专题01 探索勾股定理、一定是直角三角形吗（暑假预习讲义）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册.

专题01探索勾股定理、一定是直角三角形吗 暑假预习讲义（北师大版◆新教材） ✺知识框架 1.定理探究：通过面积割补法探索并验证勾股定理，掌握直角三角形三边数量关系，熟记定理公式、变形公式及适用条件。 2.逆定理判定：掌握勾股定理逆定理内容与直角三角形规范判定步骤，理解勾股数定义、熟记常见勾股数及其基本性质。 3.定理辨析：对比辨析勾股定理与逆定理，明确“由形推数（计算）”和“由数判形（判定）”的核心逻辑与适用场景。 4.实战应用：运用勾股定理进行直角三角形边长、周长、面积计算；利用逆定理判断三角形形状，解决基础几何题型。 ✅本节遵循“探究定理—逆向判定—辨析逻辑—实战应用”的递进式学习体系，先掌握直角三角形三边运算规律，再学会通过边长判定直角三角形，区分正反定理的核心用法，最终实现知识点的灵活落地运用。 ✺学习目标： 1.知识理解：经历勾股定理的探索、验证过程，掌握勾股定理内容、适用范围及公式变形；理解勾股逆定理的判定原理，熟记常用勾股数；准确区分勾股定理与逆定理的区别与联系。 2.技能运用：能熟练运用勾股定理求解直角三角形边长、周长与面积；能严格按照判定步骤，利用逆定理准确判定直角三角形，掌握基础计算与判定题型解法。 3.思维素养：在定理推导中体会数形结合、转化的数学思想；建立“由形推数、由数判形”的几何思维，培养严谨的逻辑推理能力。 ✺题型归纳： 题型1.用勾股定理解三角形 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积 题型3.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型4.利用勾股定理证明线段平方关系 题型5.勾股定理的证明方法 题型6.以弦图为背景的计算题 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 题型8.求旗杆高度(勾股定理的应用) 题型9.求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 题型10.求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 题型11.勾股树（数）问题 题型12.判断三边能否构成直角三角形 题型13.在网格中判断直角三角形 题型14.利用勾股定理的逆定理求解 题型15.勾股定理逆定理的拓展问题 题型16.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、勾股定理 1.定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 公式表达：若直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，则 a2+=。 几何语言：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∴ AC2+BC2=。 2.适用条件:仅适用于直角三角形，锐角三角形、钝角三角形不满足该公式。 3.定理探索与验证:通过网格数方格、图形割补、赵爽弦图等面积法验证定理，核心原理为“图形总面积等于各部分面积之和”，依托数形结合、面积转化的思想推导得出勾股定理。 4.公式变形: a2=c2-b2，b2=c2- 5.核心结论:直角三角形中，斜边最长，斜边的平方一定大于任意一条直角边的平方。 知识点二、勾股定理证明方法 知识点三、勾股定理逆定理 1.逆定理内容：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+=，那么这个三角形是直角三角形，且边长为c的边所对的角为直角。 几何语言：∵ 在△ABC中， a2+=，∴ △ABC为直角三角形，∠C=90°。 2.判定步骤：① 找出三角形三边中的最长边；② 计算两条短边的平方和与最长边的平方；③ 若二者数值相等，则该三角形为直角三角形，反之则不是。 3.勾股数 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 常见基础勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17。 ★核心性质：若a,b,c是一组勾股数，则ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数 知识点四、勾股定理与逆定理核心区别 1. 勾股定理（由形推数·用于计算） 已知三角形是直角三角形，推出三边平方关系，用于边长计算、周长面积求解。 2. 勾股逆定理（由数判形·用于证明判定） 已知三角形三边平方关系，判定三角形为直角三角形，用于图形判定、几何证明。 ✺题型◆精讲 题型1.用勾股定理解三角形 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（     ）m路，却踩伤了花草 A．1 B．5 C．2 D．7 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再根据解答． 【详解】解：如图所示，根据题意，得， 根据勾股定理，得， 则， 所以他们仅仅少走了路． 2．在中，，，则_______． 【答案】 【分析】根据三角形边角对应关系，对边为斜边，利用勾股定理得到，可将原式整理为，再代入计算即可． 【详解】解：在中，， 故； ∴， ∵， 故， 即． 3．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即），如图1到达的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)当秋千静止后，如果将秋千往前推送（即），如图2求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设秋千的长度为，在中，由勾股定理建立方程进行求解即可； （2）在中，由勾股定理得到的长，进而求出的长，即可. 【详解】（1）解：由题意知，，， ，，， ， ， ， ， ， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即秋千的长度是； （2）解：在中，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， 即此时踏板离地的垂直高度为． 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，在三个正方形围成的图形中，两个小正方形的面积分别是和，则字母所代表的正方形的边长是（     ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据勾股定理，直角三角形两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积，先求出正方形的面积，再开平方得到其边长． 【详解】解：如图， ∵小正方形面积分别为、， ∴，， ∵， ∴， ∴正方形的边长． 2．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形；面积分别记为，，，若，图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】由勾股定理得，即，再由求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 即， ， ∴ ， 由图形可知，阴影部分的面积． 3．如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，试求正方形A的面积？ 【答案】136 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键 ． 根据勾股定理可得，，计算即可． 【详解】解：三角形是直角三角形， 两直角边的平方和等于斜边的平方， 即， ． 故答案为： ． 题型3.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．13 C．7 D．14 【答案】A 【分析】由勾股定理解答． 【详解】解：由题意得， 直角三角形的斜边为： 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（m，m），A（2a+b，0），B（2a﹣b，0），   且，若∠AMB=90°，则m和a之间的数量关系为 _____． 【答案】 【分析】通过勾股定理列出m、a、b的关系式即可得出答案． 【详解】解：∵M（m，m），A（2a+b，0），B（2a﹣b，0）， ∴， ， ∵∠AMB=90°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理列出等式是解题的关键． 3．如图，小区与公路的距离米，小区与公路的距离米，已知米，现要在公路旁建造一利民超市，使到、两小区的路程之和最短，超市应建在哪？ (1)请在图中画出点P； (2)求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)1000 【分析】（1）如图1：作关于的对称点，连接，交于，即可得到结果； （2）由对称性得的最小值为线段的长，作于点，在△中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1：作关于的对称点， 连接，交于， （2）解：由对称性得的最小值为线段的长， 作于点，在△中， ，， ， 的最小值． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，作图应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出的位置是本题的关键． 题型4.利用勾股定理证明线段平方关系 1．在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】掌握直角三角形中两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，根据直角确定斜边后，结合勾股定理即可判断． 【详解】解：∵，，，的对应边分别是，，， ∴ 斜边为的对边，，为两条直角边， 根据勾股定理得 ． 2．我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、，则该三角形________（填“是”或者“不是”）奇异三角形． 【答案】是 【分析】根据奇异三角形的定义，即可求解． 【详解】解，   ∴该三角形是奇异三角形． 故答案是：是． 【点睛】本题主要考查了新定义的理解，明确题意，理解新定义是解题的关键． 3．在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握题干中给定的方法，是解题的关键： （1）类比题干，猜想，即可； （2）过点作，交的延长线为点，设，得到，再根据勾股定理，得到，进行证明即可． 【详解】（1）解：猜想； （2）证明：过点作，交的延长线于点，设， 则： 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故猜想正确． 题型5.勾股定理的证明方法 1．两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的证法，解题核心为用两种不同的方式计算同一个图形的面积，通过建立等式化简推导结论． 【详解】解：由题意可知，所构成的图形为直角梯形， ， 化简得． 2．课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号）    【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 【详解】解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 3．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2)13 (3)元 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，代入已知条件可得，进而求解； （3）根据题意可得，设米，则米，根据勾股定理可得，由此列方程解得米，进而求出米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资. 【详解】（1）略 （2）解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． （3）解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． 题型6.以弦图为背景的计算题 1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 【答案】A 【分析】由是小正方形对角线，用求小正方形面积；结合，算出四个直角三角形总面积；然后根据大正方形面积=小正方形面积四个直角三角形面积，求和得结果． 【详解】解：是中间小正方形的对角线，正方形对角线相等， ． ， ． 单个直角三角形面积为，， 四个直角三角形总面积． 大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和， ． 大正方形的面积是25． 2．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是，整个图形（连同空白部分）的面积是，则大正方形的边长是_______． 【答案】 【分析】设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，根据题意“图中空白部分的面积是，整个图形（连同空白部分）的面积是”列方程求解即可． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为， 根据题意得， 两式相加可得， 解得或（舍去）， 大正方形的边长是． 3．手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据小正方形边长得到，结合联立求出、的值，再利用勾股定理计算斜边； （2）由小正方形面积得，展开得到式子①，将展开得到式子②，两式相减求出，最后根据直角三角形面积公式计算面积。 【详解】（1）解：因为已知小正方形的边长为， 所以小正方形的边长为， 因为， 得， 因为， 所以， 所以． （2）解：因为小正方形的面积为， 所以，即①， 因为，即②， ，得， 所以． 所以直角三角形的面积为：． 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 1．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则有，由题意易得，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：设，则有， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 2．如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为_____米. 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈巨龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为8米，柱身高约12米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米）． 故答案为：20． 3．在《算法统宗》中，有一道“荡秋千”的问题，其大意为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终处于拉直状态，求绳索的长度． 【答案】绳索的长为 【详解】解：由题意知：四边形是长方形，是直角三角形， ， 又， ， 设绳索的长为， 则，， 在中，， ， 解得：， 答：绳索的长为． 题型8.求旗杆高度(勾股定理的应用) 1．如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）． 2．如图所示，小黔在放风筝，已知，，，若要使风筝沿方向下降，则他应该往回收线_____． 【答案】2 【分析】根据勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，有， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即他应该收回线． 3．如图1，用激光测距仪测量某建筑物的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示；最后仪器会自动显示出楼的高度． (1)求仪器显示的楼的高度． (2)如图2，若将激光测距仪沿方向移动后到达点，将激光射向楼顶端的点，则仪器显示点，的距离是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得， 答：仪器显示的楼的高度为； （2）解：， 在中，， 由勾股定理得， 答：仪器显示点，的距离是． 题型9.求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 1．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：C． 2．公园内有两棵相距的树，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________m． 【答案】 5 【分析】根据两点之间线段最短，可知小鸟沿两棵树的顶端直线飞行时路程最短. 将问题转化为求直角三角形的斜边长，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：根据题意画图如下：其中，， ∴， 过C作，交于， ∴， ∴两棵树的高度差，两棵树的水平距离， 根据勾股定理可得， 即小鸟至少要飞． 3．如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 【答案】大约34分钟后，欢欢才能到达山顶 【分析】根据勾股定理求出，再根据缆车的速度即可求解． 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）， ∵缆车每分钟走50米， ∴（分钟）， 答：大约34分钟后，欢欢才能到达山顶． 题型10.求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 1．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出长度，即为这棵树折断的高度，再加上未折断的高度即可求出答案． 【详解】解：由图可知，，， 在中，， 这棵树折断前的高度为． 2．《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段和线段来表示竹子，其中线段表示竹子折断部分，用线段表示竹梢触地处离竹根的距离，设竹子折断处离地面的高度长为x尺，方程为_______． 【答案】 【分析】设折断处离地面的高度是x尺，则尺，在利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度是x尺，则尺， 在中，利用勾股定理可得：． 3．由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【答案】折断前甲树的高度为 【分析】过点作交的延长线于点，在和中用勾股定理即可得到折断前甲树的高度． 【详解】解：过点作交的延长线于点，，， 由题可知， 在中，， ， 在中，， ， 折断前甲树的高度为． 题型11.勾股树（数）问题 1．下列各组数据中，不是勾股数的是（     ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，15，16 D．6，8，10 【答案】C 【分析】勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证即可. 【详解】解：A选项，，且三个数都是正整数，是勾股数， B选项，，且三个数都是正整数，是勾股数， C选项，，，，不满足勾股数的条件，不是勾股数， D选项，，且三个数都是正整数，是勾股数. 2．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【答案】6560 【分析】先观察表格中勾股数的规律，得到与的关系，再结合勾股定理求出和的值，进而计算的值． 【详解】解：观察表格中数据可得，表格中的勾股数均满足． 已知，由勾股定理，代入得： 展开得： 整理得： 解得，则． 因此． 3．阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 【答案】探究1（1）①6，8，10；②见解析；探究2（2）①，；②，，证明见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式． （1）①根据为正整数举例即可； ②通过计算验证给定公式满足勾股定理即可； （2）①根据奇数勾股数的规律，勾的平方减1除以2得股，加1除以2得弦即可； ②由①得出规律，并证明其满足勾股定理即可． 【详解】解： 探究1：（1）①∵3，4，5是一组勾股数， 又为正整数， ∴当时，，，，且， ∴6，8，10也是一组勾股数（答案不唯一） ②证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴a，b，c是一组勾股数 （2）①如果勾为7，则股，弦， 故答案为：；； ②当（，且n为奇数）时，，； 证明：∵，， ∴， ∴该规律合理． 故答案为：；． 题型12.判断三边能否构成直角三角形 1．以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（     ） A．，，B．4，5，6 C．，， D．，， 【答案】D 【分析】计算两较短边的平方和，再与最长边的平方比较，若相等则可构成直角三角形，反之不能，据此逐一判断即可． 【详解】解：A 、∵，，，∴ 不能构成直角三角形，不符合题意； B 、∵，，，∴ 不能构成直角三角形，不符合题意； C 、∵ ，，，∴ 不能构成直角三角形，不符合题意； D 、∵ ，，，∴ 能构成直角三角形，符合题意． 2．已知的三边，，满足，则的形状为________． 【答案】直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 3．如图，在三角形支架中，，垂足为，，，．判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】为直角三角形，理由如下： ∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】对和运用勾股定理求解得出，确定，证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【详解】略 题型13.在网格中判断直角三角形 1．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形的判定，网格的性质， 根据题意分别作出以A，B，C三点为顶点的直角三角形，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∴这样的点C共有5个． 故选：A． 2．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． (1)求出的度数； (2)求出四边形的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理的逆定理，可以判断是等腰直角三角形，即可求得； （2）同理，可判断是等腰直角三角形，根据四边形的面积，代入数据求解即可． 【详解】（1）解：连接， ，，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴四边形的面积 ． 题型14.利用勾股定理的逆定理求解 1．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再结合勾股定理逆定理求出即可． 【详解】解：，，， ， ，， ，， ， ． 2．如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 【答案】24 【分析】先用勾股定理解求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：中，，，， ， ，， ， 是直角三角形， 阴影部分图形的面积． 3．如图，在中，，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)求长． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明得到，则可证明； （2）设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 题型15.勾股定理逆定理的拓展问题 1．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 2．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 3． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． ✺巩固测试 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义，验证三个正整数是否满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，即可得到答案． 【详解】解：勾股数需满足三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方， A选项 ∵ ∴ 这组数是勾股数，符合题意； B选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； C选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； D选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意． 2．小齐在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升米，后水平飞行米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据勾股定理即可求出距离． 【详解】由图可得，（米）． 3．如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为，宽为，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将实际问题抽象为几何模型，即已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长． 【详解】解：设木板的长为， 栅栏是长方形， 栅栏的高、宽与木板构成直角三角形， 根据勾股定理，得， ， ， ， 即木板的长为 ． 4．如图，一根竹子高丈（丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端尺处．则竹子折断处离地面的高度为（     ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】设竹子折断处离地面的高度为尺，结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度为尺， 由勾股定理可得， 解得：， ∴竹子折断处离地面的高度为尺． 5．如图，小外同学想测量墙面的高度，用卷尺发现长度不够，于是想到用课堂上学到的知识解决，他找到一根没有弹性的绳子，把绳子的一端挂到点，拉直紧贴墙面到点，发现绳子还多出0.5米：然后把绳子拉直，当绳子末端刚好接触地面时，量出米，则墙面的高度为（    ）米 A．6 B．5.5 C．5.2 D．5 【答案】A 【分析】设墙面高度为米，根据题意表示出绳子长度即斜边的长，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设墙面高度为米， 绳子紧贴墙面到点还多出米， 绳子的总长度为米， 绳子拉直后末端刚好接触地面， 斜边的长度等于绳子的总长度， 即， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 墙面的高度为米． 二、填空题 6．清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【答案】，， 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 7．如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：由图，得 ，，， ∵， 即， ∴三条线段不能组成直角三角形． 故答案为：不能． 8．如图，三角形纸片，，，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为．则的长为____． 【答案】 /3厘米 【分析】根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，利用折叠的性质得出，设长为，在中利用勾股定理列方程求解； 【详解】解：，，， ，， ， ， 设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ． 9．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____． 【答案】69 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2， CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2， MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）， ＝132−102， ＝69． 故答案为：69． 【点睛】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2． 10．如图，在水平地面上，有一棵高12m的大树和一棵高4m的小树，两树之间的水平距离是15m．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 【答案】 17 【分析】根据题意，画出示意图，其中表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示，则，求出的长，由勾股定求出的长即可得到答案． 【详解】解：表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示： 则， ， ， 在中，， 由勾股定理得， 则小鸟至少飞行了． 三、解答题 11．如图，一棵米高的大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落在点处，离这棵大树底端点米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿车，并说明理由． 【答案】树枝落地时不会砸着小轿车，理由如下： 根据题意可知：，，， ∴， ∵， ∴树枝落地时不会砸着小轿车． 【分析】由勾股定理得出的长，再与米比较即可得出答案． 【详解】略 12．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，如图，通过勘测得到水平距离的长为12米，于点C，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米，小明牵线放风筝的手B到地面的距离为1.8米（即米），他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请求出线段的长． 【答案】线段的长为6.8米 【详解】解：由勾股定理得，（米）， ∴（米）， ∴线段的长为6.8米． 13．如图，点O在的内部，且，，，，． (1)求的长． (2)求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)证明：，，， ，， ， 是直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得． （2）略 14．如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明：，，． 由勾股定理，得， ，， ， 为直角三角形， (2)36 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，进而可证明，据此可证明结论； （2）根据列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 15．【问题提出】 （1）如图1，在中，于点，若，，，则______． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，对角线相交于点，且，试说明：． 【问题解决】 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，，请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题是四边形综合题，考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点D为的中点，进行等量代换求得，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴在中，，在中，， 在中，，在中，， ∴ ； （3）∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴根据实际意义，即骑行小道的长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01探索勾股定理、一定是直角三角形吗 暑假预习讲义（北师大版◆新教材） ✺知识框架 1.定理探究：通过面积割补法探索并验证勾股定理，掌握直角三角形三边数量关系，熟记定理公式、变形公式及适用条件。 2.逆定理判定：掌握勾股定理逆定理内容与直角三角形规范判定步骤，理解勾股数定义、熟记常见勾股数及其基本性质。 3.定理辨析：对比辨析勾股定理与逆定理，明确“由形推数（计算）”和“由数判形（判定）”的核心逻辑与适用场景。 4.实战应用：运用勾股定理进行直角三角形边长、周长、面积计算；利用逆定理判断三角形形状，解决基础几何题型。 ✅本节遵循“探究定理—逆向判定—辨析逻辑—实战应用”的递进式学习体系，先掌握直角三角形三边运算规律，再学会通过边长判定直角三角形，区分正反定理的核心用法，最终实现知识点的灵活落地运用。 ✺学习目标： 1.知识理解：经历勾股定理的探索、验证过程，掌握勾股定理内容、适用范围及公式变形；理解勾股逆定理的判定原理，熟记常用勾股数；准确区分勾股定理与逆定理的区别与联系。 2.技能运用：能熟练运用勾股定理求解直角三角形边长、周长与面积；能严格按照判定步骤，利用逆定理准确判定直角三角形，掌握基础计算与判定题型解法。 3.思维素养：在定理推导中体会数形结合、转化的数学思想；建立“由形推数、由数判形”的几何思维，培养严谨的逻辑推理能力。 ✺题型归纳： 题型1.用勾股定理解三角形 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积 题型3.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型4.利用勾股定理证明线段平方关系 题型5.勾股定理的证明方法 题型6.以弦图为背景的计算题 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 题型8.求旗杆高度(勾股定理的应用) 题型9.求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 题型10.求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 题型11.勾股树（数）问题 题型12.判断三边能否构成直角三角形 题型13.在网格中判断直角三角形 题型14.利用勾股定理的逆定理求解 题型15.勾股定理逆定理的拓展问题 题型16.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、勾股定理 1.定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 公式表达：若直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，则 a2+=。 几何语言：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∴ AC2+BC2=。 2.适用条件:仅适用于直角三角形，锐角三角形、钝角三角形不满足该公式。 3.定理探索与验证:通过网格数方格、图形割补、赵爽弦图等面积法验证定理，核心原理为“图形总面积等于各部分面积之和”，依托数形结合、面积转化的思想推导得出勾股定理。 4.公式变形: a2=c2-b2，b2=c2- 5.核心结论:直角三角形中，斜边最长，斜边的平方一定大于任意一条直角边的平方。 知识点二、勾股定理证明方法 知识点三、勾股定理逆定理 1.逆定理内容：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+=，那么这个三角形是直角三角形，且边长为c的边所对的角为直角。 几何语言：∵ 在△ABC中， a2+=，∴ △ABC为直角三角形，∠C=90°。 2.判定步骤：① 找出三角形三边中的最长边；② 计算两条短边的平方和与最长边的平方；③ 若二者数值相等，则该三角形为直角三角形，反之则不是。 3.勾股数 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 常见基础勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17。 ★核心性质：若a,b,c是一组勾股数，则ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数 知识点四、勾股定理与逆定理核心区别 1. 勾股定理（由形推数·用于计算） 已知三角形是直角三角形，推出三边平方关系，用于边长计算、周长面积求解。 2. 勾股逆定理（由数判形·用于证明判定） 已知三角形三边平方关系，判定三角形为直角三角形，用于图形判定、几何证明。 ✺题型◆精讲 题型1.用勾股定理解三角形 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（     ）m路，却踩伤了花草 A．1 B．5 C．2 D．7 2．在中，，，则_______． 3．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即），如图1到达的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)当秋千静止后，如果将秋千往前推送（即），如图2求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，在三个正方形围成的图形中，两个小正方形的面积分别是和，则字母所代表的正方形的边长是（     ） A． B．2 C． D．5 2．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形；面积分别记为，，，若，图中阴影部分的面积为__________． 3．如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，试求正方形A的面积？ 题型3.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．13 C．7 D．14 2．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（m，m），A（2a+b，0），B（2a﹣b，0），   且，若∠AMB=90°，则m和a之间的数量关系为 _____． 3．如图，小区与公路的距离米，小区与公路的距离米，已知米，现要在公路旁建造一利民超市，使到、两小区的路程之和最短，超市应建在哪？ (1)请在图中画出点P； (2)求的最小值． 题型4.利用勾股定理证明线段平方关系 1．在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（   ） A．B． C． D． 2．我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、，则该三角形________（填“是”或者“不是”）奇异三角形． 3．在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 题型5.勾股定理的证明方法 1．两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（     ） A．B． C． D． 2．课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号）   3．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 题型6.以弦图为背景的计算题 1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 2．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是，整个图形（连同空白部分）的面积是，则大正方形的边长是_______． 3．手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 1．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为_____米. 3．在《算法统宗》中，有一道“荡秋千”的问题，其大意为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终处于拉直状态，求绳索的长度． 题型8.求旗杆高度(勾股定理的应用) 1．如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 2．如图所示，小黔在放风筝，已知，，，若要使风筝沿方向下降，则他应该往回收线_____． 3．如图1，用激光测距仪测量某建筑物的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示；最后仪器会自动显示出楼的高度． (1)求仪器显示的楼的高度． (2)如图2，若将激光测距仪沿方向移动后到达点，将激光射向楼顶端的点，则仪器显示点，的距离是多少？ 题型9.求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 1．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．公园内有两棵相距的树，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________m． 3．如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 题型10.求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 1．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段和线段来表示竹子，其中线段表示竹子折断部分，用线段表示竹梢触地处离竹根的距离，设竹子折断处离地面的高度长为x尺，方程为_______． 3．由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 题型11.勾股树（数）问题 1．下列各组数据中，不是勾股数的是（     ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，15，16 D．6，8，10 2．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 3．阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 题型12.判断三边能否构成直角三角形 1．以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（     ） A．，，B．4，5，6 C．，， D．，， 2．已知的三边，，满足，则的形状为________． 3．如图，在三角形支架中，，垂足为，，，．判断支架外框的形状，并说明理由． 题型13.在网格中判断直角三角形 1．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． (1)求出的度数； (2)求出四边形的面积． 题型14.利用勾股定理的逆定理求解 1．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 3．如图，在中，，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)求长． 题型15.勾股定理逆定理的拓展问题 1．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 2．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 3． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． ✺巩固测试 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 2．小齐在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升米，后水平飞行米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为，宽为，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，一根竹子高丈（丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端尺处．则竹子折断处离地面的高度为（     ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 5．如图，小外同学想测量墙面的高度，用卷尺发现长度不够，于是想到用课堂上学到的知识解决，他找到一根没有弹性的绳子，把绳子的一端挂到点，拉直紧贴墙面到点，发现绳子还多出0.5米：然后把绳子拉直，当绳子末端刚好接触地面时，量出米，则墙面的高度为（    ）米 A．6 B．5.5 C．5.2 D．5 二、填空题 6．清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 7．如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 8．如图，三角形纸片，，，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为．则的长为____． 9．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____． 10．如图，在水平地面上，有一棵高12m的大树和一棵高4m的小树，两树之间的水平距离是15m．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 三、解答题 11．如图，一棵米高的大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落在点处，离这棵大树底端点米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿车，并说明理由． 12．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，如图，通过勘测得到水平距离的长为12米，于点C，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米，小明牵线放风筝的手B到地面的距离为1.8米（即米），他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请求出线段的长． 13．如图，点O在的内部，且，，，，． (1)求的长． (2)求证：是直角三角形． 14．如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 15．【问题提出】 （1）如图1，在中，于点，若，，，则______． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，对角线相交于点，且，试说明：． 【问题解决】 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，，请根据上述条件，求骑行小道的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $