1.1.1 空间向量及其线性运算-【考点突破+强化训练】2026年新高二数学暑假预习人教A版选择性必修第一册

1.1.1 空间向量及其线性运算 知识点1：空间向量的有关概念及其简单应用 1．空间向量的概念与表示 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模．若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||． 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 【注意】(1)单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，不是没有方向． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．但起点和终点未必相同． (3)空间向量不能比较大小． 知识点2：空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形 叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形 叙述 运算 律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【注意】若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则＝或＋…＋＝0． 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 知识点3：空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 【注意】(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (2)向量λa与向量a一定是共线向量． 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 知识点4：空间向量共线的充要条件 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 【注意】(1)0与空间任意向量a都是共线向量，这一性质使共线向量不具有传递性． (2)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上． 证明空间三点共线的方法 对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线： (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 知识点5：空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α． 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 【注意】向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立． 向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下条件进行证明． ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 考点一　空间向量的有关概念 考点二　空间向量的加减运算 考点三　空间向量加减运算的几何表示 考点四　利用空间向量判断共线以及求参数或值 考点五　利用空间向量判断共面以及求参数或值 考点一　空间向量的有关概念 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【分析】根据向量的定义（大小、方向）、零向量性质、共线向量的方向特征，逐一判断各选项的正确性. 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 2．（25-26高二上·全国·期末）（多选）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义可判断A选项；利用向量的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项, 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，若，则和的模相等，方向不一定相同， 若，则和的模相等，方向也相同， 所以是向量的必要不充分条件，故B为真命题； 对于C，向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：AC. 3．（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 考点二　空间向量的加减运算 5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法及减法运算计算判断即可. 【详解】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 6．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 7．（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】G是的中点，所以. 8．（25-26高二下·上海·月考）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 【答案】 【详解】因为为的中点，根据向量加法的平行四边形法则， 所以. 则根据向量减法的三角形法则可知， 得到. 考点三　空间向量加减运算的几何表示 9．（25-26高二下·江苏徐州·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 10．（25-26高二下·江苏徐州·月考）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 11．（25-26高二下·江苏苏州·月考）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 12．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 13．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 14．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据空间向量的线性运算即可得结果. 【详解】因为，为SC的中点， 所以， 故选：C. 考点四　利用空间向量判断共线以及求参数或值 15．（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据（）可得，进行判断. 【详解】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意. 故选：C 16．（24-25高三上·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 17．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 18．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 19．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 20．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 考点五　利用空间向量判断共面以及求参数或值 21．（25-26高二上·广东潮州·期末）（多选）下列命题中正确的有（   ） A．向量与向量方向相反 B．正方体的棱长为1，则 C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D．若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 【答案】ABD 【分析】根据相反向量的定义可判断A；根据数量积公式，求得的值，即可判断B；根据四点共面的判定，即可判断C；根据投影向量的公式计算即可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以，所以向量与方向相反，故A正确； 对于B，因为在正方体中，两两夹角为， 所以， ， 所以，故B正确； 对于C，若，由于，所以，，，四点不共面，故C不正确； 对于D，因为，向量，的夹角为， 所以向量在向量方向上投影向量的模为，故D正确. 故选：ABD. 22．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义、共线向量的定义，结合共面定理逐一判断即可. 【详解】A：因为，，， 所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面， 因此该选项命题正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面， 所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确. 故选：AC 23．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 【答案】/ 【分析】借助空间向量线性运算及四点共面条件计算即可得. 【详解】由，则， 则， 由A，B，C，P四点共面，则，解得. 24．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 25．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 26．（25-26高二上·四川达州·期中）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助平面向量线性运算及空间中四点共面性质可得，再利用基本不等式“1”的活用计算即可得解. 【详解】因为，则， 所以， ， 当且仅当“”即“”时取“”， 故的最小值为 故选：B 1．（25-26高二上·重庆·月考）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解作答. 【详解】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 3．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 4．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为正八面体，四边形为正方形； ； 是的中点，，则， 为的中点，四边形为平行四边形， ， . 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 6．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为是BD的中点， 所以， 所以. 7．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，连接，由题设易得，进而得到，再根据四点共面求解即可. 【详解】连接交于点，连接， 在正四棱锥中，且为的中点， 则，，即， 则，即， 则， 由题意，四点共面，则，解得. 故选：A 8．（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理结合图形求解即可. 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 9．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 10．（25-26高二上·河北邢台·月考）（多选）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】空间向量基本定理及推论判断即可. 【详解】因为，结合平面向量的基本定理可知四点共面，所以A选项正确； 由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数，使得，且，显然B选项不正确，C选项正确； 化简，可得， 满足四点不共面，D选项不正确． 故选：AC 11．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）下列命题中为真命题的是（    ） A．若，都是直线的方向向量，则必有 B．为空间任意一点，若，且四点共面，则 C．若为不共线的非零向量，，，则 D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式则 【答案】CD 【分析】利用共线向量的意义及定理判断选项A、C；利用共面向量定理可以判断选项B,D. 【详解】对于选项A:一条直线的方向向量有多个，它们是平行向量，方向相同或相反，模长可以不同，故选项A错误； 对于选项B: 由题意可得:， 所以， 因为四点共面，所以由共面向量定理的推论可得， 即；故选项B错误； 对于选项C:因为，所以，故选项C正确； 对于选项D:假设存在不全为零的实数,，使得 不妨设，则 此时共面，与不共面矛盾， 所以只有时，，故选项D正确． 故选：CD. 12．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 【答案】2 【分析】根据空间向量共面定理的推论求解. 【详解】因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2. 13．（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 14．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有的式子表示）．    【答案】 【分析】先求出向量的表达式，再利用中点性质得到，最后通过向量减法求出. 【详解】，因为是的中点， 所以，但，而， 所以. 故答案为： 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1 空间向量及其线性运算 知识点1：空间向量的有关概念及其简单应用 1．空间向量的概念与表示 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模．若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||． 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 【注意】(1)单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，不是没有方向． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．但起点和终点未必相同． (3)空间向量不能比较大小． 知识点2：空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形 叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形 叙述 运算 律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【注意】若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则＝或＋…＋＝0． 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 知识点3：空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 【注意】(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (2)向量λa与向量a一定是共线向量． 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 知识点4：空间向量共线的充要条件 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 【注意】(1)0与空间任意向量a都是共线向量，这一性质使共线向量不具有传递性． (2)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上． 证明空间三点共线的方法 对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线： (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 知识点5：空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α． 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 【注意】向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立． 向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下条件进行证明． ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 考点一　空间向量的有关概念 考点二　空间向量的加减运算 考点三　空间向量加减运算的几何表示 考点四　利用空间向量判断共线以及求参数或值 考点五　利用空间向量判断共面以及求参数或值 考点一　空间向量的有关概念 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 2．（25-26高二上·全国·期末）（多选）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 3．（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 考点二　空间向量的加减运算 5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·上海·月考）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 考点三　空间向量加减运算的几何表示 9．（25-26高二下·江苏徐州·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26高二下·江苏徐州·月考）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·江苏苏州·月考）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 考点四　利用空间向量判断共线以及求参数或值 15．（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高三上·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 20．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 考点五　利用空间向量判断共面以及求参数或值 21．（25-26高二上·广东潮州·期末）（多选）下列命题中正确的有（   ） A．向量与向量方向相反 B．正方体的棱长为1，则 C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D．若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 22．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 23．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 24．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 25．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 26．（25-26高二上·四川达州·期中）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·重庆·月考）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 3．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 8．（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（25-26高二上·河北邢台·月考）（多选）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）下列命题中为真命题的是（    ） A．若，都是直线的方向向量，则必有 B．为空间任意一点，若，且四点共面，则 C．若为不共线的非零向量，，，则 D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式则 12．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 13．（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 14．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有的式子表示）．    2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $