第6讲 一元二次方程及其应用(精讲本)-【最新中考】2026年河南省中考数学总复习讲解课件（人教版）

该初中数学中考复习课件全面覆盖一元二次方程的概念、解法、判别式、根与系数关系及实际应用等核心考点，严格对接2026河南课标版中考要求，分析出近三年中考中解法占3分、判别式占3分、实际应用占3-6分的权重分布，并归纳出选择、填空、解答三大常考题型。 课件亮点在于“考点梳理+真题精讲+技巧突破”模式，如通过2025年河南模拟题“根的判别式应用”详细示范推理过程培养数学思维，结合增长率问题实例构建模型意识。针对易错点如漏解、忽略二次项系数不为0等提供专项突破方法，帮助学生掌握答题技巧。教师可依此制定精准复习计划，助力学生中考高效冲刺。

Hui" 2026河南课标版 用最新中考考最好成绩 洪文教育 HONGWEN EDUCATION 最新中考 总复习 数学 9u 洪文教育 第二章方程（组)与不等式 （组) 第6讲一元二次方程及其 应用 最新中考总复习·数学 退出 梳理知识·建体系 Hu 洪文教育 一元二次方程的概念：只含有① 未知数，并且未知数的最高次数是② 的整式方程叫做一元二次 方程 二次项系数一次项系数 (a≠0)4 一元二次方程的一般形式： x+回x+c=0(a,b,c为常数，a≠0) 二次项一次项常数项 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解 © 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 解法 适用情况 求解步骤 直接开 形如ax2=m,a(x+n)2=m 先将方程化为x2=p或(x+n)2=p的形式，再利用平方根的 平方法 (a≠0，am≥0)的方程 定义求解 适用于所有一元二次方 (1)变形：将二次项系数化为1； 程.通常当方程的二次项 (2)移项：将常数项移到方程右边，含未知数的项移到方程左边； 一元二 配方法 系数化为1后，一次项系 (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 次方程 数是偶数时，使用配方法 (4)求解：利用直接开平方法求解 的解法 较简便 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 一元二 适用于所有一元二次方 次方程 (1)变形：把方程化为一般形式，确定α，b,c的值； 程.求根公式为 的解法 (2)求值：求出b2-4ac的值； 公式法 ③ (3)求根：若b2-4ac④ ,则方程无实数根；若b2-4ac ⑤ 则利用求根公式求出方程的根 (b2-4ac≥0) 适用于方程一边化为0 (1)将方程的一边化为0，另一边分解为两个一次式的乘积； 因式分 后，另一边是易于分解成 (2)令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 解法 两个一次因式的乘积的一 (3)解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程 元二次方程 的解 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 根的判别式：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式为⑥ ,通常用希腊字 母“△”表示 一元二次 一元二次方程ax2+,b2-4ac>0曰一元二次方程有⑦ 的实数根 方程的根bx+c=0的根的情b2-4ac=0→一元二次方程有⑧ 的实数根 的判别式况 b2-4ac<0曰一元二次方程⑨ 实数根 【敲黑板】 根的判别式的两个作用：(1)不解方程，直接判断一元二次方程根的情况；(2)根据方 程根的情况，确定参数（某个未知系数）的值（或取值范围） 根与系数的关系：如果x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么x,+x2=- 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答 (1)增长率= 增长量 ×100%,降低率= 降低量 ×100% 基础量 基础量 1.增长（下降）率型(2)设a为原来的量，当m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量时， a(1+m)”=b;当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时， 一元 a(1-m)"=b 二次 2.利润型：利润=售价-成本；利润率=利润÷成本×100%；总利润=总售价-总成本=单件利润× 方程 总销量 的实 常见 【敲黑板】 在考试中，若涉及每每问题，要注意以下关系：若单价每涨（降）α元，少（多）卖b 际应 类型 用 件，则涨（降）价x元，少（多）卖的件数为龙·b 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 3.面积型及常见图形（空白部分的宽均为x): 方程 b b 十b b 的实 a 际应 S明影 =0 S阴影=① S阴影=2 S阴影= S影 =④ 用 敲黑板】对于实际问题，求解后，需判断是否符合实际意义 最新中考总复习·数学 退出 9ui" 洪文教育 中考预测·谈趋势 在历年河南中考中，考查解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的实际 应用，既有单独考查，也有和函数相结合考查，每年必考，分值为3~9分 预计2026年中考将继续考查上述知识点.根据新课标的修订，要特别注意一元二次方程的根 与系数的关系由选学内容修订为必学内容 © 最新中考总复习·数学 退出 聚焦河南·明规律 u 洪文教育 ◆考点1一元二次方程的定义及其解法 例1（最新原创·3分）下列方程中，是一元二 次方程的是 () A.x2-2=0 B.2x2-y2-4=0 C.x3-x2+3=0 D.x2+1」 1+1=0 X 例2(2025·河南模拟·3分)若关于x的一元 二次方程(m-2)x2+2x+m2-2m=0有一 个根为0，则m的值为 () A.0 B.-2 C.0或2D.2 最新中考总复习·数学 退出 9ui" “@高分技法 洪文教育 解一元二次方程时的注意事项 1.若题中未指定解题方法，在解一元二次方程 时，要注意观察方程特点，选择适当的解法 2.利用公式法求解时，一定要先把一元二次方 程化为一般形式，且将a,b,c代入求根公式 时，一定要注意u,b,c的符号. 3.利用因式分解法求解时，等式两边不能同 时约去含有未知数的相同因式，否则会造 成漏解，如解x(x+1)=x+1时，若同时 约去x+1,则会出现漏掉x=一1这个解 的情况 最新中考总复习·数学 退出 9ui" 考点2一元二次方程的根的判别式 洪文教育 例3(2025·河南5题·3分)一元二次方程 x2-2x=0的根的情况是 () A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【思路分析】此题可利用两种方法求解.方法 一：通过解方程判断出方程根的情况， 方法二：根据根的判别式进行判断：△>0时，方 程有两个不相等的实数根；△=0时，方程有两 个相等的实数根；△<0时，方程没有实数根 © 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 例4(2025·河师大附中模拟·3分)若关于x 的一元二次方程x2-6x+9=0有实数根，则 k的取值范围是 () A.k<1 B.k≤1 C.k<1且k≠0 D.k≤1且k≠0 © 最新中考总复习·数学 退出 9ui" 洪文教育 “恩高分技法 根据方程根的情况求字母参数的 值（或取值范围）时的注意事项 1.若一元二次方程的二次项系数为字母，一定 不要忽略二次项系数不为0这个隐藏条件 2.一元二次方程有实数根包括有两个相等的 实数根和有两个不相等的实数根两种情况， 故此时△≥0，一定不要漏掉等号的情况 3.若没有明确ax2+bx+c=0是一元二次方 程，要分a=0和a≠0两种情况讨论. 最新中考总复习·数学 退出 9ui" 洪文教育 ◆考点3一元二次方程的根与系数的关系 例5(2025·洛阳模拟·3分)已知x,B是关于 x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的 两个不相等的实数根，且满足一+8=力 则m的值是 A.3 B.1 C.3或-1 D.-3或1 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 【思路分析】由关于x的一元二次方程x+ (2m+3)x+m=0有两个不相等的实数根求 得m的取值范围，将+B1变形为 Q +=-1①，利用根与系数的关系将①化为 aB 关于m的方程并求解，结合m的取值范围舍 去不合题意的m的值即可. 最新中考总复习·数学 退出 9u ◆考点4一元二次方程的实际应用 洪文教育 例6(2025·三门峡二模·3分)为了尽快恢复 经济，某企业加大生产力度，已知该企业四月 份生产零件50万个，第二季度共生产零件 182万个.设该企业五、六月份平均每月的增 长率为x,则可列方程为 () A.50(1+x)2=182 B.50+50(1+x)+50(1+2x)=182 C.50(1+2x)2=182 D.50+50(1+x)+50(1+x)2=182 最新中考总复习·数学 退出 Hu 洪文教育 【思路分析】增长后的量=增长前的量× (1+增长率).已知该企业五、六月份平均 每月的增长率为x,则五、六月份生产零件 的个数分别为50(1+x),50(1+x)2.根据 “等量关系：四、五、六月份生产的零件个 数之和=第二季度生产的零件个数”即可 列出方程. 最新中考总复习·数学 退出 课堂检测·回本质 9ui" 洪文教育 1.(2025·广西·3分)已知x1,x2是方程x2- 20x-25=0的两个实数根，则x1+x2=（) A.-25 B.-20 C.20 D.25 2.(2025·郑州二模·3分)已知关于x的一元 二次方程x2+mx-3=0的一个根为3，则另 一个根为 () A.1 B.-1 C.2 D.-6 最新中考总复习·数学 退出 Hu 洪文教育 3.(2024·东营·3分)用配方法解一元二次方 程x2-2x-2023=0,将它转化为(x+a)2=b 的形式，则a的值为 () A.-2024 B.2024 C.-1 D.1 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 4.（2025·广州·3分)关于x的方程x2-x+ k2+2=0根的情况为 () A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 5.（2025·兰州·3分)若关于x的一元二次方 程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根，则 a的值可以是 () A.3 B.2 C.1 D.0 最新中考总复习·数学 退出 9u 洪文教育 6.(2025·广东·3分)广东省统计局的相关数 据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长 态势.某工业机器人制造公司在今年5月产 值达到2500万元，预计7月产值将增至 9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均 增长率为x,可列出的方程为 () A.2500(1+x)2=9100 B.2500(1-x)2=9100 C.2500(1-2x)2=9100 D.2500(1+2x)2=9100 最新中考总复习·数学 退出 9u 洪文教育 7.(2025·福建·3分)为加强劳动教育，增加 学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆， 在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一 块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图 所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列 方程为 A.5x2=6 B.5(1+x2)=6 C.x(5-x)=6 D.5(1+x)2=6 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 8.（2024·河南13题·3分)若关于x的方程 2-x+c=0有两个相等的实数根，则c的 12 值为 9.（2025·泸州·3分)若一元二次方程2x2- 6x-1=0的两根为，B,则2a2-3a+3B的 值为 最新中考总复习·数学 退出 10.（最新原创·12分)用指定的方法解下列一 u 洪文教育 元二次方程： (1)(x+2)2-25=0(直接开平方法)； (2)x2+4x-5=0(配方法) (3)2x2-7x+3=0(公式法)； (4)2x2-5x+3=0(因式分解法). 最新中考总复习·数学 退出 Hu 洪文教育 (3).a=2,b=-7,c=3, ∴.b2-4ac=(-7)2-4×2×3=49-24= 25>0, 7±/257±5 .X= 2×2 -4’ 1 .x1=3,X2=2 (3分) © 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 【综合实践·学科素养】 11.(9分)如图，老李想用长为70m的栅栏，再 借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩 形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽 A 的门（建在EF处，另用其他材料）. (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围 成一个面积为640m2的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能， 请你给出设计方案；如果不能，请说明 理由. 最新中考总复习·数学 退出 u 洪文教育 解：设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC= 70-2x+2=(72-2x)(m). (1)根据题意，得x(72-2x)=640, 解得x1=16,x2=20. 当x=16时，72-2x=72-32=40; 当x=20时，72-2x=72-40=32. 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为 32m,宽为20m时，能围成一个面积为 640m2的羊圈. (5分) 最新中考总复习·数学 退出 9u 洪文教育 (2)不能. (6分) 理由：由题意，得x(72-2x)=650, 整理，得x2-36x+325=0, .∴.△=(-36)2-4×325=-4<0， .一元二次方程没有实数根 .羊圈的面积不能达到650m2. (9分) © 最新中考总复习·数学 退出