第16讲 二次函数的实际应用(精讲本)-【最新中考】2026年河南省中考数学总复习讲解课件（人教版）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数实际应用核心考点，对接新课标“求最值及解决实际问题”要求，分析中考10分考查权重，归纳物体运动、抛物线形、最值问题三大常考角度，每个角度结合河南真题及模拟题梳理解题步骤，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+素养培养”模式，如2024河南物体运动题通过顶点公式求最大高度时间，培养数学思维；抛物线形问题用顶点式设解析式，强化数学语言表达。提供“梳理知识建体系”板块，帮助学生掌握自变量范围定最值技巧，教师可依此开展专题训练，提升中考得分率。

Hui" 2026河南课标版 用最新中考考最好成绩 洪文教育 HONGWEN EDUCATION 最新中考 总复习 数学 9u" 洪文教育 第三章函数 第16讲二次函数的实际应用 最新中考总复习·数学 退出 梳理知识·建体系 Pu TM 洪文教育 1.根据题意，将已知条件转化为点的坐标 抛物线2.若未给出抛物线的解析式，则根据已知条件设出恰当的解析式，将已知条件转化的 形问题 点的坐标代入，求出解析式 二次函数 3.利用二次函数的性质求解 的实际应 1.根据题意列出二次函数解析式，并根据题意及自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 用的常见 2.将二次函数解析式化为顶点式，然后检查顶点的横坐标是否在自变量的取值范围之内.若 类型及解 最值 题方法 在，则函数在顶点处取最大值或最小值（若a>0,则有最小值，；若a<0,则有最大 4a 问题 值4c二公)；若不在，则需根据自变量的取值范围和函数的增减性确定最值（常结合自变 Aa 量取值范围的两端点处对应的函数值大小来确定) 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 中考预测·谈趋势 主要考查物体运动高度与时间的关系问题、抛物线形问题、最值问题（通常为利润问题），分值 为10分. 新课标修订增加了以下内容：会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能 解决相应的实际问题. 预计2026年中考将在解答题中结合方程（组）、不等式考查二次函数的实际应用. © 最新中考总复习·数学 退出 聚焦河南·明规律 9ui" 洪文教育 ◇考点 一二次函数的实际应用 角度一物体运动高度与时间的关系问题 例1(2024·河南22题·10分)从地面竖直向 上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系 式h=-5t2+vot,其中t(s)是物体运动的时 间，o(m/s)是物体被发射时的速度.社团活 动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上 发射小球 (1)小球被发射后 s时离地面的高 度最大（用含o的式子表示）. 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 (2)若小球离地面的最大高度为20m,求小 球被发射时的速度， (3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的 高度有两次与实验楼的高度相同.小明 说：“这两次间隔的时间为3s.”已知实 验楼高15m,请判断他的说法是否正确， 并说明理由. 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 【思路分析】(1)根据二次函数的性质，可 得当1= 2时，离地面的高度最大.(2)取 0h=20,代入所给的关系式，即可求得 t= 小球被发射时的速度.(3)把所给关系式中的 n换成（2)中求得的速度20，取h=15,求得 相应的时间，相减即为两次间隔的时间，即可 判断小明的说法是否正确. 最新中考总复习·数学 退出 Hu 洪文教育 【自主解答】 解：18 (3分)》 © 最新中考总复习·数学 退出 Hu" 洪文教育 (3)小明的说法不正确， (7分) 理由如下： 由(2)，得h=-5t2+20t 当h=15时，15=-5t+20t, 解得t1=1,t2=3. (9分) .3-1=2(s), ∴.小明的说法不正确. (10分)》 © 最新中考总复习·数学 退出 角度二 抛物线形问题 u 洪文教育 例2(2025·郑州二模·10分)某公园计划要 建造一个直径为20m的圆形喷水池，在喷水 池的周边安装一圈喷水头，喷出的水柱为抛 物线形状，且喷出的水柱距池中心4m处达 到最高，高度为6m.如图，以水平方向为x 轴，喷水池的中心为原点建立平面直角坐 标系 6 4 10x 最新中考总复习·数学 退出 (1)求抛物线的表达式 9u 洪文教育 (2)若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使 各个方向喷出的水柱在此汇合，则这个装 饰物应设计为多高？ (3)由于场地受限，需减小圆形喷水池的直 径，但为了美观，仍需使喷出的水柱距池 中心4m处达到最高，且高度不变，此时， 抛物线的表达式为y=a2x2+b2x+ c2(2≠0)，若(1)中抛物线表达式为y= a1x2+b1x+C1(a1≠0)，则a2 01, 62 b1,c2 C1.（填“>” “<”或“=”)》 最新中考总复习·数学 退出 Hui" 洪文教育 【思路分析】(1)由题意可设抛物线的表达 式为y=a(x-4)2+6,将(10,0)代入求出a 的值即可.（2)求出x=0时对应的y值即可. y (3)由“喷水池直径减小”及“抛物线顶点不 y=a x2+bx+c 变”可知，抛物线的开口变小，即|a|增大，所 以|a2|>|a1I,结合a2<0,a1<0可得a2< 4 10 ①由题可知，三4始终成立，故b=-8a,西 y=ax2+bx+c2 -8<0,可知b随a的减小而增大，故b2>b 画出大致图象如图所示，由图象可知，C2<C 最新中考总复习·数学 退出 Hu 洪文教育 【自主解答】 解：(1)由题意，得抛物线的顶点坐标为(4,6)， ∴.设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+6. 将(10,0)代入y=a(x-4)2+6, 得0=a×(10-4)2+6,a=- -6 “抛物线的表达式为y=-石(x-4}+6(4分) 最新中考总复习·数学 退出 7u 洪文教育 (2)当x=0时y=-名(0-4)2+6=9。 ·这个装饰物应设计为9m高。 (7分) © 最新中考总复习·数学 退出 9ui" 洪文教育 角度三 最值问题 例3(2025·三门峡模拟·10分)某班同学前 往养鹅大户王大伯家开展调研活动.根据王 大伯往年的饲养经验，他们发现：饲养A种白 鹅获得的利润y,(万元)与投资金额x(万元) 的函数关系式为y1=ax,饲养B种白鹅获得 的利润y,(万元)与投资金额x(万元)的函数 关系式为y2=-3ax2+bx,画出两函数的图 象如图所示. (1)求函数y1,y2的表达式。 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 (2)王大伯计划明年投资10万元饲养A,B 两种白鹅.根据以往经验，如何分配资金， 可使得总利润最大？最大总利润是多少？ y/万元 5 0 10x/万元 © 最新中考总复习·数学 退出 9u 洪文教育 【思路分析】(1)将(10,5)代入y1=ax2可 得a的值.再将(10,5)及所求a的值代入 y2=-3ax2+bx求解.(2)设投资m(0≤m≤ 10)万元饲养A种白鹅，则投资(10-m)万元 饲养B种白鹅，总利润为y元.结合y=y1+ y2及(1)种所求两个函数的表达式，可得y关 于m的函数关系式，再根据二次函数的性质 进行求解 最新中考总复习·数学 退出 Hu 洪文教育 【自主解答】 解：(1)由函数图象，得抛物线y1=ax,y2=-3ax2+ bx均过点(10,5)， .5=100a,5=-300a+10b, 0,6=2 .a= 2 (4分) © 最新中考总复习·数学 退出 (2)设投资m(0≤m≤10)万元饲养A种白鹅，则 9ui" 投资(10-m)万元饲养B种白天鹅，总利润为 洪文教育 y万元， 由题意，得y=+%=六㎡+[-易(10-m)2+ 2(10-m)], 墓理，得y=0+m+5=0m-5)P+7.5 :-0<0,且0≤m≤10， ∴.当m=5时，y有最大值，最大值为7.5， 此时10-m=5. 答：当投资5万元饲养A种白鹅，5万元饲养B种白 鹅时，可使得总利润最大，最大总利润为7.5万元 (10分) 最新中考总复习·数学 退出 课堂检测·回本质 u 洪文教育 1.（2025·甘肃·3分)如图，一个圆形喷水池 的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM.喷 头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相 y/m 同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐 标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离 M x(m)之间的关系式是y=-2+2x+7(x≥ x/m 0),则水流喷出的最大高度是 A.3 m B.2.75m C.2 m D.1.75m 最新中考总复习·数学 退出 9u 洪文教育 2.（2025·许昌二模·3分)如图，运动员投掷 标枪时，标枪的运动轨迹可看作抛物线的一 部分，以地面所在直线为x轴，过最高点C且 垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐 标系，则该标枪运动轨迹的函数关系式为y= -0.011x2+9.9,已知运动员出手点A距离 最高点C的水平距离为27m,则该运动员投 掷标枪的水平距离为 m. 0 B x/m 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 3.（2025·安阳二模·10分)某小型汽车刹车 后行驶的距离s(m)关于行驶时间t(s)的函 数表达式为s=-6t2+ot,vo是刹车前的行驶 速度（假设开始刹车前小型汽车匀速行驶）. (1)小型汽车完全停下来所用的时间为 s;(用含vo的式子表示) 解：(1)12 (3分) 最新中考总复习·数学 退出 u (2)若小型汽车开始刹车后前进5m停下， 洪文教育 8 求开始刹车前小型汽车的行驶速度； 时，s= 75 (2)由题意得，当t= 12 8 v075 )2+·12=8 .-6(12 ∴.vo=15(负值已舍)， 即开始刹车前小型汽车的行驶速度为15/s. (6分) 最新中考总复习·数学 退出 (3)某段公路对小型汽车限速60km/h,驾驶 9u 洪文教育 员发现前方有交通事故后紧急刹车，小 型汽车行驶12m完全停下，从紧急刹车 到小型汽车完全停下所用的时间为3s (其他因素忽略不计).请判断该车是否 超速，并说明理由. (3)超速. (7分) 理由：由题意得，-6×32+30=12， 解得o=22. .:22m/s=79.2km/h>60km/h, 该车超速 (10分) 最新中考总复习·数学 退出 9u 洪文教育 4.（2023·河南22题·10分)小林同学不仅是 一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知 识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对 击球线路的分析. 如图，在平面直角坐标系中，点A,C在x轴 上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m, CA=2m,击球点P在y轴上.若选择扣球，羽 毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似 满足一次函数关系y=-0.4x+2.8;若选择 吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离 x(m)近似满足二次函数关系y=a(x-1)2+3.2. 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 (1)求点P的坐标和a的值； (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能 使球过网，要使球的落地点到C点的距 离更近，请通过计算判断应选择哪种击 球方式 ◇ y=a(x-1)2+3.2 y=-0.4x+2.8,B 0 A 最新中考总复习·数学 退出 9u 洪文教育 解：(1)依题意知，点P为直线y=-0.4x+2.8与y 轴的交点 当x=0时，y=-0.4×0+2.8=2.8, ∴.点P的坐标为(0,2.8) (2分) :抛物线y=a(x-1)2+3.2经过点P, .2.8=a(0-1)2+3.2, 解得a=-0.4. (5分)》 最新中考总复习·数学 退出 (2)0A=3,CA=2, 9ui" 洪文教育 ∴.0C=5. 若选择扣球，当y=0时，得-0.4x+2.8=0, 解得x=7, 此时，球的落地点到C点的距离为7-5=2.(7分) 若选择吊球，由(1)知，y=-0.4(x-1)2+3.2. 当y=0时，得-0.4(x-1)2+3.2=0, 解得x1=2√2+1，x2=-22+1(舍去)， 此时球的落地点到C点的距离为5-(22+1)= 4-22. (9分) .…4-22<2, .应选择吊球. (10分)》 最新中考总复习·数学 退出 u 【综合实践】 洪文教育 5.（2025·南阳一模·10分)根据以下素材，完 成探究任务. 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”， 其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分 【素材2】如图2，防守方的护城墙BD垂直于 水平地面AB,墙高BD=10m,进攻方把“发 石车”放置在水平地面上距B处90m的A 处，石块从A处竖直方向上的C处被投出，当 石块在空中飞行到与AC的水平距离为50m 时，石块离水平地面AB的高度最高，最高高度 为27m.已知AC=2m 最新中考总复习·数学 退出 9u" 洪文教育 D B 图1 图2 【解决问题】 (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线 (石块运动轨迹)的表达式； (2)进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？ 若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻 方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请 说明理由， 最新中考总复习·数学 退出 解：(1)如图，以点A为原点，AB所在直线为x轴建 u 洪文教育 立平面直角坐标系， D A(O) B x 则抛物线的顶点坐标为(50,27)， ∴.设抛物线的表达式为y=a(x-50)2+27,(3分)》 将C(0,2)代入，得2=a(0-50)2+27, 即2=2500a+27 解得a=-0.01, ∴.抛物线的表达式为y=-0.01(x-50)2+27.(6分) 最新中考总复习·数学 退出 Hu 洪文教育 (2)能 (7分) 由题意知，D(90,10). 令x=90,则y=-0.01(90-50)2+27=11>10, ∴.进攻方的石块能飞进防守方城墙 (9分) 11-10=1(m), ∴.城墙应加建1m以上，才能让进攻方的石块飞不 进防守方的城墙： (10分) © 最新中考总复习·数学 退出