第11讲 圆的方程（培优讲义）新高二数学人教A版

第11讲 圆的方程（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 圆的标准方程 2 知识点02 圆的一般方程 3 知识点03 点与圆的位置关系 4 知识点04 圆上的点到定点的最大、最小距离 5 剖题型・讲技巧 6 题型1 圆的标准方程 6 题型2 二元二次方程与圆的关系 8 题型3 圆的标准方程与一般方程的互化 10 题型4 求圆的一般方程 12 题型5 点与圆的位置关系 16 题型6 点到圆的最值问题 18 释疑惑·重难拓展 21 题型1 与圆有关的轨迹问题 21 知高考·真题探源 23 练好题·提分培优 28 课标要点 1．理解圆的定义，掌握圆标准方程、一般方程，熟记特殊位置圆的方程形式，能通过配方判断方程对应图形。 2．掌握几何、代数两种方法，判断点与圆的三种位置关系。 3．会利用圆心与定点距离、半径，求解圆上点到定点的最值距离，体会数形结合思想。 知识点01 圆的标准方程 1、圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 练习 1．已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．圆的圆心的坐标为__________． 知识点02 圆的一般方程 1、圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2、对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 练习 3．圆的圆心坐标为_________． 4．已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点03 点与圆的位置关系 1、位置分类 平面内点和圆存在三种位置关系：点在圆上、点在圆内、点在圆外。 已知圆标准方程：，圆心，半径； 圆一般方程：，平面内任意一点。 2、三种判定方法对比 （1）几何法：计算点到圆心距离 点在圆上： 点在圆内： 点在圆外： （2）标准方程代数法：代入点坐标算 点在圆上： 点在圆内： 点在圆外： （3）一般方程代数法：代入点坐标计算 点在圆上： 点在圆内： 点在圆外： 练习 5．点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 6．若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点04 圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上,. 练习 7．已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 题型1 圆的标准方程 方法技巧 根据圆的定义，已知圆心与半径，直接写出标准方程。 结合图形位置条件快速写方程，包含过原点、圆心在坐标轴、与坐标轴相切等特殊情形，对照对应几何特征确定。 已知圆上三点、圆心定点、切线条件时，设标准方程，代入已知点坐标列方程组求解圆心与半径。 【例1】过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】已知圆和点，则直线 CM的方程是______. 【变式1-2】已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【变式1-3】如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 题型2 二元二次方程与圆的关系 方法技巧 二元二次方程，先计算判别式。 当，方程表示圆；，方程仅表示一个点；，无对应图形。 判断式子是否为圆的方程，先保证系数相等且不为0，无交叉项，再验证判别式大小。 【例3】已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【例4】（多选）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【变式2-1】若方程为圆的方程，则的值为______. 【变式2-2】已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 【变式2-3】若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型3 圆的标准方程与一般方程的互化 【例5】在平面直角坐标系中，圆的方程为，则圆的面积为_____. 【例6】圆的直径的最小值为____________． 【变式3-1】圆关于直线对称的圆的方程为___________． 【变式3-2】若方程表示半径不超过2的圆，则的取值范围为_____. 【变式3-3】由曲线围成的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型4 求圆的一般方程 【例7】若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【例8】已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【变式4-1】已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 【变式4-2】“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】“康威圆定理”的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段CA至点，使得，以此类推得到点，，，和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．若在中，，，，康威圆圆心为K，则K的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型5 点与圆的位置关系 【例9】已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【例10】已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知圆过三点，点，则圆的一般方程为______，点在圆______（内/上/外）． 【变式5-2】“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-3】已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 题型6 点到圆的最值问题 【例11】实数满足，则的取值范围为______． 【例12】已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．1 【变式6-1】已知圆，点，点Q是圆M上的一个动点，线段的最大值为（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 【变式6-2】已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【变式6-3】已知点和圆C：，一束光线从点A发出，射到直线l：后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是__________； 释疑惑·重难拓展 题型1 与圆有关的轨迹问题 方法技巧 设轨迹动点坐标，根据题目给出的距离、定点、圆等几何条件列出等量关系式。 利用圆的距离定义、两点距离公式列式，再化简整理得到动点轨迹方程。 若轨迹满足到定点距离为定值，可直接判定轨迹为圆，写出对应标准或一般方程。 【例1】在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 【例2】已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 【变式1-2】已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知圆P经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若线段的端点D的坐标是，端点C在圆P上运动，求的中点的轨迹方程，并指出它的轨迹是什么图形. 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2023·上海·高考真题）已知圆的方程为，其面积为，则______. 4．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到）    5．（2023·上海·高考真题）已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为____________ 6．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________． 7．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 一、单选题 1．圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 2．以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 3．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 4．已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 6．已知，则“圆不经过第四象限”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 9．已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 三、填空题 10．已知圆，为圆的一条直径，点，则点的坐标为________． 11．圆关于直线对称的圆的标准方程为____. 12．已知动点满足，则的最大值为___________． 四、解答题 13．根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 14．在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过两点. (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，证明：为定值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 圆的方程（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 圆的标准方程 2 知识点02 圆的一般方程 3 知识点03 点与圆的位置关系 4 知识点04 圆上的点到定点的最大、最小距离 5 剖题型・讲技巧 6 题型1 圆的标准方程 6 题型2 二元二次方程与圆的关系 8 题型3 圆的标准方程与一般方程的互化 10 题型4 求圆的一般方程 12 题型5 点与圆的位置关系 16 题型6 点到圆的最值问题 18 释疑惑·重难拓展 21 题型1 与圆有关的轨迹问题 21 知高考·真题探源 23 练好题·提分培优 28 课标要点 1．理解圆的定义，掌握圆标准方程、一般方程，熟记特殊位置圆的方程形式，能通过配方判断方程对应图形。 2．掌握几何、代数两种方法，判断点与圆的三种位置关系。 3．会利用圆心与定点距离、半径，求解圆上点到定点的最值距离，体会数形结合思想。 知识点01 圆的标准方程 1、圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 练习 1．已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 2．圆的圆心的坐标为__________． 【答案】 【详解】圆的圆心的坐标为． 知识点02 圆的一般方程 1、圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2、对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 练习 3．圆的圆心坐标为_________． 【答案】 【详解】将方程转化为圆的标准方程得：，所以圆心坐标为. 4．已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】方程配方得， 若方程表示圆，则，解得， 则“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 知识点03 点与圆的位置关系 1、位置分类 平面内点和圆存在三种位置关系：点在圆上、点在圆内、点在圆外。 已知圆标准方程：，圆心，半径； 圆一般方程：，平面内任意一点。 2、三种判定方法对比 （1）几何法：计算点到圆心距离 点在圆上： 点在圆内： 点在圆外： （2）标准方程代数法：代入点坐标算 点在圆上： 点在圆内： 点在圆外： （3）一般方程代数法：代入点坐标计算 点在圆上： 点在圆内： 点在圆外： 练习 5．点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 6．若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 知识点04 圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上,. 练习 7．已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由半径为3，圆心为的圆，则圆心到原点的距离，. 由，，所以原点O在圆的外部，如图：所以圆上的点到原点的距离的最小值为． 故选：B． 8．已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 题型1 圆的标准方程 方法技巧 根据圆的定义，已知圆心与半径，直接写出标准方程。 结合图形位置条件快速写方程，包含过原点、圆心在坐标轴、与坐标轴相切等特殊情形，对照对应几何特征确定。 已知圆上三点、圆心定点、切线条件时，设标准方程，代入已知点坐标列方程组求解圆心与半径。 【例1】过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 【例2】若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. 【变式1-1】已知圆和点，则直线 CM的方程是______. 【答案】 【详解】由题意得圆的标准方程为， 所以圆心，又， 所以由两点式可得直线的方程为，即. 【变式1-2】已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 【变式1-3】如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 【答案】 【详解】由题易知，圆的半径为，圆心在的垂直平分线上， 又的斜率，则直线的方程为， 设，所以，解得， 所以圆的方程为. 题型2 二元二次方程与圆的关系 方法技巧 二元二次方程，先计算判别式。 当，方程表示圆；，方程仅表示一个点；，无对应图形。 判断式子是否为圆的方程，先保证系数相等且不为0，无交叉项，再验证判别式大小。 【例3】已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 【例4】（多选）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【答案】ACD 【详解】对于A：由得：，显然该方程表示圆心为， 半径为的圆，所以A正确； 对于B：将点代入圆的方程得：，显然该圆不过坐标原点，所以B错误； 对于C：因为圆心始终在直线上，所以C正确； 对于D：由得：， 所以，解得或， 所以该方程表示的圆恒过两点， 因为这两点到原点的距离都为1， 所以圆上总存在两点到原点的距离为1，所以D正确. 故选：ACD. 【变式2-1】若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 【变式2-2】已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为圆标准方程为， 所以，解得，即实数a的取值范围是． 故答案为： 【变式2-3】若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为关于的方程有实数解， 所以方程表示圆或点， 则，即 ， 解得或， 故选：B 题型3 圆的标准方程与一般方程的互化 【例5】在平面直角坐标系中，圆的方程为，则圆的面积为_____. 【答案】 【详解】易知圆的标准方程为 所以圆的面积为. 故答案为： 【例6】圆的直径的最小值为____________． 【答案】 【详解】圆的方程可化为， 则直径． 故答案为： 【变式3-1】圆关于直线对称的圆的方程为___________． 【答案】 【详解】由圆，将其化为标准式可得， 所以圆心坐标为，半径为， 由圆与圆关于直线对称，则可得圆心坐标为，半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 【变式3-2】若方程表示半径不超过2的圆，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】圆方程可化为， 由于圆的半径不超过2， 所以，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-3】由曲线围成的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于把方程中的分别用代换，方程没有发生变化， 所以方程表示的曲线关于轴和原点对称， 当时，方程， 所以该方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆在第一象限的部分，如图： 因该方程表示的曲线在第一象限部分是一个弓形，其面积为， 由曲线的对称性可知曲线在各象限的部分均全等，故面积都相等， 所以曲线围成的图形的面积为：， 故选：D 题型4 求圆的一般方程 【例7】若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 【例8】已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以AB中点坐标为，又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. （2）由垂径定理得，圆心在的垂直平分线上， 联立方程得：，解得，所以圆心坐标为， 所以半径，所以圆的标准方程为， 所以圆的一般式方程. 【变式4-1】已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知 易知 因为，所以，即①， 又所以，即②, 将①式代入②式得， 又，所以,得, 点的坐标为. （2）由题意知, 设的外接圆方程为， 代入点得,解得, 即， 即的外接圆方程为. 【变式4-2】“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意可知、、， 设圆弧所在圆的方程为， 将、、三点的坐标代入圆的方程可得，解得， 所以圆弧所在圆的一般方程为，标准方程为， 故该圆的半径为. 故选：C. 【变式4-3】“康威圆定理”的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段CA至点，使得，以此类推得到点，，，和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．若在中，，，，康威圆圆心为K，则K的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，，， ， 则直线的方程为，所以， 是线段的中点，所以， 是线段的中点，所以， 设康威圆的方程为， 代入，，得： ，解得， 所以圆的一般方程为，即， 所以圆心. 故选：D 题型5 点与圆的位置关系 【例9】已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 【例10】已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】联立，解得，即交点为. 再由交点在圆的内部，所以，解得. 故选：C. 【变式5-1】已知圆过三点，点，则圆的一般方程为______，点在圆______（内/上/外）． 【答案】 外 【详解】设圆的一般方程为， 因为圆过三点，可得，解得， 满足，所以圆的方程为， 将点代入方程得，所以点在圆外． 故答案为：；外. 【变式5-2】“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因点在圆外部， 则，即， 解得：. 注意到是的真子集， 则由“”不能得到“点在圆外部”， 由“点在圆外部”可得到“”， 即“”是“点在圆外部”的必要不充分条件. 故选：B 【变式5-3】已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】C 【详解】由是方程的两个不等实数根，得， 则， 所以点与圆外. 故选：C 题型6 点到圆的最值问题 【例11】实数满足，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】如图： 点为圆上一点，， 则表示线段的长度． 所以， 可得的取值范围为． 故答案为： 【例12】已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【详解】因为， 所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上， 因为表示点与定点的距离， 所以点与定点的距离的最小值等于圆心与的距离减去圆的半径， 即. 【变式6-1】已知圆，点，点Q是圆M上的一个动点，线段的最大值为（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】对于点和圆， ，所以点在圆外， 圆的方程可化为，圆心为，半径为， ， 所以的最大值为. 故选：C    【变式6-2】已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值与最小值分别为49和9 【分析】 【详解】（1）线段的中垂线为， 因为圆心在直线上，所以圆心满足： ，解得，即圆心 又半径，所以圆C的方程为； （2）方法1：设，则， 又因为， ，所以， 当且仅当三点共线时等号成立 所以，即最大值与最小值分别为49和9． 方法2：设， 则 所以的最大值与最小值分别为49和9． 【变式6-3】已知点和圆C：，一束光线从点A发出，射到直线l：后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是__________； 【答案】 【详解】圆C：的圆心，半径， 设点关于直线l：的对称点为， 由，解得，即点， ， 当且仅当为线段的中点时取等号， 所以折线ABP的最短长度是. 故答案为： 释疑惑·重难拓展 题型1 与圆有关的轨迹问题 方法技巧 设轨迹动点坐标，根据题目给出的距离、定点、圆等几何条件列出等量关系式。 利用圆的距离定义、两点距离公式列式，再化简整理得到动点轨迹方程。 若轨迹满足到定点距离为定值，可直接判定轨迹为圆，写出对应标准或一般方程。 【例1】在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 【答案】 【详解】设，则，， 由题意可知，则， 化简可得，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 到一定点的距离为定值，则该定值为. 【例2】已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【答案】（且） 【详解】法一：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且． 又因为，，且， 所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为（且）． 法二：设的中点为，由中点坐标公式得． 由直角三角形的性质知，． 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点）， 直角顶点的轨迹方程为（且）． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【详解】设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为. 【变式1-2】已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，故， 故，故，且， 故，故，故. 【变式1-3】已知圆P经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若线段的端点D的坐标是，端点C在圆P上运动，求的中点的轨迹方程，并指出它的轨迹是什么图形. 【答案】(1) (2)，的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 【分析】 【详解】（1）设圆心的坐标为， 则有， 整理求得，故圆心为， 半径r满足， 则圆P的方程为. （2）设线段中点，， 由可知，， ∵点C在圆上运动，∴， ∴的轨迹方程为. ∴的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 3．（2023·上海·高考真题）已知圆的方程为，其面积为，则______. 【答案】 【详解】由得，圆的半径为， 由圆的面积为得，，解得. 故答案为：. 4．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到）    【答案】 【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，    不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为， 化简得，所以圆心为，半径为，且经过点 即，化简得， 解得， 结合题意可得，故圆的周长为. 故答案为： 5．（2023·上海·高考真题）已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为____________ 【答案】 【详解】圆即， 所以圆的半径为. 故答案为： 6．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________． 【答案】 【详解】[方法一]：三点共圆 ∵点M在直线上， ∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴， ，解得， ∴，， 的方程为. 故答案为： [方法二]：圆的几何性质 由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 故答案为： 7．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 【答案】或或或． 【详解】[方法一]：圆的一般方程 依题意设圆的方程为， （1）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （3）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 故答案为：或 或 或． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁； 方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解． 一、单选题 1．圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 2．以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 3．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 4．已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 5．已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设动点，圆上点， 因为是在轴上的投影，则易得， ，， 因为 ，所以，解得， （*）， 因为是圆上，所以， 将（*）代入得，即， 则点的轨迹方程为. 6．已知，则“圆不经过第四象限”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为圆， 所以圆，则圆心坐标为，半径， 因为半径，所以，化简得：， 解得，又因为，所以， 若圆不经过第四象限，则圆心到轴的距离要大于等于半径， 即，移项可得：，解得：或， 又因为，可得，所以可推出， 所以是的充分条件， 当时，不满足，所以是的不必要条件， 综上，圆不经过第四象限是的充分不必要条件. 7．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 二、多选题 8．已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 【答案】ABD 【详解】圆心，半径为，A选项正确； 点在圆外，B选项正确； ∵圆心不在直线上， ∴圆关于直线不对称，C选项错误； ，圆半径， ，即，D选项正确. 故选：ABD. 9．已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 三、填空题 10．已知圆，为圆的一条直径，点，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】由可得，所以圆心， 设，又因为，是圆的一条直径，则由中点坐标公式得，解得， 所以点的坐标为． 11．圆关于直线对称的圆的标准方程为____. 【答案】 【详解】将圆整理得，则圆心为，半径. 设圆心关于直线的对称点为， 所以解得， 所以所求对称圆的标准方程为． 故答案为：． 12．已知动点满足，则的最大值为___________． 【答案】 【详解】依题意，动点满足， 即：当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即. 由此画出点对应的轨迹如下图所示， 表示点与点两点间距离的平方， 最大值为. 故答案为：    四、解答题 13．根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 14．在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过两点. (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题可设，由得，解得. 所以圆心，半径. 所以圆的方程为. （2）设，则. . 即为定值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $