第2章 一元二次方程 章末复习-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年九年级上册数学授课课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件围绕一元二次方程展开，系统梳理定义、解法、根的判别式与系数关系及应用，通过复习回顾导入，先夯实概念基础，再以高频考点串联解法与根的应用，最后结合实际问题搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于以典型例题为载体，通过“有根必代”“验根”培养推理意识，用销售利润、平均变化率问题构建模型意识，错题提示强化抽象能力。讲练结合让学生巩固知识、提升解题逻辑，教师可直接使用系统复习框架与实用例题提高教学效率。

章末复习 第二章 一元二次方程 一元二次方程 一元二次方 程的定义 概念：①整式方程； ②一元； ③二次. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 根的判别式及 根与系数的关系 根的判别式： Δ=b2-4ac 根与系数的关系 一元二次方程的应用 营销问题、平均变化率问题 几何问题、数字问题 复习回顾 1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 2.一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 知识梳理 知识点1.一元二次方程的基本概念 3.项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c 4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程． 1. 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0 【解答点拨】本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A. A 高频考点一 一元二次方程的定义 解析： 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”. 2. 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m= . 【提示】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意. －1 高频考点二 一元二次方程根的应用 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 各种一元二次方程的解法及使用类型 知识点2.解一元二次方程的方法 【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；（a-b)2与（a+b)2 要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯 解析 (1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方； （2）先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长． 3. (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（ ） A. (x-1)2=6 B.(x+2)2=9 C. (x+1)2=6 D.(x-2)2=9 (2) (易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程 x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（ 　） 　A．13 B． 15 C．18 D．13或18 A A 高频考点三 一元二次方程的解法 4. 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. m<2 C. m ≥0 D. m<0 A 【提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a,b,c的值. 【解析】 根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 >0,即(-4）2-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得 ,故选A. Δ 高频考点四 一元二次方程根的判别式 5.已知一元二次方程 x2－4x－3＝0 的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝ ． 25 【解析】根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25. 【重要变形】 高频考点五 一元二次方程根与系数 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 （1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 知识点3.一元二次在实际生活中的应用 6. 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件. (1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？ （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？ 市场销售问题 高频考点六 一元二次方程的实际应用 解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元. 单件利润 销售量（件） 每天的销售利润（元） 正常销售 涨价销售 4 32 x-20 32-2(x-24) 150 其等量关系是：总利润=单件利润×销售量. 解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150. 解得 x1=25, x2=35. 由题意x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元. 【提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根. 128 7. 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？ 解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得 5（1-x)2=3.2 解得 x1=1.8 (舍去）, x2=0.2=20%. 答：平均每次下调的百分率是20%. 平均变化率问题 8. 为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为30m,宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为532m2,，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形） 解：设小道进出口的宽为x m. （30-2x)(20-x)=532 x2-35x+34=0 x1=1 x2=34（舍去） 答：小道进出口的宽度应为1米. 1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 4 -2 0 当堂检测 2. 一元二次方程 x2+px-2=0 的一个根为2，则p的值为 . -1 3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24 A 4.下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0 C.3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0 5.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是　 　（写出一个即可）． D 0 6. 已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等于（ ） A. 7 B. -2 C. D. A 7.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）. 7.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）. 8. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 4 cm 的小正方形， 做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是 400 cm3，求原铁皮的 边长. 解: 设原铁皮的边长为 x cm． 4(x-8)2＝400，解得 x1＝18，x2＝－2(舍去)． 所以，原铁皮的边长为 18 cm． 9. 解方程 (x -1)2-5(x-1) + 4 = 0 时，我们可以将 x-1 看成一个整体，设x-1 = y，则原方程可化为 y2- 5y + 4 = 0，解得 y1 = 1，y2 = 4. 当 y = 1时，即 x-1=1，解得 x = 2; 当 y = 4 时，即 x-1= 4，解得 x = 5．所以原方程的解为x1 = 2，x2 = 5.请利用这种方法解方程: (3x＋5)2-4(3x＋5)+3=0. 解:设 3x＋5＝y．则原方程可化为 y2－4y＋3＝0, 解得 y1＝1，y2＝3． 当 y＝1 时，即 3x＋5＝1，解得 x＝－ ; 当 y＝3 时，即 3x＋5＝3，解得 x＝－ ． ∴原方程的解为 x1＝－ ，x2＝－ ． 10. 如图，在一块长 92 m、宽 60 m 的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等)，水渠把耕地分成面积均为 885 m2 的 6 个矩形小块，水渠应挖多宽？ 解: 设水渠宽 x m． 60x·2＋92x－2x2＝92×60－885×6, 即x2-106x+105=0, 解得 x1＝105(舍去)，x2＝1． 所以，水渠应挖 1 m 宽． 11.某军舰以 20 海里/小时 的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30海里/小时 的速度由南向北航行，它能侦察出周国 50 n mile(包括50 n mile）范围内的目标.如图所示，当该军舰行至 A 处时,电子侦察船正位于 A 处正南方向的 B 处，且 AB = 90 海里. 如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由. 解: 能. 设最早 x 小时 能侦察到, 则有 (20x)2＋(90－30x)2 ＝ 502,即13x2-54x+56=0, 解得 x1＝2，x2＝ ． 而 2＜ ，故最早 2 小时 能侦察到这艘军舰． 回顾本节课的内容，你获得哪些知识？ 课堂小结 $