第15讲 二次函数的解析式(精讲本)-【最新中考】2026年河南省中考数学总复习讲解课件（人教版）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数核心考点，覆盖解析式确定、图象平移及与一元二次方程关系，对接新课标新增内容，结合河南中考趋势分析，明确3-16分考查权重，通过知识体系梳理、三种解析式形式及步骤归纳、平移规律表格呈现，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于河南中考真题及模拟题训练，如2025洛阳伊川模拟题示范顶点式应用，结合待定系数法、平移规律口诀培养数学思维的推理与运算能力，通过实际问题（如修建小路面积）强化数学语言的模型意识，帮助学生掌握答题技巧提高得分率，为教师提供系统复习指导，助力中考冲刺。

Hui" 2026河南课标版 用最新中考考最好成绩 洪文教育 HONGWEN EDUCATION 最新中考 总复习 数学 9u" 洪文教育 第三章函数 第15讲二次函数的解析式 最新中考总复习·数学 退出 梳理知识·建体系 Pu TM 洪文教育 1.一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，通常在已知抛物线上任意三点时使用 二次函数 2.顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数，a≠0)，其中(h,k)是抛物线的顶点坐标， 确定 解析式的 通常在已知抛物线的顶点（或对称轴、最值）+其他点时使用 二次 三种形式 3.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2是常数，且a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴 函数 两交点的横坐标，通常在已知抛物线与x轴的两个交点+其他任意一点时使用 的解 1. 设：根据已知条件，设出合适的二次函数解析式 确定二次 析式 2.代：将点的坐标代入所设解析式，得到关于待定系数的方程（组） 函数解析 3.解：解方程（组），求得待定系数的值 式的步骤 4.还原：将所求待定系数的值代入所设解析式中 © 最新中考总复习·数学 退出 TM 洪文教育 r(1)将二次函数解析式化为顶点式y=a(x-)2+k,确定其顶点的坐标 1.平移步骤 1(2)保持二次函数图象的形状不变，即α的值不变，平移顶点即可 平移前的解析式 平移方向及距离(m>0) 平移后的解析式 口诀 二次函 向左平移m个单位长度 y=a(x-h +m 2+k 左“+” 数图象{2.平移 向右平移m个单位长度 y=a(x-h -m)2+k 右“、” 的平移 规律 y=a(x-h)2+h 向上平移m个单位长度 y=a(x-h)2+h +m 上“+” 向下平移m个单位长度 y=a(x-h)2+h -m 下“-” 【敲黑板】 一般式化为顶点式后，根据平移规律，左（右）平移给x加（减）平移单位，上（下） 平移给等号右边整体加（减）平移单位 最新中考总复习·数学 退出 9u 洪文教育 二次函〔1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的 数与一 交点的① 元二次2.抛物线与x轴有两个交点，方程有两个② 的实数根台b2-4ac③ 0 方程的3.抛物线与x轴有一个交点，方程有两个④ 的实数根台b2-4ac⑤ 0 关系4.抛物线与x轴无交点，方程⑥ 实数根台b2-4ac⑦ 0 © 最新中考总复习·数学 退出 9u" 洪文教育 中考预测·谈趋势 考查待定系数法确定二次函数的解析式（通常在二次函数综合题里出现）、二次函数图象的平 移，分值为3~16分.近年河南中考对二次函数的考查难度要求呈下降趋势 新课标修订增加了以下内容：知道二次函数和一元二次方程的关系， 预计2026年中考还会考查以上内容，一般是以选择或填空题的形式考查二次函数图象的平 移，以解答题的形式考查二次函数解析式的确定（在二次函数综合题里出现） © 最新中考总复习·数学 退出 聚焦河南·明规律 9u" 洪文教育 ◇考点1 二次函数解析式的确定及其图象的 平移 例1(2025·洛阳伊川模拟·10分)已知抛物 线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,-1),且抛 物线过点B(0,3). (1)求抛物线的解析式； © 最新中考总复习·数学 退出 Hu 洪文教育 (2)将抛物线y=ax2+bx+c向右平移m(m> 0)个单位长度，得到一个新抛物线，对于 新抛物线对应的二次函数，当-1<x<3 时，y随x的增大而减小；当4<x<5时， y随x的增大而增大，求m的取值范围. (3)点P是抛物线上任意一点，其横坐标为 n,记抛物线上点P左侧的部分为图象G (含点P).若图象G的最低点的纵坐标 为3-n,请直接写出n的值. 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 【思路分析】（1)由题意可设顶点式，再利 用待定系数法求解即可.(2)由“平移规律” 确定平移后所得抛物线的解析式，再结合抛 物线的开口方向、对称轴及二次函数的增减 性确定m的取值范围.(3)分n≥2，n<2两 种情况，在每种情况下，根据二次函数的增减 性确定最值，列出关于的方程并求解即可. 最新中考总复习·数学 退出 9u 洪文教育 【自主解答】 解：(1)·抛物线的顶点是A(2,-1), ∴.设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-1, 把B(0,3)代入，得4a-1=3,解得a=1， ∴.抛物线的解析式为y=(x-2)2-1(或写 为y=x2-4x+3). (3分)》 © 最新中考总复习·数学 退出 Hu" 洪文教育 (2)由题意，得平移后所得抛物线的解析式为 y=(x-2-m)2-1,1>0, ∴.该抛物线的开口向上，对称轴为直线x= 2+m. .:当-1<x<3时，y随x的增大而减小， .2+m≥3，.m≥1. :当4<x<5时，y随x的增大而增大， ∴.2+m≤4，∴.m≤2 综上所述，1≤m≤2. (8分)】 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 @高分技法 设二次函数解析式的方法 若给定了二次函数的解析式，只需根据 相应条件，列出关于未知系数的方程（组）并 求解即可.若未给定二次函数的解析式，则需 先设出二次函数的解析式。已知任意三点坐 标，可设为y=ax2+bx+c(a≠0)，其他情况 需要根据条件设出恰当的二次函数解析式， 常见的几种设法如下： 最新中考总复习·数学 退出 9u 洪文教育 1.顶点在原点，可设为y=ax2,在x轴上，可 设为y=a(x-h)2. 2.对称轴是y轴，可设为y=ax2+c. 3.抛物线过原点，可设为y=ax2+bx. 4.已知顶，点(h,k),可设为y=a(x-h)2+k 5.已知抛物线与x轴的两个交点分别为，点(x1, 0),（x2,0),可设为y=a(x-x1)(x-x2). 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 考点2二次函数与一元二次方程的关系 例2(2025·驻马店上蔡模拟·10分)已知抛 物线y=ax2-2ax-3与x轴交于点A(3,0), 与y轴交于点B. (1)求该抛物线的表达式及对称轴； 最新中考总复习·数学 退出 9u" 洪文教育 (2)①在如图所示的平面直角坐标系中，先描 出该抛物线上的三个点，再画出该抛 y 物线； 3 ②在同一坐标系中画出直线y=x-3,并 2 根据图象直接写出关于x的不等式ax2- 5-4-3-2-10 12345x 2ax-3≥x-3的解集 3 (3)若关于x的一元二次方程ax2-2ax-3=t 在-1<x<4的范围内有实数根，请结合 图象直接写出t的取值范围。 最新中考总复习·数学 退出 Hu 洪文教育 【思路分析】(1)把A(3,0)代入抛物线的 表达式求解即可，根据抛物线的对称轴公式 即可求其对称轴.(2)①正确描点画图即可. ②画出直线y=x-3,抛物线在直线上方部分 (含交点)对应的自变量的取值范围即为所求 不等式的解集.(3)若关于x的一元二次方程 ax2-2ax-3=t在-1<x<4的范围内有实 数根，则抛物线y=ax2-2ax-3与直线y=t 在-1<x<4的范围内有交点，故-1<x<4 时，y的取值范围即为满足题意的t的取值 范围. 最新中考总复习·数学 退出 Hu" 洪文教育 【自主解答】 解：(1)把A(3,0)代入y=ax2-2ax-3, 得9a-6a-3=0,解得a=1, ∴.该抛物线的表达式为y=x2-2x-3, (3分) 该抛物线的称釉为直线x三2卡。4分剂 © 最新中考总复习·数学 退出 (2)①描点、画出抛物线如图所示. Hu 洪文教育 2 5-4-3-229 12345x (6分)】 ②画出直线y=x-3如图所示. (7分)》 不等式ax2-2ax-3≥x-3的解集为x≤0或x≥3. (8分)》 最新中考总复习·数学 退出 ◆考点3 二次函数综合题 Hui" 洪文教育 例3(2025·河南模拟·10分)定义：在平面直 角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横 坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”.例如， (1,3),（-2,-6),(2,3√2)都是“纵三倍点” (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的 是；（填序号）》 ①y=-2x+1:②y=21;8y=2+x+1. X (2)已知抛物线y=x2+mx+n(m,n均为常 数)与直线y=x+4有且只有一个交点，且 该交点是“纵三倍点”，求抛物线的表达式： 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 (3)若抛物线y=a2+:+(a,6是常数。 a>0)上有且只有一个“纵三倍点”，令 w=b2-2b+6a,是否存在一个常数t,使 得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t, 若存在，请直接写出t的值；若不存在，请 说明理由. 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 【思路分析】（1)利用“纵三倍点”的定义逐 个验证即可.(2)由题意，得关于x的方程 x2+mx+n=x+4有两个相等的实数根，即判 别式的值为0，由此可得n=子m2-方m+ 平由抛物线y=+mr+n与直线=+4 的交点是“纵三倍，点”，可推得n=-2m+2②， 最新中考总复习·数学 退出 9u 洪文教育 联立①②并求解即可.(3)由“纵三倍点”的 定义及抛物线y=a㎡2+6x+子上有且只有一 3 个“纵三倍点”，得方程a+br+2=3x有两 个相等的实数根，由北可得a=石（6-3)，进 而可得w=b2-2b+6a=2(b-2)2+1,然后根 据t,t+1与2的关系分情况讨论求解即可. 最新中考总复习·数学 退出 9u 【自主解答】 洪文教育 解：(1)①③ (2分) © 最新中考总复习·数学 退出 Hu 洪文教育 当x=2时，y=x+4=6. .点(2,6)是抛物线与直线的交点. 将(2,6)代入y=x2+mx+n,得6=4+2m+n, .n=-2m+2②， n=1m2-117 联立①②，得{ 4m1 -2m+4 n=-2m+2, m1=m2=-3, 解得 n1=2=8, .抛物线的表达式为y=x2-3x+8. (6分)】 最新中考总复习·数学 退出 课堂检测·回本质 9ui" 洪文教育 1.(最新原创·3分)已知二次函数y=-x2+ bx+c的图象的最高点是(-1，-3)，则b,c 的值是 A.2,4 B.2,-4 C.-2,4 D.-2,-4 2.(3分)已知抛物线y=-(x+7)2+12,将其 向右平移10个单位长度后停止，在此平移过 程中，抛物线与y轴的交点也会跟着变化.设 抛物线与y轴的交点为P,则在此平移过程 中，点P的位置的变化情况为 () A.一直向下 B.一直向上 C.先向下再向上 D.先向上再向下 最新中考总复习·数学 退出 3.（2025·广安·3分)如图，二次函数y= 9u ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的图象交x 洪文教育 轴于A,B两点，点A的坐标是(-1,0)，点B 的坐标是(n,0),有下列结论：①abc<0; ②4a+c>2b;③关于x的方程ax2+bx+c=0 的懈是-1名=a:④一名=“号其中 正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 最新中考总复习·数学 退出 9ui" 洪文教育 4.（2025·开封兰考一模·3分)已知一个二次 函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y 的几组对应值如下表： X -2 4 18 6 3 6 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 A.这个函数的图象开口向下 B.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 C.这个函数的最小值是3 D.一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 5.(2025·广东·3分)已知二次函数y=-x2+ bx+c的图象经过点(c,0),但不经过原点，则 该二次函数的表达式可以是 (写出一个即可) 最新中考总复习·数学 退出 9u 6.（最新原创·5分)如图，在一块长90m,宽 洪文教育 70m的矩形草地上修建两条互相垂直的宽 均为xm的小路，这时剩余草地的面积为 ym2,求y与x之间的函数关系式，并写出自 变量x的取值范围. x m x mI 70m 90m 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 7.（2025·连云港·10分)已知二次函数y= x2+2(a+1)x+3a2-2a+3,a为常数， (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两 个交点，求a的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求α 的值； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点， 最新中考总复习·数学 退出 Hu 洪文教育 (1)解：由该二次函数的图象与直线y=2a2有两个 交点，知该二次函数的最小值小于2a2, 该二次函数的最小值为4(3a-2a+3)-4(a+1)2 4 2a2-4a+2, 2a2-4a+2<2a,解得a>2 (3分) 最新中考总复习·数学 退出 Hu 洪文教育 (2)解：.·该二次函数的图象与x轴有交点， ∴.方程x2+2(a+1)x+3a2-2a+3=0有实数根， ∴.△=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8a2+ 16a-8=-8(a-1)2≥0， .8(a-1)2≤0. 又8(a-1)2≥0，∴.8(a-1)2=0,解得a1=a2=1. .a的值为1. (7分)》 最新中考总复习·数学 退出 Hu 洪文教育 (3)证明：当t=0时，y=302-2a+3=3(a-)2+ 8>0, .该二次函数的图象不经过原点. (10分) © 最新中考总复习·数学 退出