5.2 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年九年级上册数学授课课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²和y=ax²+c的图象与性质，课堂导入通过复习y=x²与y=-x²的异同引出其他形式二次函数，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点是通过动手列表、描点、连线探究不同a值函数图象特征，结合表格对比归纳性质，培养学生几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维）。平移探究环节让学生理解y=ax²+c与y=ax²的关系，体现模型意识（数学语言）。学生能提升探究能力，教师可利用结构化流程和练习提高教学效率。

北师版·九年级上册 第2课时 二次函数y=ax²和y=ax²+c的图象与性质 1 复习导入 y =－x2 y =x2 二次函数y＝x2与y=－x2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？ 二次函数是否只有y＝x2与y＝－x2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？ x ··· －2 －1 0 1 2 ··· ··· 2 0.5 0 0.5 2 ··· y = 2x2 ··· 8 2 0 2 8 ··· 在画有y =x2直角坐标系中，画出 ，y =2x2的图象. 探究新知 y =x2 ①列表； ②描点； ③连线. y=2x2 y =x2 y=2x2 函数 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？ 开口都向上， 对称轴都是y轴. 顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. y=2x2抛物线的开口最小． 在画有 y =－x2的直角坐标系中，画出 的图象． y =－x2 x ··· -2 -1 0 1 2 ··· ··· -2 -0.5 0 -0.5 -2 ··· y = -2x2 ··· -8 -2 0 -2 -8 ··· ①列表； ②描点； ③连线. y=-2x2 y =－x2 y=-2x2 函数 ，y=－2x2的图象与函数y=－x2的图象相比，有什么共同点和不同点？ 开口都向下； 对称轴都是y轴. 顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点； 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. a值越小，抛物线的开口越小． y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 最值 向上 向下 (0，0) (0，0) y轴 (x=0) y轴 (x=0) 在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧， y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小. x=0时，y最小=0 x=0时，y最大=0 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说来，|a|越大，抛物线的开口就越小. 在画有y =2x2直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。 x … -2 -1 0 1 2 … y =2x2+1 … 9 3 1 3 9 … y = 2x2 －1 … 7 1 -1 1 7 … y=2x2 ①列表； y=2x2＋1 y=2x2－1 ②描点； ③连线. y=2x2 y=2x2＋1 y=2x2－1 二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同. 将二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位，就得到函数y=2x2+1的图象. 将二次函数y=2x2的图象向下平移1个单位，就得到函数y=2x2－1的图象. 将二次函数y=2x2＋1的图象向____平移____个单位，就得到函数y=2x2－1的图象. 下 2 抛物线 y = 2x2+1 ， y = 2x2 -1 y=2x2 与抛物线 有什么关系？ 抛物线y=ax2+c的图象相当于把抛物线y=ax2的图象____（c＞0）或 （c＜0）平移 个单位. 抛物线 y = 2x2+1 ， y = 2x2 -1 y=2x2 与抛物线 有什么关系？ y=ax2+c y=ax2 y = ax2 c y = ax2+c（c＞0） c y = ax2＋c（c＜0） 向上 向下 |c| 二次函数y = ax2 +c的图象和性质: a的符号 a>0 a<0 图象 c>0 c<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0，c） （0，c） x=0时，y最小值=c x=0时，y最大值=c 随堂练习 1. 抛物线y＝2x2＋3可以由抛物线y＝2x2向 平移 个单位得到． 2. 抛物线y＝－ x2+1向 平移 个单位后，会得到抛物线y=－ x2． 3. 抛物线y＝－2x2－5的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 . 上 3 下 1 向下 y轴 （0，－5） 4. 下列各组抛物线中能够互相平移彼此得到对方的是( ) A. y＝2x2与y＝3x2 B.y= x2+2与y=2x2+ C. y＝2x2与y＝x2+2 D.y＝x2与y＝x2－2 D 5. 对于二次函数y＝－ x2+2，当x为xl和x2时，对应的函数值分别为y1和y2，若x1>x2>0，则y1与y2的大小关系是( ) A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1＝y2 D.无法比较 B 开口向下 当x＞0时，y随x增大而减小. 6. 写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点. （1）y= x2+3; （2）y=-3x2-4. 解：（1）开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，3）. （2）开口向下，对称轴为y轴，顶点为（0，-4）. 7. 求抛物线y=2x2－1关于x轴对称的抛物线的解析式. y=2x2－1 解：抛物线y=2x2－1关于x轴对称的抛物线的解析式为y=－2x2+1. 8. 二次函数y＝3x2－ 的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？画图看一看. 解：二次函数 与y=3x2的图象都是抛物线，形状相同，只是位置不同.将二次函数 的图象向下平移 个单位长度，就得到 的图象.二次函数 与y=3x2的图象都是轴对称图形，它们的对称轴都是y轴（直线x=0），开口都向上，顶点坐标分别是 . 9. 二次函数 的图象与二次函数 的图象有什么关系？ 解：二次函数 与二次函数 的图象都是抛物线，形状相同，只是位置不同.将二次函数 的图象向上平移1个单位长度，就得到二次函数 的图象. 课堂小结 $