29.2.1 垂直于弦的直径-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年九年级上册数学授课课件(人教版·新教材)

该初中数学课件聚焦“垂直于弦的直径”，核心内容为垂径定理及推论。以赵州桥主桥拱半径问题情境引入，通过折纸实验发现圆的轴对称性，逐步探索、验证垂直于弦的直径性质，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光与思维，以现实问题激发探究欲，实验操作培养几何直观，推理验证发展推理能力。如赵州桥问题引导观察现实，折纸实验感知对称，垂径定理结合勾股定理解决问题体现模型意识，助力学生理解应用，为教师提供完整教学流程。

第二十九章 圆 29.2.1 垂直于弦的直径 情境引入 　　 你知道赵州桥吗？它是大约1 400多年前，我国隋代建造的石拱桥,是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)是 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求主桥拱的半径吗？(精确到 0.1 m) 情境引入 1.了解圆是轴对称图形，理解圆的对称性. 2.通过观察实验，掌握垂径定理及其推论. 3.灵活运用垂径定理及其推论进行计算和解决问题. 学习目标 自主探究 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 1.实验发现 实验： 　　 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 结论： 自主探究 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M. 2.探索 请按要求回答以下问题： (1)右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ (2)你能发现图中有哪些等量关系？ 说一说你的理由. 解答： (1)是轴对称图形． 直径CD所在的直线是它的对称轴. 弧： (2)线段：AM=BM. 即：直径CD平分弦AB，并且平分 及 . 你能证明以上结论吗？ 自主探究 已知:如图，CD是 ⊙O的直径，CD⊥AB于M. 自主探究 3.验证 求证：AM=BM， 分析：如图，连接OA、OB，则OA=OB. 可通过证明Rt△OAM和 Rt△OBM全等，结合轴对称证明. 自主探究 自主探究 4.归纳 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论： ① CD是直径 ② CD⊥AB ① CD是直径 ③ AM=BM 垂径定理 推论 ② CD⊥AB ④ ⑤ ③AM=BM ⑤ ④ 自主探究 5.定理应用 弓形中重要数量关系 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： d+h=r A B C D O h r d 知识拓展 如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高． 例题评析 完成情境引入的问题. 解得 R ≈ 27.3(m). 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 即 R2=18.52+(R－7.23)2 ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m. OA2 =AD2+OD2. OD=OC－CD=R－7.23. 例题评析 B O D A C R 解：如图，AB=37，CD=7.23,所以 跟踪练习 1.如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，若圆O的半径为5，AB=8，则CD的长是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解：∵OC⊥AB， ∴AD=BD=AB= ×8=4， 在Rt△OAD中，OA=5，AD=4， ∴OD==3， ∴CD=OC-OD=5-3=2． A 2.（易错题）已知圆O的半径为10 cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB//CD，AB=16 cm，CD=12 cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm. 图1 解：分两种情况进行讨论： ①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示， 过O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OC，OA， ∵ AB//CD，∴ OE⊥AB， ∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2 cm. 解：②当弦AB和CD在圆心异侧时，过O作OE⊥CD，交CD于点E， 延长EO交AB于点F，连接OC，OA，如图2所示， ∵ AB//CD，∴ OF⊥AB， ∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴OE=8cm，OF=6cm，∴EF=OF+OE=14cm； 综上所述：AB和CD之间的距离为2cm或14cm． 2.（易错题）已知圆O的半径为10 cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB//CD，AB=16 cm，CD=12 cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm. 图2 2或14 3.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E.求证：四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 巩固练习 又 AC=AB， ∴ AE=AD. ∴ 四边形ADOE为正方形. 巩固练习 ∴ 四边形ADOE为矩形， 总结提高 1.垂径定理及其应用. 2.将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题. 3.圆中经常作辅助线——半径、弦的垂线. 课堂小结 谢谢聆听 $