2.1.1 倾斜角与斜率【考点突破+强化训练】2026年新高二数学暑假预习人教A版选择性必修第一册

2.1.1 倾斜角与斜率 知识点1：直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°． 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°． 【注意】(1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°) (2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等 知识点2：直线的斜率 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α． 2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系 (1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)． (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝． 【注意】(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°． (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0． 知识点3：直线斜率的基本求法 (1)利用两点坐标求直线的斜率，即k＝(x1≠x2)，用此法时要注意两点的横坐标不能相等，同时要注意横、纵坐标必须对应． (2)利用倾斜角求斜率，即k＝tan α，用此法时一定注意倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． 2．利用斜率公式求直线的斜率时，如果点的坐标中含有参数，需要先对直线斜率是否存在作出判断，即对参数进行分类讨论． 考点一　直线的倾斜角 考点二　直线斜率的定义 考点三　已知两点求斜率 考点四　已知斜率求参数 考点五　斜率公式的应用 考点六　斜率与倾斜角的变化关系 考点七　直线与线段的相交关系求斜率范围 考点一　直线的倾斜角 1．（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】∵直线的方程为， ∴直线与轴垂直. 因此直线的倾斜角是. 3．（25-26高一下·山东青岛·期末）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________． 【答案】 【分析】根据方向向量计算斜率，利用斜率与倾斜角的关系计算． 【详解】由直线的方向向量， 可得斜率，则倾斜角满足； 因为，可得． 4．（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 考点二　直线斜率的定义 5．（25-26高二下·浙江·期中）对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 【答案】B 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角，即可逐项判断. 【详解】直线，即为，所以斜率是，故A错误，B正确； 设直线的倾斜角为， 则，可得，所以倾斜角是，故CD错误. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（   ） ①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于轴的直线的倾斜角是0或；④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；⑤直线斜率的范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据倾斜角和斜率的定义逐项判断即可. 【详解】对于①，任一条直线都有倾斜角，但当直线的倾斜角为时，此直线的斜率不存在，所以①不正确； 对于②，当直线的倾斜角大于时，它的斜率为负数，而倾斜角为锐角时，其斜率为正数，大于所有负数， 所以不能说直线的倾斜角越大，它的斜率就越大，所以②不正确； 对于③，平行于轴的直线的倾斜角只能是0，所以③不正确； 对于④，一般地，两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；但如果这两条直线的倾斜角都是， 它们斜率都不存在，也就不能说它们斜率相等，所以④不正确； 对于⑤，直线斜率的范围是，满足定义，所以⑤正确． 故选：A． 7．（25-26高二上·广东深圳·期中）若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，所以. 故选：D. 8．（25-26高二上·天津南开·期中）下列说法错误的是（   ）. A．有的直线斜率不存在 B．截距可以为负值 C．若直线l的倾斜角为，且，则它的斜率 D．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为 【答案】D 【分析】根据斜率的概念，截距概念，斜率与倾斜角的关系判断． 【详解】当直线与轴垂直，斜率不存在，A正确； 截距是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为负，B正确； 由斜率与倾斜角的关系知C正确； 直线l的斜率为1，则它的倾斜角为，D错． 故选：D． 9．（25-26高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线，，的倾斜角分别为，，．可得，利用正切函数的单调性即可得出斜率大小关系． 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即． 故选：． 10．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD 考点三　已知两点求斜率 11．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）过，两点的直线的一个方向向量为，则（　　） A． B．1 C．5 D．3 【答案】C 【详解】解法一：由题意可知，解得. 解法二：∵，∴，解得. 13．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 14．（25-26高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 【答案】 【详解】设此直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 考点四　已知斜率求参数 15．（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【详解】因为直线过点，，且斜率为1， 所以，解得． 16．（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，整理得，解得. 17．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【分析】根据斜率公式可得关于m的方程，求解可得实数的值. 【详解】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 故答案为：. 18．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】应用两点得出直线斜率，再根据方向向量得出斜率，最后列式求参数. 【详解】经过两点的直线斜率为， 又因为直线的方向向量为，则直线斜率为， 所以，即. 故选：C. 考点五　斜率公式的应用 19．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据直线的斜率公式进行求解即可. 【详解】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 20．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【答案】 【分析】利用三点共线有，结合斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题意，则，即. 故答案为： 21．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 【答案】AC 【分析】A选项，利用斜率相等求解即可；B选项，结合图像求出临界情况分析即可；C选项根据方向向量与平行来判断即可；D选项，根据倾斜角与斜率的关系举反例即可. 【详解】对于A选项，由可得，由三点共线得，得，A选项正确； 对于B选项，由、，， 则，， 由图可知，要使过点的直线与线段MN有公共点， 则或，即的斜率k的取值范围为，故B错误； 对于C选项，若，则，故与平行，故C选项正确； 对于D选项，若，但是，故D选项错误； 故选：AC. 22．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出三点共线时的所有值，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】当时，三点均在直线上； 当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上； 当时，若三点共线，则，即，解得或． 综上，若三点共线，则或或， 故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件． 故选：C. 23．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式计算即可； （2）由三点共线，可得，再根据斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题意，解得； （2）， 因为三点共线，所以， 即，解得. 24．（2026高二上·河南安阳·专题练习）已知实数满足，则的最大值为______． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 考点六　斜率与倾斜角的变化关系 25．（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 26．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）设直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用举反例来作出既不充分也不必要条件的判断. 【详解】举反例：取，，满足， 但，，此时， 举反例：取（对应），（对应）， 满足，但， 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 27．（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量得出斜率，再根据斜率的范围得出倾斜角的范围. 【详解】直线的方向向量， 所以斜率为，， 则， 则倾斜角的取值范围是. 故选：C. 28．（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得出答案. 【详解】由，，则. 故选：A 考点七　直线与线段的相交关系求斜率范围 29．（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【分析】由题可知表示定点和曲线上任一点的连线的斜率，再结合函数图像求解． 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 30．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 31．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 32．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是______________．（用弧度制表示，写成区间形式） 【答案】 【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围． 【详解】    因为，，， ，， 则使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围为 又直线倾斜角的范围是：，且， 所以直线l的倾斜角的范围为. 故答案为：． 1．（25-26高二上·广东潮州·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与轴垂直，故倾斜角为. 2．（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，则， ． 3．（2026·宁夏吴忠·二模）已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解. 【详解】直线的斜率为，又因为直线的一个方向向量为，所以该直线的斜率也为，故. 故选：C. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线经过两点，得直线的斜率， 则直线的倾斜角，直线的倾斜角为， 所以的斜率为. 5．（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 6．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线的倾斜角为，则“直线的斜率”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由直线的斜率，得，则或， 又，解得或； 反之当时，，则直线的斜率， 所以“直线的斜率”是“”的必要不充分条件. 7．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 8．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）（多选）下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】BCD 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系判断各选项即可. 【详解】对于A，当时，斜率不存在，故A错误； 对于B，当直线斜率时，它的倾斜角为，故B正确； 对于C，由，，则直线轴，倾斜角为，故C正确； 对于D，因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为1， 由于，因此这条直线必过点，故D正确. 故选：BCD 9．（25-26高二上·河南南阳·期中）（多选）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用直线斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，三条直线的倾斜角分别为，可得， 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得, 结合选项，可得选项A、B、C. 故选：ABC. 10．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 【答案】 【详解】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线， 所以直线的倾斜角为，则其斜率为. 11．（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为______． 【答案】 【详解】由可知直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 因，故. 12．（25-26高二下·上海·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么_____. 【答案】 【详解】过、两点的直线的倾斜角为， 说明的横坐标相同，且纵坐标不同，即. 13．（25-26高二上·福建莆田·期末）直线的一个方向向量为，倾斜角为，则_________. 【答案】 【分析】利用直线的方向向量求出直线的斜率，从而得到，利用二倍角公式求出. 【详解】直线的一个方向向量为，， 倾斜角为，，. 故答案为：. 14．（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）结合两点斜率公式，根据直线斜率列方程求解即可. （2）结合两点斜率公式和斜率的定义，根据直线斜率列方程求解即可. （3）根据直线的倾斜角为锐角得，利用两点斜率公式列不等式求解即可. 【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以； （2）由直线的倾斜角为可知，直线的斜率， 所以，解得； （3）由题意可知，直线的斜率，所以， 即，解得. 15．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 16．（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）已知，，三点． （1）若过A，C两点的直线的倾斜角为，求m的值． （2）A，B，C三点可能共线吗？若能的，求出m值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）能共线，. 【分析】（1）利用直线的倾斜角和斜率的关系，以及斜率公式得tan45°=1= ， 即可求得m的值； （2）三点共线，则任过两点的直线的斜率相等，根据斜率公式，可求m的值. 【详解】（1）过A，C两点的直线的斜率为 ， 又直线AC的倾斜角为，所以，得. （2），， 若，，三点共线，则有，即，解得， 所以A，B，C三点能共线，且. 【点睛】本题考查了斜率公式，考查了斜率与倾斜角的关系；判断A、B、C三点共线的方法. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1 倾斜角与斜率 知识点1：直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°． 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°． 【注意】(1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°) (2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等 知识点2：直线的斜率 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α． 2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系 (1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)． (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝． 【注意】(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°． (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0． 知识点3：直线斜率的基本求法 (1)利用两点坐标求直线的斜率，即k＝(x1≠x2)，用此法时要注意两点的横坐标不能相等，同时要注意横、纵坐标必须对应． (2)利用倾斜角求斜率，即k＝tan α，用此法时一定注意倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． 2．利用斜率公式求直线的斜率时，如果点的坐标中含有参数，需要先对直线斜率是否存在作出判断，即对参数进行分类讨论． 考点一　直线的倾斜角 考点二　直线斜率的定义 考点三　已知两点求斜率 考点四　已知斜率求参数 考点五　斜率公式的应用 考点六　斜率与倾斜角的变化关系 考点七　直线与线段的相交关系求斜率范围 考点一　直线的倾斜角 1．（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 3．（25-26高一下·山东青岛·期末）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________． 4．（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 考点二　直线斜率的定义 5．（25-26高二下·浙江·期中）对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（   ） ①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于轴的直线的倾斜角是0或；④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；⑤直线斜率的范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高二上·广东深圳·期中）若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·天津南开·期中）下列说法错误的是（   ）. A．有的直线斜率不存在 B．截距可以为负值 C．若直线l的倾斜角为，且，则它的斜率 D．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为 9．（25-26高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三　已知两点求斜率 11．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 12．（25-26高三·全国·一轮复习）过，两点的直线的一个方向向量为，则（　　） A． B．1 C．5 D．3 13．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 考点四　已知斜率求参数 15．（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 16．（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 18．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 考点五　斜率公式的应用 19．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 21．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 22．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 23．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 24．（2026高二上·河南安阳·专题练习）已知实数满足，则的最大值为______． 考点六　斜率与倾斜角的变化关系 25．（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 26．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）设直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点七　直线与线段的相交关系求斜率范围 29．（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 30．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 31．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是______________．（用弧度制表示，写成区间形式） 1．（25-26高二上·广东潮州·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·宁夏吴忠·二模）已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线的倾斜角为，则“直线的斜率”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）（多选）下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 9．（25-26高二上·河南南阳·期中）（多选）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 11．（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为______． 12．（25-26高二下·上海·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么_____. 13．（25-26高二上·福建莆田·期末）直线的一个方向向量为，倾斜角为，则_________. 14．（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 15．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 16．（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）已知，，三点． （1）若过A，C两点的直线的倾斜角为，求m的值． （2）A，B，C三点可能共线吗？若能的，求出m值；若不能，请说明理由． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $