1.2 第2课时 菱形的判定-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年九年级上册数学授课课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦菱形的判定定理及面积公式，通过问题导入回顾菱形定义与性质，结合动手操作和验证活动搭建学习支架，引导学生从具体探究过渡到抽象定理的理解与应用。 其亮点在于以木条转动、尺规作图等探究活动培养几何直观与空间观念（数学眼光），通过逻辑证明和例题推理发展推理能力（数学思维），规范定理运用格式与面积公式推导强化数学语言表达。学生能主动参与探究，教师可借助清晰环节提升教学效率。

1.1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第2课时 菱形的判定 1.理解并掌握菱形的两个判定方法.（重点） 2.理解并掌握菱形的两个面积公式. 3.会用菱形的性质与判定进行有关的证明和计算.（重点） 学习目标 问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？ 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形. 菱形的性质：1. 轴对称图形; 2. 四边相等; 3. 对角线互相垂直平分. A B C D 导入新课 3 动手做一做 思考：按这样剪下来的是什么图形？ 问题：根据菱形的定义,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形? 讲授新课 猜想1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 猜想2:四边相等的四边形是菱形. 一、菱形的判定定理 通过探究，容易得到：对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形. 活动1: 用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，木条端点围成的四边形是平行四边形吗？什么时候变成菱形？ 验证活动1 平行四边形 菱形 A B C O D 已知：右图中四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD， ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理 证明猜想1 定理运用格式： ∵四边形ABCD是平行四边形, 又∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形. (对角线互相垂直的平行四边形是菱形) A B C O D 练一练 判断对错： （1）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （ ） （2）对角线垂直且平分的四边形是菱形 。 （ ） （3）对角线互相平分的平行四边形是菱形。 （ ） （4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。 （ ） × × × √ 小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点. 活动2：已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AB为菱形的一条对角线？ C A B D 思考：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？ 2.怎么验证四边形ABCD是菱形？ 【提示】AB = BC=CD =AD 验证活动2 证明：∵AB=BC=CD=AD， ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）. 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形 (菱形的定义). A B C D 已知：右图中四边形ABCD，AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 四边相等的四边形是菱形. 定理 证明猜想2 定理的运用格式： ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形 (四边相等的四边形为菱形). A B C D 证明：在△AOB中， ∵AB= , OA=2,OB=1. ∴AB2=AO2+OB2. ∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 例1：已知：如右图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, AB= ,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD是菱形. A B C O D 典例精析 2 例2：已知：如图,在△ABC, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形. A C B E D F 证明： ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED, ∴CD=ED=CF=EF. ∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）. 1 四条边都相等 菱形 一组邻边相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对边分别平行或相等 四边形 平行四边形 两组对角分别相等 归纳总结 拓展：如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD. 求证：四边形ADCE是菱形. B C A D O E M N 【分析】 根据垂直平分线的性质可得AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90° ； 再结合CE∥AB，可证得△ADO≌△CEO，从而根据由一组对边平行且相等，知四边形ADCE是平行四边形； 再结合∠AOD=90°，可证得四边形ADCE为菱形． 证明：∵MN是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°. ∵CE∥AB， ∴∠DAO=∠ECO. ∴△ADO≌△CEO（ASA）． ∴AD=CE，OD=OE. ∵OD=OE，OA=OC， ∴四边形ADCE是平行四边形. 又∵∠AOD=90°， ∴AC⊥DE. ∴四边形ADCE是菱形． A D O E M C B N 做一做：如图，请用两种方法表示菱形ABCD的面积. 方法一：菱形ABCD的面积=底×高 =CD·BE. A B C O D E 方法二：菱形ABCD的面积 =4S△ABO =4× ×AO×BO = ×AC×BD. 讲授新课 一、菱形的面积 A B D C a h (1)S = a·h. (2)S = AC·DB. O 菱形的面积计算公式： 总结归纳 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h. 典例精析 方法总结：菱形的面积计算有如下方法： (1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积； (2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)； (3)两条对角线长度乘积的一半． 解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12， ∴ ∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120. 又∵菱形两组对边的距离相等， ∴S菱形ABCD＝AB•h＝13h， 即13h＝120，得 如图两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？ 做一做 平行四边形 二、菱形的性质与判定的综合问题 如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么图形？为什么？ 菱形 典例精析 例3.如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形. (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． (1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形. (2)解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为 ， ∴菱形的面积为 . 方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形． 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 定理1：对角线互相垂直的平行四边形 是菱形. 定理2：四边相等的四边形是菱形. 菱形的判定 定义 定理 课堂小结 $