第25章 一元二次方程 学业质量评价(配套课件)-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年九年级上册数学同步课时练(人教版·新教材)

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法及应用，通过选择、填空、解答题的题型分类，将定义、根的判别式、实际应用等核心内容串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于融入数学史（杨辉垛积问题）和新定义“降次法”，培养学生数学眼光与思维，设计开放性设问和几何动点等分层练习，助力教师实施个性化复习，有效巩固知识并提升应用能力。

数 学 1 第二十五章学业质量评价 2 一、选择题（每小题3分，共30分.）下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的 1.下列方程是关于 的一元二次方程的是( ) C A. B. C. D. 2.方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ( ) C A.1，3，5 B.1，3， C.1，， D.，3， 3.解一元二次方程 时，可用配方法将其变形为( ) A A. B. C. D. 3 4.我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪 淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小 个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为： “周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字 的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为 ，则根据题意 可列方程为( ) B A. B. C. D. 5.关于的方程的一个解是，则 的值为 ( ) B A.2或4 B.0或4 C.或0 D. 或2 4 6.[2026河师大附中月考]若关于的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C.且 D.且 7.[2025云南]某书店今年3月份盈利6 000元，5月份盈利6 200元．设该书 店每月盈利的平均增长率为 ．根据题意，下列方程正确的是( ) A A. B. C. D. 5 8.数学史 [教材P28 T12改编]如图是南宋数学家杨辉研究的 垛积问题中“圭垛”的示意图.如果将这个“圭垛”继续堆积下去， 即第行有束.若设从上往下数前 行的束数和为300，则下 列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 9.[2025温州期中]若关于的一元二次方程 有一 根为，则关于的一元二次方程 必有一 根为( ) B A. B. C. D. 6 10.新定义 将关于的一元二次方程变形为 ， 就可以将表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，如 ，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法 可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知 ，且 ，则 的值为( ) C A. B. C. D. 7 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.开放性设问 请填写一个常数，使得关于的方程 _________ _______________ 有两个不相等的实数根. 12.已知方程是关于 的一元二次方程，则 ____. 13.若一元二次方程的两个实数根分别为， ，则 ____. 2 （答案不唯一） 11 14.某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干 上长出个支干，每个支干上再长出 个小分支．若在1个主干上,主干、 支干和小分支的总数是21，则 的值为___. 4 8 15.如图，在等腰直角三角形中， ， .在矩形 中，，.在矩形的左侧， 与在同一条直线上，且点与点重合.现以 的速度沿直 线向右运动（矩形保持不动）.若运动时， 与矩形 重叠的面积为，则 的值为_______. 7或18 9 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.用适当的方法解下列方程. （1）（5分） . 解：移项，得 . 因式分解，得 ， 即 . 或 . ， .（5分） 10 （2）（5分） . 解：，， , . 原方程无实数根.（5分） 11 17.（9分）已知关于的方程 . （1）求证：无论 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 解：证明： ， 无论 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.（4分） （2）若该方程的一个根为1，求 的值及该方程的另一个根. 解：当时， ， 解得 .（6分） 原方程为 ， 解得， . 该方程的另一个根为 .（9分） 12 18.（9分）已知关于的一元二次方程 有两个实数根. （1）求 的取值范围. 解：根据题意，得 ， 解得 .（3分） 13 （2）若方程的两根满足，求 的值. 解：根据题意，得， .（4分） ， . . ， 解得， （不符合题意，舍去）.（8分） 的值是 .（9分） 14 19.（9分）“直播带货”已经成为信息社会中商家的 一种新型促销手段.某主播小佳在直播间销售一种 进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品 每天的销售量（件）与销售单价 （元）满足一 次函数关系，它们的关系如图所示. （1）求与 之间的函数关系式. 解：设与之间的函数关系式为 . 把和代入 ，得 解得 与之间的函数关系式为 .（4分） 15 （2）若小佳想每天获得的销售利润为750元，又要 尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 解：设小佳每天获得的销售利润为 元. ． 要尽可能地减少库存， . 答：应将销售单价定为15元．（9分） 由题意，得 ． ，解得 ， 16 20.（9分）阅读下面的材料，完成相应任务. 解方程： . 解：设 ， 则原方程可化为 ， 解得, . 当时，，解得 ； 当时，，解得 . 综上所述，原方程的解为, . 上述解法称为“整体换元法”. 17 请仿照上面的材料，运用“整体换元法”解下列方程. （1） . 解：设 ， 则原方程可化为 ， 解得, .（2分） 当时，，解得 ； 当时， ，此方程无解. 综上所述，原方程的解为, .（4分） 18 （2） . 解：设，则原方程可化为 ， 解得, . 当时，,,解得 ； 当时，,,解得 . 综上所述，原方程的解为,,, .（9分） 19 21.（9分）已知关于的一元二次方程 ， 其中，，分别为 三边的长. （1）如果是方程的一个根，试判断 的形状，并说明理由. 解： 是等腰三角形.（1分） 理由：是方程的一个根， . 为等腰三角形.（3分） 20 （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由. 解： 为直角三角形.（4分） 理由： 方程有两个相等的实数根， ，整理，得 ， 即 . 为直角三角形.（6分） 21 （3）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 解：若为等边三角形，则 可转化为 . ，解得， .（9分） 22 22.（10分）如图，学校为了让学生观察植物 的生长习性，在校区搭建了两个实验田.搭建 要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长 为），其他的边用总长 的不锈钢栅 （1）实验田的长为__________________.（用含 的代数式表示， 并化为最简） （2分） 栏围成（不计损耗），左右两侧各开一个 的出口后，不锈钢栅栏的 形状如“山”字形.设实验田的宽为 .（栅栏的厚度忽略不计） 23 （2）若矩形实验田的面积为 ， 求实验田的长和宽 . 解：根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得， . 当时， ，不符合题意，舍去； 当时， ，符合题意. 答：实验田的长为，宽为 . （5分） 24 （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用 现有栅栏对实验田进行扩建，请问能围成面积 为 的实验田吗？如果能，请你给出设 计方案；如果不能，请说明理由. 解：不能围成面积为 的实验田.（6分） 理由：根据题意，得 ， 整理，得 . ， 原方程没有实数根. 不能围成面积为 的实验田.（10分） 25 23.（10分）如图，在中， ，， ， 点沿边以的速度从点向点移动，到点处停止，点 沿边 以的速度从点向点移动，到点 处停止. （1）如果点，分别从点，同时出发，经过后， ______ ________ . 8 （2分） 26 （2）如果点从点先出发，点再从点出发，则点 移动几秒后， ？ 解：设点移动后，，则点移动的时间为 . ,, . 根据题意，得，解得 . 答：点移动后， .（5分） 27 （3）如果点，分别从点， 同时出发，经过几秒 后， ？ 解：设经过后，，则 , ，， . 在中，根据勾股定理，得 . ，整理，得 ， 解得， （不符合题意，舍去）. 答：经过后， .（10分） 28 $