21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案围绕一元二次方程的根与系数的关系展开，通过复习方程的根及判别式导入新知，构建从基础应用（求代数式值、参数值）到综合拓展的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料分层设计基础达标、能力提升、思维拓展模块，结合中考真题强化应用，易错点提示培养严谨思维，思维拓展的阅读材料应用提升模型意识与创新意识，助力学生发展运算能力和推理能力，适合自主学习与教学评估。

21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 01基础达标 知识点一 利用根与系数的关系求代数式的值 1. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　） A. 3 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣3 【变式】 3. 设，是一元二次方程的两个实数根，则________． （2025·浙江） 4. 已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则_____________． 5. 设，是方程的两个根，不解方程，求下列各式的值： （1）； （2）． 知识点二 利用根与系数关系求参数值 6. 已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是【 】 A. a=﹣3，b=1 B. a=3，b=1 C. ，b=﹣1 D. ，b=1 7. 已知是一元二次方程的一个根，求它的另一个根及的值． 易错点 忽视判断一元二次方程存在实数根的必备条件 8. 关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或4 02能力提升 9. 已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，，则（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的方程的两个根是﹣2和1，则的值为（ ） A. ﹣8 B. 8 C. 16 D. ﹣16 11. 方程的根的情况是（ ） A. 两实根之和为-8 B. 两实根之积为17 C. 有两个不相等实根 D. 没有实数根 12. 平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1＝0的两根，则该平行四边形的周长是__． （2025・青海） 13. 在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程________． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求的值． （2025·湖北） 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 03思维拓展 16. 阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道：m与n的和，m与n的积．根据上述材料，解决以下问题： （1）【直接应用】已知实数a，b满足：，，且，则________，________，________． （2）【创新应用】已知实数s，t满足：，，且，求的值． 21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 01基础达标 知识点一 利用根与系数的关系求代数式的值 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【详解】由根与系数的关系可知，以，为根的一元二次方程是， 故选A． 考点：根与系数的关系． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案． 【详解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根， ∴α+β=﹣1，αβ=﹣2， ∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1， 故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键． 【变式】 【3题答案】 【答案】2020 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，可将所求代数式化为，再根据根与系数的关系得到，利用整体代入的方法计算即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的根， . . . 是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得. . （2025·浙江） 【4题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得+、，代入求解即可． 【详解】解：∵实数、满足， ∴a﹣2=0，b+3=0， 解得：a=2，b=﹣3， ∴， ∵一元二次方程的两个实数根分别为、， ∴+=2，=﹣3， ∴=， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键． 【5题答案】 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）（2）先利用韦达定理求出两根之和与两根之积，再将所求式子用它们表示，代入计算即可． 【小问1详解】 解：已知是方程的两个根 由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得： ，  原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 知识点二 利用根与系数关系求参数值 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，∴x1+x2=﹣2a，x1x2=b， ∵x1+x2=3，x1x2=1，∴﹣2a=3，b=1，解得，b=1．故选D． 【7题答案】 【答案】它的另一个根是，的值是． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 利用根与系数的关系来求方程的另一根；把代入已知方程求得的值． 【详解】解：设方程的另一根为，则 ， 解得． 把代入，得 ， 解得． 综上所述，它的另一个根是，c的值是． 易错点 忽视判断一元二次方程存在实数根的必备条件 【8题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值． 【详解】解：∵方程有两个实数根，， ∴， ， ∵， ∴， 整理得，， 解得，，， 若使有实数根，则， 解得，， 所以， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键． 02能力提升 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意及一元二次方程根的判别式可得，然后再根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，， ∴，解得：， ∴由韦达定理可得：， ∴只有D选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 【10题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵关于x的方程的两个根是﹣2和1， ∴ =﹣2+1=-1， =﹣2 ， ∴ ， ∴=（﹣4）2=16． 故选：C． 【11题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题可利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，计算判别式的值后和比较即可得出结论. 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式为. 方程中，，， 方程没有实数根. 【12题答案】 【答案】14 【解析】 【分析】根据题意及一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】解：∵平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1＝0的两根， ∴平行四边形的两条邻边的长的和是7， 故该平行四边形的周长是7×2＝14． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及平行四边形的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及平行四边形的性质是解题的关键． （2025・青海） 【13题答案】 【答案】x2﹣6x+6＝0 【解析】 【分析】根据根与系数的关系分别求出b和c即可． 【详解】解：根据题意得2×3＝c， 1+5＝﹣b，解得b＝﹣6，c＝6， 所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0． 故答案为：x2﹣6x+6＝0． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，． 【14题答案】 【答案】（1）k>-1；（2）1 【解析】 【分析】（1）根据∆>0列不等式求解即可； （2）根据根与系数的关系求出a+b、ab的值，然后代入所给代数式计算即可. 【详解】解：（1）由题意得 ∆=4+4k>0， ∴k>-1； （2）∵a+b=-2，ab=-k， ∴ = = = =1. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，． （2025·湖北） 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）的值为1或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 03思维拓展 【16题答案】 【答案】（1）5，1，23 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系结合完全平方公式的变形公式即可解决问题； （2）根据题意，将和看成方程的两个根，再利用根与系数的关系即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵实数满足：，，且， 是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 【小问2详解】 解：∵实数满足：，，且， 由可得， ∴和可看成方程的两个根， ，， 则，即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $