微专题2 与正方形有关的五个常考模型(配套课件)-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年九年级上册数学同步课时练(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦正方形的五个常考模型，通过模型展示导入，从正方形性质出发，逐步呈现对角线、旋转、十字、半角及过对角线交点直角模型的应用，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于以模型化教学为核心，通过几何直观呈现模型结构，结合推理能力引导证明过程，如半角模型用旋转法培养创新意识，十字模型通过垂直关系推导线段相等。学生能形成系统解题思路，教师可提升教学效率。

数 学 1 第一章 特殊平行四边形 微专题2 与正方形有关的五个常考模型 2 正方形中的对称模型 模型展示 如图,已知四边形是正方形,是对角线上任意一点，则 。 3 1.如图，在正方形中，是对角线上一点（不与点， 重合）， 过点作于点，于点，连接， 。 4 （1）求证： 。 5 解：证明：连接， ，如解图所示。 四边形 是正方形， 垂直平分， 。 。 ， ， 。 四边形 是矩形。 。 。 6 （2）试判断与 的位置关系，并证明。 解： 。证明如下： 延长交于点，延长交于点 ，如解图所示。 四边形 是正方形， , 。 7 ,,即 。 , 。 由（1），可知 ， 。 。 ， ， 。 。 正方形中的一线三垂直模型 模型展示 如图,已知正方形的一组邻边, , 则 。 9 2.如图，过正方形的顶点作直线 ，分别过 点，作的垂线，垂足为，。若 ， ，则 的长为( ) C A.1 B.2 C. D.4 10 3.如图，在中， ， 。正方形的顶点，， 分别 在的边,,上。若 ，求正方形 的边长。 11 解：过点作于点 ，如解图所示。 ， ， 是等腰直角三角形。 。 ， 是等腰直角三角形。 。 四边形 是正方形， ， 。 。 12 又 ， 。 在和 中， ， ， ， 。 。 。 。 在中，， ， 。 即正方形的边长为 。 正方形中的十字模型 模型展示 如图,在正方形 中,分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段 （图1中线段与,图2中线段与,图3中线段与 ）。满足:若 对应垂直,则长度相等。 15 4.如图，在正方形中，，分别是边， 上的点，且 ，与相交于点 ，则下列结论错误的是( ) C A. B. C. D. 16 5.如图，将边长为的正方形纸片 折叠，使得 点落在边上的点处，折痕为。若 的长为 ，则的长为______ 。 17 6.探究性设问 【模型感知】 如图1，在正方形中，为边上一点（点 不与点 ，重合），连接，过点作，交于点，则与 的 数量关系是____________。 。 18 【问题探究】 如图2，在正方形中，，分别为边， 上的 点（点，不与正方形的顶点重合），连接，作 的垂线分别交边 ，于点，，垂足为。若为的中点，， ，求 的长。 19 解：分别过点，作， ，分别交 ，于点， ，如解图所示。 四边形 是正方形， ， ， 。 四边形 是平行四边形。 ， 。 ，， 。 同理，四边形 是平行四边形， 20 。 ,， ， 。 。 ， 。 又 , 。 。 为的中点， 。 。 。 。 【知识应用】 如图3，在正方形中，点，分别在， 上， ，，相交于点。若 ，图中阴影部分的面积与正 方形的面积之比为，则的面积为__， 的周长为 _________。 23 正方形中的半角模型 模型展示 （1）如图1,在正方形 中,若 ,则 ; 的周长为正方形 周 长的一半;平分,平分 。 24 （2）如图2,在正方形中,若 ，则平分 ； 。 25 7.探究性设问 通过类比联想，引申拓展研 究典型题目，可达到解一题知一类的目的， 请根据下面案例，将过程补充完整。 【原题】如图1，点， 分别在正方形 的边，上， ，连接，试猜想，， 之间的数量关系。#1.1 26 【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋 转”“截长补短”均是常用的方法。#1.1.1 27 （1）思路梳理 A.旋转法：把绕点逆时针旋转 至 ，可使与重合，则 ， ，可以得到 ,即，， 三点共线 易证 _______，故， ， 之间的数量关系为 _______________ B.截长补短法：延长至点 ，使得 ，由 ， ，即 ，可以得到 28 （2）类比引申 如图2，点，分别在正方形的边， 的延长线上， 。连接，试猜想，， 之间的数量关系，并给出 证明。 30 解： 。 证明如下： ， ， 把绕点逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，如解图所示。 ， 点，， 在一条直线上。 ， ，， 。 31 又 ， ， 。 。 又 , 。 。 ， 。 正方形中过对角线交点的直角问题 模型展示 如图，在正方形中， 为两条对角线的交点， 的两边分别与,边交于点, 且 ,则 ， ； 是等腰直角三角形； ； 。 33 8.如图，在正方形中，是对角线， 的 交点，点，分别在边， 上，且 。若，，则 的长为 _ ___。 34 9.如图，正方形的对角线和 相交于 点，是正方形的一个顶点， 交 于点，交于点 。 35 （1）求证： 。 解：证明： 四边形和四边形 都 是正方形， ， ， 。 ， 。 。 。 36 （2）将正方形绕点 转动，两个正方 形重叠部分为四边形，则 __ 。请证明你的结论。 证明如下： ， 。 。 37 （3）试判断，， 之间的数量关系，并说明理由。 38 解： 。 理由如下： 由（1），知 ， 。 易知 是等腰直角三角形， 则 。 , ， 。 39 $