精品解析：贵州省铜仁市江口县民族中学2021-2022学年下学期八年级期中数学试卷

八年级下期中测试题 一、选择题 1. 下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ）． A. a=2，b=3，c=4 B. a=4，b=4，c=5 C. a=5，b=6，c=7 D. a=5，b=12，c=13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理依次判断各选项即可得． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选D． 【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，理解题意，掌握勾股定理逆定理是解题关键． 2. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】．是轴对称图形，不是中心对称图形， ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形， ．既是轴对称图形，也是中心对称图形， ．是轴对称图形，不是中心对称图形． 3. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 4. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数及勾股定理，能求出的长是解此题的关键．根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再进一步确定a的值为多少即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， ∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧， ∴． 故选：C． ． 5. 如果点在轴上，那么点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴上点的横坐标等于求出的值，再代入计算点的横、纵坐标，结合各象限内点的坐标符号判断点所在象限． 【详解】解：点在轴上， ， 解得， ，， 点的坐标为， 点在第二象限． 6. 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF＝PE，PG＝PE，再根据平行线之间的距离的定义判断出EG的长即为AD、BC间的距离． 【详解】解：如图，过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G， ∵AP是∠BAD的平分线，PE⊥AB， ∴PF＝PE， 同理可得PG＝PE， ∵AD∥BC， ∴点F、P、G三点共线， ∴FG的长即为AD、BC间的距离， ∴平行线AD与BC间的距离为3＋3＝6， 故选D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等. 7. 如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（　　）米． A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米． 【详解】在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=1.5米， 故AC===2米． 在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米， 故EC===1.5米， 故AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米． 故选A． 【点睛】本题中主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度． 8. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则所有正方形的面积的和是 ． A. 28 B. 49 C. 98 D. 147 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到正方形A的面积加上B的面积等于E的面积，同理，C，D的面积的和是F的面积，E，F的面积的和是M的面积，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得：SA+SB=SE，SC+SD=SM，SE+SF=SM， 所以，所有正方形的面积的和是正方形M的面积的3倍：即49×3=147（cm2）． 故选D 【点睛】理解正方形A，B的面积的和是E的面积是解决本题的关键．若把A，B，E换成形状相同的另外的图形，这种关系仍成立． 9. 如图，在矩形中，，，点在上，于，于，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理的应用、三角形的面积公式，连接，过作于，求出长，根据三角形的面积公式求出的值，根据代入数据求解即可．解题的关键是得出． 【详解】解：连接，过作于， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°． ∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE =AF，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）． ∴BE=DF．故结论①正确． 由Rt△ABE≌Rt△ADF得，∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF=30°．即∠DAF=15°．故结论②正确． ∵BC=CD，∴BC－BE=CD－DF，CE=CF． ∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．故结论③正确． 设EC=x，由勾股定理，得EF=，CG=，AG=， ∴AC=．∴AB=．∴BE=． ∴BE+DF．故结论④错误． ∵，， ∴．故结论⑤正确． 综上所述，正确的有4个， 故选：C． 二、填空题 11. 若平行四边形的一个内角为，则与它相邻的一个内角为___________ 【答案】 【解析】 【分析】平行四边形对边平行，根据平行线的性质，同旁内角互补，即可计算得到所求内角的度数． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， 即与相邻的角的度数为． 12. 如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是____m． 【答案】12 【解析】 【分析】以梯子的长度为斜边构造直角三角形，用勾股定理求解即可． 【详解】∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m， ∴另一直角边长=， 故梯子可到达建筑物的高度是12m． 故答案是：12． 【点睛】本题考查了勾股定理，明确梯长的长度是直角三角形的斜边是解题的关键． 13. 如图所示，菱形中，对角线相交于点O，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是_____．（只填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件，即可． 【详解】解：添加，理由： ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一） 14. 如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A，B两点的点O处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得MN＝20m，则池塘的宽度AB为__________m. 【答案】40 【解析】 【详解】试题分析：此题考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且是第三边的一半. ∵在△OAB中，M、N为OA、OB的中点，∴MN=，∴池塘的宽度AB=2MN=2×20=40m. 考点：三角形中位线定理 15. 如图，沿着由点B到点E的方向平移到；已知，，那么平移的距离为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平移的性质进行计算即可． 【详解】解：，， ， 即平移的距离为2． 16. 如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上，若线段AB上有一个点P（a，b），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为_____． 【答案】（a﹣2，b+3） 【解析】 【分析】先利用点A它的对应点A′的坐标特征确定平移方式，然后再根据平移方式写出点P（a，b）平移后的对应点P′的坐标． 【详解】解：∵点A（1，﹣1）先向左平移2个单位，再向上平移3和单位得到点A′（﹣1，2）， ∴线段AB先向左平移2个单位，再向上平移3和单位得到线段A′B′， ∴点P（a，b）平移后的对应点P′的坐标为（a﹣2，b+3）． 故答案为（a﹣2，b+3）． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变化--平移，弄清题意、明确平移方式并掌握横坐标、右移加、左移减，纵坐标、上移加、下移减的平移规律是解答本题的关键． 17. 的周长是30，、相交于点O，的周长比的周长大3，则_____． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分．解题时要注意利用方程思想与数形结合思想求解．由四边形是平行四边形，可得，，，；又由的周长比的周长大3，可得，又因为的周长是30，所以；解方程组即可求得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 又∵的周长比的周长大3， ∴ ∴， 又∵的周长是30， ∴， ∴． 故答案为：9． 18. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上的一个动点，则PF＋PE 的最小值为______________ 【答案】 【解析】 【分析】作点F关于AC对称点F′根据正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴,可得点F关于AC的对称点在线段AD上，连结EF′，P为AC上的一个动点，PF=PF′，则PF+PE=PF′+PE≥EF′，PF+PE的最小值为EF′的长即可． 【详解】解：作点F关于AC对称点F′， ∵正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴， ∴点F关于AC的对称点在线段AD上，连结EF′， ∵P为AC上的一个动点， ∴PF=PF′ 则PF+PE=PF′+PE≥EF′， PF+PE的最小值为EF′的长， ∵AB=4，AF=2， ∴AF′=AF=2， ∴EF′=． 【点睛】本题考查正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短，掌握正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短是解题关键． 三、解答题 19. 如图,△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=12cm，BC=16cm．求AD、CD的长． 【答案】CD =9.6cm，AD=7.2cm 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高，进一步根据勾股定理即可求得AD的长． 【详解】∵∠ACB=90°，AC=12cm，BC=16cm， ∴AB=20cm. 根据直角三角形的面积公式,得CD= =9.6cm. 在Rt△ACD中,AD=cm. 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于求得直角三角形的斜边 20. 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE． （1）求证：BD=EC； （2）若∠E=50°，求∠BAO的大小． 【答案】（1）证明见解析（2）40°. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB//CD，然后证明得到BE=CD，BE//CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证. （2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解. 【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD，AB//CD. 又∵BE=AB， ∴BE=CD，BE//CD. ∴四边形BECD是平行四边形. ∴BD=EC. （2）∵四边形BECD是平行四边形， ∴BD//CE， ∴∠ABO=∠E=50°. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC丄BD. ∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°. 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．点A的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）把先向左移动5个单位后，再向上移动6个单位，得到，并写出每个顶点的坐标： 【答案】（1）． （2） ，， 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点，然后顺次连接，并写出点的坐标； （2）根据平移的规律求解即可． 【小问1详解】 解：图略，． 【小问2详解】 解：由（1）可知：，， 把先向左移动5个单位后，再向上移动6个单位，得到， ∴，，， 即，，． 图略. 22. 如图，在中，平分交延长线于点E，作，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）30 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证明，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题； （2）根据，求出的长即可解决问题． 【小问1详解】 证明：在中，有， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 在中，有， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识及运用数学结合思想． 23. 已知：在平行四边形中，． （1）请你再添加一个条件，使四边形为菱形，并且证明． （2）在（1）所添加的条件下，再添一个条件，使得四边形为正方形，并且证明． 【答案】（1）添加，使四边形为菱形， 证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 添加， ∴四边形为菱形． （2）添加，使得四边形为正方形， 证明如下： 由（1）可知四边形为菱形． 添加， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的性质和已知条件得出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定条件添加一个条件得出四边形为菱形即可． （2）在四边形为菱形的条件下，根据正方形的判定定理添加一个条件得出四边形为正方形即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 24. 给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． （1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称； （2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°． ①求证：△BCE是等边三角形； ②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】(1)正方形、矩形、直角梯形均可；(2)①证明见解析②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形； （2）①首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形； ②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解． 【详解】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可； （2）①∵△ABC≌△DBE， ∴BC=BE， ∵∠CBE=60°， ∴△BCE是等边三角形； ②∵△ABC≌△DBE， ∴BE=BC，AC=ED； ∴△BCE为等边三角形， ∴BC=CE，∠BCE=60°， ∵∠DCB=30°， ∴∠DCE=90°， 在Rt△DCE中， DC2+CE2=DE2， ∴DC2+BC2=AC2． 考点：四边形综合题． 25. (1)如图，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，且PD＝BG，求证：FP＝FC. (2)如图，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，延长PG交CB的延长线于点F，(1)中的结论还成立吗？请说明理由． (3)在(2)的条件下，作FE⊥PC，垂足为E，交CG于点N，连接DN，求∠NDC的度数． 【答案】(1)见解析；　(2)成立，理由见解析；(3)∠NDC＝45°. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件易证△BCG≌△DCP，由全等三角形的性质可得CP=CG，∠BCG=∠DCP，即可求得∠DCP=∠BCG=22.5°，所以∠PCF=∠PCG+∠BCG=67.5°；在△PCG中，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求得∠CPG=67.5°，即可得∠CPG =∠PCF，由此证得PF=CF；（2）过点C作CH⊥CG交AD的延长线于H，先证得△BCG≌△DCH，可得CG=CH，再证得∠PCH=45°=∠PCG，利用SAS证明△PCH≌△PCG，即可得∠CPG=∠CPH，再利用等角的余角相等证得∠CPF=∠PCF，由此即可证得PF=CF；（3）连接PN，由（2）知PF=CF，已知EF⊥CP，由等腰三角形的三线合一的性质可得EF是线段CP的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得PN=CN，所以∠CPN=∠PCN，即可得∠PCN=∠CPN=45°，根据三角形的内角和定理求得∠CNP=90°，又因∠CDP=90°，即可判定点C、D、P、N在以PC为直径的圆上，根据同弧所对的圆周角相等即可得∠NDC=∠NPC =45°． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠BCD=∠CBG=∠D=90°， ∵BG=DP， ∴△BCG≌△DCP（SAS）， ∴CP=CG，∠BCG=∠DCP， ∵∠PCG=45°， ∴∠BCG+∠DCP=45°， ∴∠DCP=∠BCG=22.5°， ∴∠PCF=∠PCG+∠BCG=67.5°， 在△PCG中，CP=CG，∠PCG=45°， ∴∠CPG=（180°﹣45°）÷2=67.5° ∴∠CPG =∠PCF， ∴PF=CF； （2）如图，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBG=∠BCD=90°， 过点C作CH⊥CG交AD的延长线于H， ∴∠CDH=90°=∠HCG． ∴∠BCG=∠DCH， ∴△BCG≌△DCH（ASA）， ∴CG=CH， ∵∠HCG=90°，∠PCG=45°， ∴∠PCH=45°=∠PCG， ∵CP=CP， ∴△PCH≌△PCG（SAS）， ∴∠CPG=∠CPH， ∵∠CPD+∠DCP=90°， ∴∠CPF+∠DCP=90°， ∵∠PCF+∠DCP=90°， ∴∠CPF=∠PCF， ∴PF=CF； （3）如图，连接PN，由（2）知，PF=CF， ∵EF⊥CP， ∴PE=CE， ∴EF是线段CP的垂直平分线， ∴PN=CN， ∴∠CPN=∠PCN， ∵∠PCN=45°， ∴∠CPN=45°， ∴∠CNP=90°， ∵∠CDP=90°， ∴点C、D、P、N在以PC为直径的圆上， ∴∠NDC=∠NPC =45°． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决第（3）问的关键是证明点C、D、P、N在以PC为直径的圆上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下期中测试题 一、选择题 1. 下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ）． A. a=2，b=3，c=4 B. a=4，b=4，c=5 C. a=5，b=6，c=7 D. a=5，b=12，c=13 2. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 4. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如果点在轴上，那么点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（　　）米． A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 8. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则所有正方形的面积的和是 ． A. 28 B. 49 C. 98 D. 147 9. 如图，在矩形中，，，点在上，于，于，则等于（　　） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 11. 若平行四边形的一个内角为，则与它相邻的一个内角为___________ 12. 如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是____m． 13. 如图所示，菱形中，对角线相交于点O，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是_____．（只填一个条件即可） 14. 如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A，B两点的点O处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得MN＝20m，则池塘的宽度AB为__________m. 15. 如图，沿着由点B到点E的方向平移到；已知，，那么平移的距离为___________． 16. 如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上，若线段AB上有一个点P（a，b），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为_____． 17. 的周长是30，、相交于点O，的周长比的周长大3，则_____． 18. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上的一个动点，则PF＋PE 的最小值为______________ 三、解答题 19. 如图,△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=12cm，BC=16cm．求AD、CD的长． 20. 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE． （1）求证：BD=EC； （2）若∠E=50°，求∠BAO的大小． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．点A的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）把先向左移动5个单位后，再向上移动6个单位，得到，并写出每个顶点的坐标： 22. 如图，在中，平分交延长线于点E，作，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 23. 已知：在平行四边形中，． （1）请你再添加一个条件，使四边形为菱形，并且证明． （2）在（1）所添加的条件下，再添一个条件，使得四边形为正方形，并且证明． 24. 给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． （1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称； （2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°． ①求证：△BCE是等边三角形； ②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 25. (1)如图，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，且PD＝BG，求证：FP＝FC. (2)如图，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，延长PG交CB的延长线于点F，(1)中的结论还成立吗？请说明理由． (3)在(2)的条件下，作FE⊥PC，垂足为E，交CG于点N，连接DN，求∠NDC的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $