微专题02 直线中距离范围与最值的问题讲义-【考点突破+强化训练】2026年新高二数学暑假预习人教A版选择性必修第一册

微专题02 直线中距离范围与最值的问题 知识点1：点关于点对称 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 知识点2：三点共线最值问题 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 考点一　用两点间的距离公式求函数最值 考点二　点到直线距离有关的最值与范围 考点三　两条平行直线间的距离有关的最值与范围 考点四　利用对称求最值与范围 考点一　用两点间的距离公式求函数最值 1．（25-26高二上·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【答案】B 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的最小值，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从中解出，代入得到，则表示点到点的距离与点到点的距离之和，故的最小值就是的值，利用两点间距离公式求解即可得解. 【详解】是正数，，，，，， ， 表示点到点的距离与点 到点的距离之和， 的最小值就是的值，且， 的最小值即的最小值为. 故选：A.    3．（25-26高二上·福建厦门·期中）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用两点间的距离公式，结合几何意义求出的最小值；变形，再利用几何意义求出其最小值. 【详解】由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当重合时取等号， 所以的最小值为；    由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当为线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为.    故答案为：； 4．（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据代数式的几何意义作图求解. 【详解】表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 5．（25-26高三下·北京·强基计划）求的值域. 【答案】 【分析】设，问题化为求的范围，数形结合确定值域即可. 【详解】令， 设，如下图示， 则，当且仅当在线段的延长线上时取等号， 当时，直线可近似看作平行关系，此时， 综上，目标式的范围是. 6．（25-26高三上·辽宁·阶段检测）已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点、、、，，可得出，数形结合可得出所求代数式的最小值. 【详解】记点、、、，，如下图所示： 易知四边形是边长为的正方形， 所以，，，， 所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立， ， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以 ， 当且仅当点为线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 考点二　点到直线距离有关的最值与范围 7．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，点到直线的距离的最大值为. 【详解】直线， 即，由，解得， 所以直线过定点，， 点到直线的距离的最大值为. 故选：C 8．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）点到动直线的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析直线经过定点，再利用两点间的距离求点到直线的距离的最大值. 【详解】对直线：， 由. 即直线经过定点. 所以点到点的距离就是点到动直线的最大值， 所以. 故选：C 9．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【详解】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D 10．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和，    令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 11．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）（多选）直线（ ） A．或重合 B．可能都平行y 轴 C．分别过定点和 D．之间的距离最大值为 【答案】ACD 【分析】将方程化为斜截式方程即可判断位置关系判断A；根据斜率存在判断B；根据直线过定点判断C，根据两直线平行，且均过定点，即可求解距离最大值判断D. 【详解】直线即，斜率为，纵截距为， 直线即，斜率为，纵截距为， 所以的斜率相等，当即时，与重合，当时，故A正确； 由于的斜率为，存在，故直线不可能都平行y 轴，故B错误； ， 令，解得，故过定点， ， 令，解得，故过定点，故C正确； 由C可知分别过定点和，且两直线或重合，重合时两直线距离为0， 当与两定点所在直线垂直时，之间的距离最大，最大值为，故D正确. 故选：ACD 12．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线：，：，则（    ） A．恒过定点 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．若，则与间的距离的最大值为 【答案】AD 【分析】求出直线、过定点坐标，从而求出两定点间的距离，即可判断A、D，利用特殊值判断B，求出直线与坐标轴的交点坐标，由面积公式，即可判断C. 【详解】对于A：直线：，令，解得， 所以直线：恒过定点，故A正确； 对于B：若，则，即， 但是得不到，如时：，：也满足，故B错误； 对于C：依题意，对于， 令，解得，令，解得，直线与轴交于点，与轴交于点， 则与坐标轴围成的三角形面积，解得，故C错误； 对于D：直线：，令，解得， 则直线恒过点， 令、，则， 又， 当直线、与垂直，则，，解得、， 此时两平行直线与间的距离的最大，最大值为，故D正确； 故选：AD 考点三　两条平行直线间的距离有关的最值与范围 13．（25-26高一下·全国·课后作业）两条相互平行的直线分别过点和，并各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）由图可知两直线距离显然满足. （2）当两直线均与垂直时d取最大值，求出再写出两直线方程. 【详解】（1）如图，一般地，过A，B的两直线，其距离显然满足.      而， 故所求d的变化范围是. （2）由图知，当均与垂直时d取最大值，而， 所以所求直线的斜率为. 故所求的直线方程为和， 即和. 14．（25-26高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 【答案】(1)且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行． (2)平行时距离为，相交时最大夹角为． 【分析】（1）由两相交求得的范围，再讨论平行与重合的情形即可； （2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为． 【详解】（1），且时，两直线相交， 时，两直线方程分别为和，两直线重合， 时，两直线方程分别为和，两直线平行． 综上， 且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行． （2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为和即为和，距离为， 两直线相交时，且， 时，的斜率为，的斜率为， 由得，即时两直线垂直，夹角最大为． 15．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行可得，利用两平行线之间的距离公式求得距离表达式，再利用判别式法求得函数值域即可求得距离范围. 【详解】由可得，又与不垂直，所以； 将直线化为，也即； 因此直线与之间的距离为， 令，整理可得， 易知，整理可得，解得； 当时，，此时两直线重合； 当时，，满足条件，因此. 故选：C 16．（25-26高二下·贵州安顺·期末）两平行线，分别过点与．设与之间距离是，求的取值范围为__________________． 【答案】 【分析】由过定点的两条平行直线可得，极限思想可得出其最小要大于重合时的距离，最大时为与直线垂直时. 【详解】由极限思想可得，两直线的距离， 而当平行线，与直线垂直时，两平行线的距离最大，即， 所以，． 故答案为： 17．（25-26高二上·辽宁·期中）已知直线，当k变化时，点到直线l的距离的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意可知直线过定点，从而可求到直线l的距离的最大值，再由，即可得答案. 【详解】因为直线，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，到直线l的距离最大， 此时， 又因为当直线过点时，，所以. 故答案为：. 18．（25-26高二上·全国·期末）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用点到直线距离公式计算. 【详解】点到直线的距离， 整理可得，解得． 故答案为：. 考点四　利用对称求最值与范围 19．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 20．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可. 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为． 故选：D. 21．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知点，，且点P在直线上，下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．的最大值为6 【答案】ABD 【分析】借助点到直线距离公式计算可得A；化折线为直线，利用两点之间线段最短判断可得B；借助斜率公式计算可得C；借助几何意义计算可得D. 【详解】对A：点到直线的距离为， 故的最小值为，故A正确； 对B：设点关于直线的对称点为， 则有，解得，即， 则， 当且仅当、、三点共线时取等号，故B正确；    对C：假设存在点，使得， 则， 化简得，显然方程无解， 故不存在点，使得，故C错误； 对D：， 当且仅当、、三点共线时取等，故D正确. 故选：ABD. 22．（25-26高二上·吉林长春·期中）点在直线上运动，，则的最大值是（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】先求得点B关于l的对称点C的坐标，所以，分析可得当C、A、P三点共线时，有最大值，根据两点间距离公式，即可得答案. 【详解】因为，直线， 所以点B关于直线l的对称点，则， 所以， 因为P为直线l上的动点， 所以当C、A、P三点共线时，有最大值， 且为， 所以的最大值是. 故选：A 23．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知，直线过点C． (1)将直线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的直线与直线重合，求直线的一般方程； (2)当点B到直线的距离最大时，求点A到直线的距离； (3)若点P在（1）的条件下的直线上，求的最大值，并求此时点P的坐标. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用两点之间的斜率公式及点斜式计算再转化为一般式方程即可； （2）根据点到直线的距离公式及直线过定点计算即可； （3）利用三角形三边关系结合两直线交点计算即可. 【详解】（1）由题意可得点平移后对应的点的坐标为， 则直线的斜率， 故直线的方程为， 即. （2）因为直线过点， 所以点到直线的距离， 当且仅当时，取得最大值， 此时，即，解得， 则直线的方程为，即， 故点到直线的距离为. （3）由（1）可知直线的方程为. 连接，并延长（两点都在直线的下方），交直线于点. 当点与点重合时，； 当点与点不重合时，. 因为，所以， 则的最大值是. 由得 所以当取得最大值时，点的坐标为. 24．（25-26高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 1．（25-26高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. 【答案】 【分析】设点关于的对称点的坐标为，根据两点关于直线对称求出点的坐标，数形结合可知当、、三点共线时，取最大值，即可得解. 【详解】设点关于的对称点的坐标为，连接，    则，即，所以①． 因为的中点在直线上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 又， 当且仅当、、三点共线时，取最大值. 故的最大值为. 故答案为：. 2．（25-26高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B 3．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D 4．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式将方程有两组实数解问题转化为判断定点到动直线的距离等于定长的直线条数，进而求解即可. 【详解】不妨令，此时有， 所以， 即点与点到直线的距离相等，且有且仅有两条这样的直线． 此时或重合或者过中点． 又，当过中点时，，当时，与为同一条直线； 当时，， 当时，有4条直线满足条件（与平行2条，过中点2条），不合题意； 当时，有3条直线满足条件（与平行2条，过中点1条），不合题意； 所以要有且仅有两条直线，必然有， 由于不过原点，则过原点且与平行时只有一条，直线，则， 所以的取值范围为． 5．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由， 设，，. 得的几何意义为的值. 点关于轴对称点， 所以. 故选：B 6．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 7．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 8．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】整理直线方程得到直线经过定点，当时，此时点到动直线的距离最大，由两点的距离公式求出最大距离. 【详解】直线方程可以整理为， 令，解得，即直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大距离为. 故选：D. 9．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即. 连接与直线相交于点，则的最小值为. 故选：A. 10．（25-26高二上·山西晋中·期中）已知点为直线上一点，则的最小值是（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】D 【分析】先求出点关于直线的对称点的坐标，然后转化成求两点间的距离求解即可. 【详解】因为在直线上，设点关于直线的对称点为， 则解得故，连接交直线于点， 当在点时，取得最小值，其最小值为. 故选：D. 11．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）若点在直线，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据两点间的距离公式，判断代数式的几何意义，再根据点关于直线的对称点的求法，求出最小值，判断结果即可. 【详解】设点为直线上的动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点， 则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：B. 12．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的图象表示过原点的所有直线 B．函数的最小值为5 C．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为 D．若将直线上一点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，仍在该直线上，则该直线的斜率为 【答案】BD 【分析】根据点斜式适合范围判断A，根据距离和最小确定B,应用截距相等判断C,应用平移得出直线结合待定系数法判断D. 【详解】对于A：函数不能表示与轴重合的直线，故A不正确； 对于B： ， 表示点与，距离之和， 如图所示，当三点，，不共线时，， 当三点，，共线时，， 所以的最小值为，故B正确； 对于C：当直线与两坐标轴的截距为0时，即直线过原点时，设直线方程为， 把点代入，得，所以直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为，即， 把点代入，得，所以直线方程为. 综上直线方程为或，故C不正确； 对于D：设直线的方程为， 沿着轴向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得， 即， 所以，即，故D正确. 故选：BD. 13．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率k的取值范围是 【答案】AC 【分析】由直线方向向量与斜率的关系求解可判定A；根据两直线的位置关系列出方程，求得的值，然后结合充要条件可判定B；根据直线过定点，结合垂直时距离最大，求得的值可判定C；根据直线的斜率公式，求得直线斜率的取值范围，可判定D. 【详解】对于A，因为直线的一个方向向量为， 所以该直线的斜率为，故A正确； 对于B，因为直线和互相垂直， 所以，解得或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 所以B错误； 对于C，将直线方程变形为，由，可得， 所以直线过定点， 当直线与垂直时，点到的距离最大， 因为，则，所以C正确； 对于D，如图所示，由，， 所以由图知，或，所以斜率的取值范围是，所以D错误. 故选：AC. 14．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）（多选）已知点到直线：（）的距离为，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先求出直线恒过的定点，找到直线不包括直线，再求出定点到直线的距离，求出直线的斜率，可以得到直线与直线垂直，则直线绕着点转动的过程中得到的范围，从而得到答案. 【详解】直线：可化为：， ∴，∴， ∴直线恒过定点（不包括直线）， ，∴， ，直线的斜率为， ， 垂直于直线时， 点到直线的距离为. ∴点到直线：的距离为， 由于在此范围内，、、不在此范围内，故A不符合题意，BCD符合题意. 故选：BCD. 15．（25-26高二上·山西大同·阶段检测）（多选）下列结论错误的是（　　） A．过点的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，点在轴上，则的最小值是6 【答案】ABCD 【分析】通过直线斜率、垂直条件、平行直线距离公式、对称点法，分别验证各选项的正确性，确定错误结论. 【详解】选项A： 过点、的直线斜率，倾斜角满足， 而，A选项错误. 选项B： 直线垂直的条件为斜率乘积为. 直线的斜率为， 直线的斜率为，故，解得，B选项错误. 选项C： 将直线化为， 两平行直线距离为，C选项错误. 选项D： 取关于轴的对称点， 的最小值为，D选项错误. 故选：ABCD 16．（25-26高二上·贵州·阶段检测）（多选）已知，，P是直线上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】先求出B关于直线l对称的点为坐标，分析可得当三点共线时，的最小值，计算即可判断A、B的正误；当三点共线时，有最大值，计算即可判断C、D的正误，即可得答案. 【详解】设点B关于直线l对称的点为， 则，解得，即. 连接，与直线l交于点M，如图所示 当点P与点M重合时，， ， 当点P与点M不重合时，， 综上，的最小值为，故A错误，B正确. 连接AB并延长，交直线l于点N，如图所示 当点P与点N重合时，， ， 当点P与点N不重合时，， 综上，，即的最大值为，故C正确，D错误. 故选：BC 17．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______. 【答案】5 【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解． 【详解】直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点，， 当与直线，垂直时，直线，的距离最大， 且最大值为， 故答案为：5． 18．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为___________. 【答案】 【分析】利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离. 【详解】因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 答案为： 19．（25-26高二上·福建福州·期中）已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】先将代数式转化为，记，进而将问题转化为求的最小值，数形结合即可. 【详解】， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 20．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）两平行直线、分别过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则、之间的距离的取值范围是______ 【答案】 【分析】根据题意分析可知，即可得结果. 【详解】设、之间的距离为， 若平行直线、分别过点，，则， 当且仅当、与直线垂直时，等号成立， 所以、之间的距离的取值范围是. 故答案为：. 21．（25-26高二·全国·课后作业）两平行直线，分别过，. (1)，之间的距离为5，求两直线方程； (2)若，之间的距离为d，求d的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）斜率不存在时，不合题意，斜率存在时，设斜率为，表示出直线，，利用平行线间的距离公式解出即可； （2）结合图像可知当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大，求出，即可求得d的取值范围. 【详解】（1）当，斜率不存在时，易知，，之间的距离为1，不合题意； 当，斜率存在时，设斜率为，则，化为一般式得，，由，之间的距离为5，可得， 解得或，当时，；当时，. 故两直线方程为或. （2） 如图：当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大为，当，旋转到和重合时，距离为0， 又两平行直线，不重合，故. 22．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. (1)分别求顶点，的坐标； (2)求的面积； (3)若为直线：上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 【答案】(1)， (2)39 (3)， 【分析】(1)根据点在直线上，结合中点坐标公式与斜率关系，即可联立方程求解， （2）根据两点距离公式以及点到直线的距离公式求解底边长和高，即可由面积公式求解， （3）求解点关于直线的对称点，结合三角形的三边关系即可求解最值，进而联立方程求解交点坐标. 【详解】（1）设.因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以解得即点的坐标为. 设.因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以解得即点的坐标为. （2）因为，，所以. 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为 故的面积为. （3）设点关于直线的对称点为， 则解得即. 因为，所以当，，三点共线时，取得最大值，所以的最大值为. 由，，可得直线的方程为，即 由解得即当取得最大值时，点的坐标为.    23．（25-26高二上·河南·期中）已知直线：. (1)若直线与. 平行，且之间的距离为，求的方程； (2)为上一点，点，，求取得最大值时点的坐标. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）设出直线m的方程，利用平行线间距离公式列式求解. （2）求出点关于直线的对称点坐标，结合图形，利用线段和差关系确定点位置，进而求出其坐标. 【详解】（1）由直线m与平行，设直线m的方程为， 由m，之间的距离为，得，解得或， 所以直线m的方程为或. （2）设点关于直线：的对称点为， 则，解得，即， 而，当且仅当三点共线时取等号， 直线的方程为，即， 由，解得，点， 所以取得最大值时点P的坐标. 24．（25-26高二·全国·课后作业）已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值． 【答案】，最小值 【分析】求得关于直线的对称点，结合两点间的距离公式求得的最小值. 【详解】设关于直线的对称点为， 线段的中点为， 所以， 解得，即， 所以的最小值为， 此时直线的方程为， 由解得，所以. 25．（25-26高二上·重庆·期中）已知两直线， (1)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)已知两点，，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1)或； (2)2. 【分析】（1）求出直线的交点，再按相等截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. （2）求出点关于直线对称的点，再结合对称的性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】（1）由，解得，则直线交于点， 直线在两坐标轴上截距都为0，且过点，符合题意， 当相等的截距不为0时，设直线方程为，由， 得，方程为， 所以所求直线方程为或. （2）点在直线同侧，令点关于直线对称的点坐标为， 则，解得，因此点关于直线对称的点为原点， ，当且仅当是线段与直线为交点时取等号， 所以的最小值为2. 26．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线平行可得方程，解方程即可得解. （2）根据对称可知直线与垂直，中点在上，列出方程，接方程组即可； （3）根据对称可知，再作平行四边形，结合平行四边形性质可转化为求的最小值，即可得解. 【详解】（1）由直线与直线平行， 则， 解得或， 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线，，两直线重合，不成立； 综上所述； （2）由（1）得，其斜率， 设点，则，中点为， 则，解得， 即； （3） 由（2）得点关于直线的对称点为，则， 又，分别在直线，上，且， 则，且， 则， 以，为平行四边形邻边作平行四边形， 则，且， 此时， 所以， 所以当点，，三点共线时， 取得最小值为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 直线中距离范围与最值的问题 知识点1：点关于点对称 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 知识点2：三点共线最值问题 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 考点一　用两点间的距离公式求函数最值 考点二　点到直线距离有关的最值与范围 考点三　两条平行直线间的距离有关的最值与范围 考点四　利用对称求最值与范围 考点一　用两点间的距离公式求函数最值 1．（25-26高二上·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 2．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建厦门·期中）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 4．（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 5．（25-26高三下·北京·强基计划）求的值域. 6．（25-26高三上·辽宁·阶段检测）已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 考点二　点到直线距离有关的最值与范围 7．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）点到动直线的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 10．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 11．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）（多选）直线（ ） A．或重合 B．可能都平行y 轴 C．分别过定点和 D．之间的距离最大值为 12．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线：，：，则（    ） A．恒过定点 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．若，则与间的距离的最大值为 考点三　两条平行直线间的距离有关的最值与范围 13．（25-26高一下·全国·课后作业）两条相互平行的直线分别过点和，并各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 14．（25-26高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 15．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·贵州安顺·期末）两平行线，分别过点与．设与之间距离是，求的取值范围为__________________． 17．（25-26高二上·辽宁·期中）已知直线，当k变化时，点到直线l的距离的取值范围是______. 18．（25-26高二上·全国·期末）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是______． 考点四　利用对称求最值与范围 19．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 20．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 21．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知点，，且点P在直线上，下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．的最大值为6 22．（25-26高二上·吉林长春·期中）点在直线上运动，，则的最大值是（　　） A． B． C．3 D．4 23．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知，直线过点C． (1)将直线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的直线与直线重合，求直线的一般方程； (2)当点B到直线的距离最大时，求点A到直线的距离； (3)若点P在（1）的条件下的直线上，求的最大值，并求此时点P的坐标. 24．（25-26高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 1．（25-26高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. 2．（25-26高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 4．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 5．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 7．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 8．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A．3 B． C． D．5 9．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 10．（25-26高二上·山西晋中·期中）已知点为直线上一点，则的最小值是（    ） A． B．7 C． D．5 11．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）若点在直线，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 12．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的图象表示过原点的所有直线 B．函数的最小值为5 C．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为 D．若将直线上一点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，仍在该直线上，则该直线的斜率为 13．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率k的取值范围是 14．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）（多选）已知点到直线：（）的距离为，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·山西大同·阶段检测）（多选）下列结论错误的是（　　） A．过点的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，点在轴上，则的最小值是6 16．（25-26高二上·贵州·阶段检测）（多选）已知，，P是直线上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 17．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______. 18．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为___________. 19．（25-26高二上·福建福州·期中）已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 20．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）两平行直线、分别过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则、之间的距离的取值范围是______ 21．（25-26高二·全国·课后作业）两平行直线，分别过，. (1)，之间的距离为5，求两直线方程； (2)若，之间的距离为d，求d的取值范围. 22．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. (1)分别求顶点，的坐标； (2)求的面积； (3)若为直线：上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 23．（25-26高二上·河南·期中）已知直线：. (1)若直线与. 平行，且之间的距离为，求的方程； (2)为上一点，点，，求取得最大值时点的坐标. 24．（25-26高二·全国·课后作业）已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值． 25．（25-26高二上·重庆·期中）已知两直线， (1)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)已知两点，，动点在直线运动，求的最小值. 26．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $