1.7.2 平面直角坐标系中的位似课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换，核心知识点为对应点坐标关系（kx,ky或-kx,-ky）。课堂导入先回顾位似图形定义、判断及画法，再通过△AOB坐标放大2倍、缩小1/3的情境，引导学生观察对应点共线及位似比，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境探究和问题链培养数学眼光（几何直观）、思维（推理意识）与语言（模型意识）。如通过坐标变换实例归纳规律，典例分析解决线段缩放等问题，结构化小结梳理坐标规律与画法。丰富实例助教师高效教学，学生能提升用数学语言表达图形变换的能力。

湘教版版·九年级上册 1.7 位 似 课时2 平面直角坐标系中的位似 第一章 图形的相似 学 习 目 标 1 2 掌握平面直角坐标系中，以原点为位似中心的图形对应点的坐标之间的关系； 能把一个图形在平面直角坐标系中按一定比例放大或缩小. 知识回顾 1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫作 ，这个交点叫作 ．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ，对应线段 . 2. 如何判断两个图形是不是位似图形? 位似图形 位似中心 位似比 平行或者在一条直线上 知识回顾 3. 画位似图形的一般步骤有哪些？ 4. 基本模型： 新知探究 知识要点 情境1 如图，已知△AOB 的顶点坐标分别为A(2,4)，O(0,0)，B(6,0). （1）将△AOB各个顶点的坐标分别扩大为原来的 2 倍，画出对应的△A′OB′； 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 －2 A′ B′ 探究一：平面直角坐标系中的位似变换 新知探究 知识要点 (2)点A′ 是否在直线OA上？点B′ 是否在直线OB上？△AOB与△A′OB′ 是位似图形吗？如果是，位似中心是哪个？位似比是多少？ 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 －2 O 8 12 A′ B′ 点A′ 在直线OA上，点B′ 在直线OB上，==2，于是△A′OB′与△AOB 是以坐标原点O为位似中心，位似比为2的位似图形. 新知探究 知识要点 情境2 如图，已知△AOB 的顶点坐标分别为A(3,6)，O(0,0)，B(6,3). （1）将各个顶点的坐标分别缩小为原来的，画出对应的△A′OB′； 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 －2 O 8 12 A′ B′ 新知探究 知识要点 (2)点A′ 是否在直线OA上？点B′ 是否在直线OB上？△AOB与△A′OB′ 是位似图形吗？如果是，位似中心是哪个？位似比是多少？ 点A′ 在直线OA上，点B′ 在直线OB上，==，于是△A′OB′与△AOB 是以坐标原点O为位似中心，位似比为的位似图形. 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 －2 O 8 12 A′ B′ 新知探究 知识要点 方法总结： 在平面直角坐标系中， 将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点）分别扩大或缩小至原来的k倍（k>0）,则所对应的图象与原图形是以原点为位似中心的位似图形，位似比为k. 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky) 或(-kx,-ky). 知识要点 新知探究 问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？ 问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其位似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？ 典例分析 其他性质 例1 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 D 的坐标为 ( ) A. (2，2) B. (2，1) C. (3，2) D. (3，1) D x y A B C D 典例分析 其他性质 1. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)， 以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 的三个顶点坐标分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )，则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 . 1 : 3 练一练 典例分析 其他性质 2. 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的位似比是 2 : 3. O C 解：画法一：将四边形OABC 各顶点的坐标都乘以 ；在平面直角坐标系中描点O (0，0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)，用线段顺次连接 O，A'，B'，C'. 2 4 6 4 6 B' －2 －4 －4 A' C' 其他性质 新知探究 画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐 标都乘 ；在平面 直角坐标系中描点 O (0，0)，A″ (－4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2，－2)，用线段顺次连接O，A″，B″，C″. O C 2 4 6 4 6 B″ －2 －4 －4 y A B A″ C″ y x 其他性质 新知探究 探究二：平面直角坐标系中的图形变换 至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在右图所示的图案中，你能找到这些变换吗？ 其他性质 典例分析 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 C －2 －6 －8 －10 －8 例2 如图，已知□OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0) ，A (3，0)，B (4，2)，C (1，2). 以坐标原点 O 为位似中心，作 □OABC 的位似图形，位似比为 3 . O 其他性质 典例分析 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 C －2 －6 －8 －10 －8 B' 方法一，将□OABC的各点坐标分别乘3，得O(0，0)，A'(9，0)，B'(12，6)，C'(3，6)，依次连接点O，A'，B'，C'，则四边形OA'B'C'即为所求，如图. O A' C' A" B" C" 其他性质 典例分析 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 C －2 －6 －8 －10 －8 B' 方法二 ，将□OABC的各点坐标分别乘-3，得O(0，0)，A'(-9，0)，B'(-12，-6)，C'(-3，-6)，依次连接点O，A"，B"，C"，则四边形OA"B"C"即为所求，如图. O A' C' A" B" C" 其他性质 典例分析 2. 将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化． (1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度； (2) 关于 x 轴对称； (3) 以 C 为位似中心， 将 △ABC 放大 1.5 倍； (4) 以 C 为中心，将 △ABC 顺时针旋转 180°． x y A B C 练一练 新知探究 知识要点 数学上可以证明，一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形. 在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或-k. 方法总结： 课堂练习 1. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为( ) A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1) A 课堂练习 2. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( ) A. 将各点的纵坐标乘 2，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘 2 D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2 C 课堂练习 3. 如图，小朋在坐标系中以 A 为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E 点坐标为 ( ) A．(4，－3) B．(4，－2) C．(4，－4) D．(4，－6) A A(-5,3) (1,-1) B(1,3) y x D(4,3) C O 课堂练习 4.如图，已知O是坐标原点，△OBC与△ODE是以O点为位似中心的位似图形，且△OBC与△ODE的相似比为1∶2，如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，则M在△ODE中的对应点M′的坐标为( ) A．(－x，－y) B．(－2x，－2y) C．(－2x，2y) D．(2x，－2y) B 课堂练习 (1)请在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比为2：1； 5.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A(0,2)，B(1,3)，C(2,1)． 解：（1）如图所示. 课堂练习 (2)求出的周长． (2)， ， ， 故的周长为： 课堂小结 平面直角坐标系中的位似 平面直角坐标系中的位似变换 平面直角坐标系中的图形变换 坐标变化规律 平面直角坐标系中的位似图形的画法 拓展提升 1. 如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为 (0，0)，点 B 的坐标为 (4，0). (1) 将 △AOB 沿 x 轴向左平移1 个单位长度后得 △A1O1B1，则点 A1 的坐标为 ，△A1O1B1 的面积为 ； (2，4) 8 (2) 将 △AOB 绕原点旋转 180°后得 △A2O2B2，则点 A2 的坐标为 ； (－3，－4) 4 x y A B 4 3 O 拓展提升 (3) 将 △AOB 沿 x 轴翻折后得 △A3O3B3，则点 A3 的坐标为 ； (4) 以 O 为位似中心，按比例尺 1 : 2 将 △AOB 放大后得 △A4O4B4，若点 B 在 x 轴负半轴上，则点 A4的坐标为 ，△A4O4B4的面积为 . (3，－4) (－6，－8) 32 4 x y A B 4 3 O 拓展提升 (1) 以点 M 为位似中心，相似比为 2，画出 △ABC 的 位似图形 △A′B′C′； 2. 在 13×13 的网格图中，已知 △ABC 和点 M (1，2). 解：如图所示. x y A B C M A′· · B′ · C′ (2) 写出 △A′B′C′的各顶点坐标. 答：△A′B′C′ 的各顶点坐标分别为 A′ (3，6)，B′ (5，2)， C′ (11，4). 感谢聆听! $