB边所在直线的斜率， BC边所在直线的斜率，CO边所在直线的斜率． 由知：点O不在BC上，则OA与BC不重合，又，得． 同理，由且AB与CO不重合，得． 因此四边形OABC是平行四边形． 13．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（1）已知平面直角坐标系中，，，，，若直线与直线平行，求的值； （2）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，求的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值是 【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系，列方程求解； （2）由方向向量和斜率关系，结合两直线垂直，推出，然后由基本不等式的妙用求解. 【详解】（1）由题知，，即，解得； （2）为正数，根据方向向量的定义，则的斜率必存在，由可知斜率存在， 于是，由可知， 整理可得，即， 则， 当，即取得等号， 即最小值是. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 两条直线平行和垂直的判定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 两条直线平行的判定 题型02 平行关系的应用及参数问题 题型03 两条直线垂直的判定 题型04 垂直关系的应用及参数问题 题型05 平行、垂直关系的综合应用（含几何应用） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.两条直线平行 2.两条直线垂直 1. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直,培养直观想象和数学运算的核心素养. 学习重点：根据斜率判定两条直线平行或垂直 学习难点：解决两条直线平行或垂直中的参数问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 两条直线平行 1、对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 2、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 即时即练 1．过,两点的直线与过，两点的直线平行，则________． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【方法总结】 在判断两直线的平行关系时,应先看两直线的斜率是否存在,然后再进行判断,同时注意不要漏掉两直线重合的情况. 知识点02 两条直线垂直 1、如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 即时即练 1．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）已知直线过两点，且，则直线的斜率为__________． 2．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 【方法总结】 判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下,看它们的斜率之积是否等于-1,但应注意当有一条直线与x轴垂直(斜率不存在),另一条直线与x轴平行或重合时,这两条直线也垂直. 题型01 两条直线平行的判定 1．下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行 B．若，则 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交 D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行 2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 3．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 4．（多选题）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．直线的倾斜角为，直线经过点， B．直线的方向向量为，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【技巧归纳】 在判断两直线的平行关系时,应先看两直线的斜率是否存在,然后再进行判断,同时注意不要漏掉两直线重合的情况. 题型02 平行关系的应用及参数问题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，若，则（    ） A． B．4 C． D． 2．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线经过、两点，直线的方向向量为，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）若直线l₁经过两点A（4，2y+1），B（2，-3），直线l₂的倾斜角为，且， 则y等于（   ） A． B． C．0 D．2 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 5．在△ABC中，，，E，F分别为边AC，BC的中点，则直线EF的斜率为________. 【技巧归纳】 由两条直线平行求参数的值,一般是利用斜率的坐标公式表示出斜率,令斜率相等求解,但在解题过程中要注意对参数的讨论,不要遗漏直线与x轴垂直的特殊情况.同时,求得值后要注意检验,排除重合的情况. 题型03 两条直线垂直的判定 1．在平面直角坐标系中，两条直线（    ）时候垂直？ A．斜率之积为-1时 B．两条直线有1个公共点的时候 C．两条直线分别与坐标轴垂直的时候 D．以上答案均不正确 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 4．（24-25高二上·重庆·阶段检测）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（   ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 5．（2024高二·全国·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【技巧归纳】 判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下,看它们的斜率之积是否等于-1,但应注意当有一条直线与x轴垂直(斜率不存在),另一条直线与x轴平行或重合时,这两条直线也垂直. 题型04 垂直关系的应用及参数问题 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 2．（25-26高二上·安徽马鞍山·阶段检测）已知直线过点、，直线方向向量为，且，则______． 3．若点与关于直线对称，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知，若点在轴负半轴上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 由两条直线垂直求参数的值,一般是利用斜率的坐标公式表示出斜率,令斜率之积为-1求解,但在解题过程中要注意讨论直线与x轴垂直的情况.此时一条直线的斜率为零,另一条直线的斜率不存在,对于斜率不存在的直线,可令直线上两点的横坐标相等,即可求解. 题型05 平行、垂直关系的综合应用（含几何应用） 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 4．（多选题）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 6．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知直线经过点． (1)若斜率为2，且，求； (2)若的一个方向向量的坐标为，且，求． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【技巧归纳】 1、利用平面几何图形各边所在直线的斜率可以确定各边是否平行或垂直,从而判定平面几何图形的形状.具体方法: (1)在平面直角坐标系内画出图形,根据所画图形作出直观猜想. (2)求出各边所在直线的斜率,判断边的平行与垂直关系. (3)确定平面几何图形的形状. 2、由于只根据边的平行与垂直进行判断,故只能判定直角三角形、梯形、平行四边形、直角梯形、矩形等特殊平面几何图形的形状. 1．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．以，，为顶点的三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 4．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知直线经过，，直线经过，.如果，则（   ） A．3 B．5 C．2 D．2或5 5．（多选题）（2025高二上·全国·专题练习）已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 7．若点关于直线对称，则直线的斜率 ______________ ． 8．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知点和，点P在y轴正半轴上，且∠APB为直角，则P点坐标为__________. 9．（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 10．（25-26高二上·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 11．（24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 12．已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 13．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（1）已知平面直角坐标系中，，，，，若直线与直线平行，求的值； （2）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，求的最小值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $