2.2基本不等式同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学基本不等式同步练，通过基础辨析-中档应用-提升综合的三层设计，实现从概念理解到问题解决的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念辨析与简单应用|单选题考查基本不等式成立条件及简单最值（如概念辨析、直接应用）| |进阶层|概念辨析与条件最值|多选题+填空题强化条件辨析与变形应用（如条件对比、和定积最大）| |综合层|多条件综合与方法迁移|简答题综合函数变形与“1”的代换（如“1”的代换求最值、多变量条件最值）|

2.2.基本不等式练习 姓名 班级 一、单选题 1 a+b x+二22 ≥2 x2+ 1 ≥1 1.有下列式子：①a+1>2a;2 i③Vab ；④x2+1 其中正确的个数是（) A.0 B.1 C.2 D.3 81 x+ 2.已知x>0,当x的值最小时，x为（) A.81 B.3 C.9 D.16 3.用泥巴围成一个面积为16m的矩形菜园，最少需要泥巴() A.8m B.16m C.32m D.64m 2 f(x)=x+ 4.已知x>1,则函数 x-1的最小值为（) A.2 B.2v2 c2W2-1 D2W2+1 5.下列不等式正确的是（) 4 a+-≥4 A.a B.a2+b2≥4ab vab≥a+b 2 3 02 二、多选题 6,下列选项正确的是（) A两个不等式a2+b2≥2ab与2 成立的条件是相同的 B.3ro∈R使得x02+1≤2x0 2+y≥2w c若x>0,y>0则V2x+y x+y≥2 D.x>0且y>0是yx 的充要条件 1 三、填空题 7.已知y>0.且x+y=10,则y的最大值是 四、简答题 5 x≥ 8已知2，求函数 /)=-4x+5 2x-4的最值 x2+2 9.已知x>1,求x-1的最小值 1+2=1 10.已知a>0,b>0,且ab (①)求ab的最小值； (2)求a+b的最小值 2.3 11没a,b满足2a+36=6(a>0,b>0）求ab的最小值 参考答案 一、单选题 x+22 a+b ≥2 x2+ 1 -≥1 1.有下列式子：①a+1>2a;② ；③Vab ；④ x2+1, 其中正确 的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】①移项得l>a,仅当a<1成立，不是恒成立，错误； ②x≠0，由基本不等式. 2+2 x 恒成立，正确， ③当a,b<0时，左边为负数不等式不成立.错误； 2+1=2++11≥2-1=1 ④x2+1 x2+1 ,当x=0取等，正确； 【答案】C .81 X+一 2.已知x>0,当x的值最小时，x为() A.81 B.3 c.9 D.16 81 81 x+ ≥2， =18 【解析】由基本不等式x x=81,即x2=81,且x>0, 取等条件x 故r=9 【答案】C 3,用泥巴围成-个面积为16m的矩形菜园.最少需要泥巴（) A.8m B.16m C.32m D.64m 【解析】设矩形长x,宽y,y=16.周长L=2(x+月 x+y≥2√炒=8，s所以L≥16，x=y=4取等 【答案】B 4 4,已知x>1,则函 f)=x+2 -1的最小值为() A.2 B22 c.2V2-1 D.2W2+1 【解析】 f9=x-0+2 +1,x-1>0 -1 x-)+2 由基本不等式得 x-)≥2√2 ,故f()≥22+1 【答案】D 5.下列不等式正确的是() 4 a+-≥4 B.a2+b2≥4ab Vab≥a+b 243 ≥2V5 A.a 2 D. 【解析】A:a<0时不成立： B:例如a=b=1,2≥4不成立： a+bzJab C:均值不等式反向， D: 0+22 =25 x2 ,正确 【答案】D 二、多选题 6.下列选项正确的是（) a+bzab A两个不等式a2+b≥2ab与 成立的条件是相同的 B.3r0∈R使得xo2+1≤2x0 +y≥2y c若x>0,y>0.则V2 x+y x+y≥2 Dx>0且y>0是yx 的充要条件 【解析1A:前者a,beR.后者a,b≥0，条件不同，错 5 B:x=1时，1+1=2,2≤2成立，存在，对： x+y4x2y=c-x+)≥0 C:平方证： 2(x+y)2 2(x+y)2 ，成立，对； D:仅充分不必要，y>0即可，错： 【答案】BC 三、填空题 7.已知y>0.且x+y=10,则y的最大值是 xs/x+y (2 =25,当x=y=5 【答案】25【解析】 取等 四、简答题 J(x)= x2-4x+5 8.已知 2, 求函数 2x-4的最值， 【解析】化简原函数 -到--* -2斯安则e0-月e0川王装发方收 ☆ )* 5 函数有最小值4，无最大值 y=x2+2 9.已知x>1,求x-1的最小值， 【解析】法-：令t=x-1,t>0,x=t+1 y-《++2-+21+3-1+3+2 则 t t t+3≥225 因为t ,所以y≥23+2 当1=V5即x=1+V5取等：最小值2+23 法二：因为x>1,所以x-1>0 6 y---2-12-23=e-0++22-0+2-25+2 x-1 x-1 x-1 当且仅当 x-)=2 时少=+2 ,即x=1+V5时：x-1取最小值2+23 12=1 10.已知a>0,b>0.且ab (1)求ab的最小值； (2)求a+b的最小值 1=1+2≥22 【解析】(1)ab ab 1尖8 则ab≥8 两边平方：ab 1_2-1,即a=2,b=4 当且仅当ab2' 等；所以ab最小值8 (2)因为a>0,b>0 a+b=a+b)x1=(a+b)+2）= 一十 +b+2a≥3+22 =3+2+1 所 a b) a b (“1"的代换) 当且仅当b=2a,b=V2a取等：a+b最小值3+2V2 2,3 11设a,b满足2a+3b=6(a>0,b>0）,求ab的最小值 一十一 【解析】因为2a+3动=6a>0,b>0) b-1 所以32 十一十 6 a=b= 2.3 25 当且仅 5取等；所以ab最小值为6 7