1.6 相似三角形的应用 课件 2026-2027学年湘教版 数学 九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，核心内容为利用相似三角形测量不可直接到达的距离与高度。通过“如何测量山高河宽”的思考导入，衔接相似三角形判定与性质，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于情境化设计，以测量河宽、金字塔高度、古城墙高度等实例，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过构造“A/X型”相似、影长比例、反射定律推理培养数学思维，用比例式与方程表达解决过程发展数学语言。助力学生提升应用意识，教师教学更具直观性与操作性。

1.6 相似三角形的应用 思考：世界上有许多高山，也有许多大河，在我们无法到达其顶端， 也无法跨越到对岸时，如何才能利用所学过的数学知识知道“山有多高，河有多宽”呢? 活动1：利用相似测量河宽 情境1 如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B 间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ A B C D E 方法：在池塘外取一点C，连接并延长AC，BC，并在 其延长线上取一点 D，E，使 ==k(k 为正整数)，测量出 DE 的长度后，就可以求出 A，B 间的距离. 若k=2，DE=50 m，则A，B两点间的距离为多少？ 解：∵==2，∠ACB=∠DCE，∴ △ABC∽△DEC． ∴=2．∵ DE=50 m，∴ AB=2DE=100m. 情境2 如图，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直于 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，如何计算河宽 PQ？ 因此，河宽大约为 90 m. 解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P =∠P， ∴△PQR∽△PST. ∴ ， 即 ， 解得 PQ = 90. 测量原理:测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型的相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离. 活动2：利用影长测量物体的高度 传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度． 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO． 解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF． 又∠AOB=∠DFE=90°∴△ABO∽△DEF． ∴ ． ∴BO = = =134(m)． 因此金字塔的高度为 134 m． 1.测量原理:测量不能直接到达顶部的物体的高度，一般利用“相似三角形对应边成比例”和“在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成比例”的原理解决. 2.测量方法:在同一时刻量出太阳光下参照物和被测物体的影长，再根据参照物的高度计算出被测物体的高度. (1)被测物体的底部能够到达; (2)由于影子长可能随着大阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量参照物 与被测物体的影长. 思考：运用该测量方法时，需要注意什么呢？ 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为( ) A.2 m B.4 m C.6 m D.8 m B 活动3：利用镜子的反射测量物体的高度 这是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.在点P处水平放一平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙CD的高度. 解：由题意可得∠APE＝∠CPE，∴∠APB＝∠CPD， 故该古城墙CD的高度为8米. ∴ ，∴CD＝8米， ∵AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米， ∴ ， ∴△ABP∽△CDP， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°， ∵AB⊥BD，CD⊥BD， 1.测量原理:利用镜子的反射，先根据入射角等于反射角的原理构造相似三角形，再计算所求物体的高度. 2.测量方法:(1)在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做个标记; (2)测出观测者眼睛到地面的高度; (3)观测者看着镜子来回走动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记 重合，此时测出镜子上的标记位置到观测者脚底的距离及到旗杆底端的距离; (4)根据两角分别相等推导出两个三角形相似，利用对应边成比例求出旗杆的 高度注意测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且镜子要水平放置. 例1 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛(O)、 准星(A)、靶心点(B)在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到 A'，如图所示.已知 OA = 0.2 m，OB = 50 m，AA' = 0.0005 m，求小明射击到的点 B' 偏离靶心点 B 的长度 BB'（近似地认为 AA'∥BB' ）.  解：∵ AA'∥BB′，∴ △OAA' ∽△OBB′. ∵ OA = 0.2 m，OB = 50 m，AA' = 0.0005 m，∴ BB' = 0.125 m. 答：李明射击到的点 B' 偏离靶心点 B 的长度 BB' 为 0.125 m. 相似三角形的应用 利用相似三角形的性质测量宽度(不能直接测量的两点间的距离) 利用相似三角形的性质测量高度(不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度) 1.如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC＝30°，窗户的高在教室地面上的影长MN＝2 米，窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米(点M，N，C在同一直线上)，则窗户的高AB为(　　) A．米 B．3米 C．2米 D．1.5米 C 2.如图所示，在离某建筑物4m处有一棵树，在某时刻，1.2m长的竹竿垂直地面，影长为2m，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m，则这棵树高约有多少米( ) A．6.4米 B．5.4米 C．4.4米 D．3.4米 C 3.如图，已知零件的外径为30 mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）测量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，且量得CD＝12 mm，则零件的厚度x= mm． 3 4.如图，一条东西走向的笔直公路，点A，B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置.小王在公路南侧所在直线PQ上行走，当他到达点P的位置时，观察到树A恰好挡住电视塔，即点P，A，C在一条直线上， 当他继续走180米到达点Q的位置时，观察到树B也恰好挡住电视塔.假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离. 解：如图所示，过点C作CE⊥PQ于点E，交AB于点D. 设CD的长为x，则CE的长为x＋60. ∵AB∥PQ，∴△ABC∽△PQC， ∴＝，∴ ＝， 即＝，解得x＝300， ∴x＋60＝360. 答：电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360米. $