微专题 用一元二次方程解决面积问题-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年九年级上册数学授课课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦“用一元二次方程解决面积问题”，通过小区通道规划问题导入，引导学生从实际情境中抽象出数学模型，再以矩形荒地花园设计为载体，提供多种方案逐步构建从问题到方程的学习支架，衔接一元二次方程解法与实际应用。 其亮点在于通过多方案设计（矩形、扇形等）培养创新意识（数学眼光），方法梳理强调图形平移转化思想（数学思维），当堂检测与小结系统归纳问题类型（数学语言）。例如方案设计中不同图形的方程构建，帮助学生提升建模能力，教师可直接用于教学，提高效率。

第二章 一元二次方程 微专题 用一元二次方程解决面积问题 1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点） 学习目标 问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_____________________. C B D A (30-2x)(20-x)=6×78 导入新课 问题引入 在一块长为 16 m，宽为 12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你能给出设计方案吗？ 方案1 方案2 讲授新课 利用一元二次方程解决面积问题 方案3 方案4 方案5 如何设未知数？怎样列方程？ 解：设小路的宽为x m，由题意得： (16-2x)(12-2x) =16×12× 整理，得：x2-14x+24 = 0 配方，得：x2-14x+72-72+24 = 0 (x-7)2 = 25 开方，得：x1= 2，x2=12（舍） 答：小路的宽为 2 m. 方案6 如何设未知数？怎样列方程？ 解：设扇形的半径为x m，由题意得： πx2 = 16×12× πx2 = 96 x1≈ 5.5，x2≈ -5.5（舍） 方案7 如何设未知数？怎样列方程？ 解：设花园的宽为x m，由题意得： 16x + 12x - x2 = 16×12× 解得 x1＝24（舍去），x2＝4． 所以花园的宽为 4 m． 化为一般形式，得 x2 - 28x + 96 = 0 20 32 x x 解：设道路的宽为x米 例1.如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少？ 还有其他解法吗？ 20 32 x x 解：设道路的宽为 x 米 20-x 32-x (32-x)(20-x)=540 整理，得x2-52x+100=0 解得 x1=2,x2=50 当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去. ∴取x=2 答：道路的宽为2米. 变式1.在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求 这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米 (32-x)(20-x)=540 可列方程为 【方法梳理】我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）. 例2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？ 根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm 解：若设出发 x s后可使△PCQ的面积为9cm² 整理，得 解得 x1= x2=3 答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm². 【方法梳理】主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程; 1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（ ） A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0 C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0 80cm x x x x 50cm B 当堂检测 2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5 cm的小正方形，  然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽． 解：设铁板的宽为x cm,则长为2x cm 5(2x-10)(x-10)=3000 x2-15x-250=0 解得 x1=25 x2=-10(舍去） 所以 2x=50 答：铁板的长50cm,宽为25cm. 3.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 25 m)，另三边用木栏围成，木栏长 40 m. （1）鸡场的面积能达到 180 m2 吗？能达到 200 m2 吗？ （2）鸡场的面积能达到 250 m2 吗？ x x 40-2x 解: （1）设鸡场的宽为x m．由题意，得 40 - 2x > 0， 40 - 2x ≤ 25， ∴ 7.5 ≤ x ＜ 20． x(40－2x)＝180， 解得 x1＝10＋ ，x2＝10－ (舍去)． 即鸡场宽为 ( 10＋ ) m 时，鸡场面积达到 180 m2． x x 40-2x x(40－2x)＝200， 解得 x1＝x2＝ 10． 即鸡场宽为 10 m 时，鸡场面积达到 200 m2． 3.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 25 m)，另三边用木栏围成，木栏长 40 m. （1）鸡场的面积能达到 180 m2 吗？能达到 200 m2 吗？ （2）鸡场的面积能达到 250 m2 吗？ x x 40-2x （2）x(40－2x) ＝ 250，方程无解． 即鸡场面积不能达到 250 m2． 3.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 25 m)，另三边用木栏围成，木栏长 40 m. （1）鸡场的面积能达到 180 m2 吗？能达到 200 m2 吗？ （2）鸡场的面积能达到 250 m2 吗？ 如图，由点 P (14, 1)，A(a, 0)，B(0, a) (0 < a < 14) 确定的△PAB 的面积为 18，求 a 的值. 如果 a > 14 呢？ 解: 0＜a＜14 时,设BP 所在直线的表达式为 y＝mx＋b． 将 (0, a), (14, 1)代入, 得 ∴ BP 延长线与 x 轴交点坐标为 ∵ S△PAB = 18， 当 a > 14 时，可求得 a 的值为 . 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系. 类 型 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移能聚零为整方便列方程 课堂小结 $