专题02 充分条件与必要条件（题型专练）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 以题型为纲，系统整合判定、证明及参数求解方法，构建“概念-方法-应用”递进逻辑链，培养推理意识与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |充分条件必要条件的判定|1典例+3变式|定义法、命题判断法|从概念辨析到集合、数、形多情境应用| |充要条件的证明|1典例+3变式|双向证明（充分性+必要性）|逻辑推理与集合思想结合| |由充分条件求参数|1典例+3变式|集合真包含关系转化|条件关系→集合关系→参数范围| |由必要条件求参数|1典例+3变式|集合真包含关系转化|条件关系→集合关系→参数范围| |由充要条件求参数|1典例+3变式|集合等价关系转化|条件等价→集合相等→参数求解|

专题02充分条件与必要条件 （题型突破·举一反三） 题型01 充分条件必要条件的判定 题型02 充要条件的证明 题型03 由充分条件求参数 题型04 由必要条件求参数 题型05 由充要条件求参数 ▌题型01 充分条件必要条件的判定 1.充分条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断法： 如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件. 2.必要条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断法： 如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件. 【典例1】（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，又，所以， 所以“”是“”的充分条件； 若，又， 所以或，解得或， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式1】（25-26高二下·广东·期末）“是整数”是“是奇数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若是整数，则不一定是奇数；若是奇数，则一定是整数”， 所以“是整数”是"是奇数"的必要不充分条件． 【变式2】（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 【变式3】（25-26高二下·福建福州·期末）“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】“是等腰直角三角形”推不出“是等边三角形”，反过来也不成立， 所以“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的既不充分也不必要条件. ▌题型02 充要条件的证明 充要条件的证明策略 （1）要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的. 设集合A，B，求证：是的充要条件． 【解】证明：充分性 因为，，所以， 所以当成立时，有成立， 故充分性成立． 必要性 因为，所以． 所以当成立时，也有成立， 故必要性成立 所以是的充要条件． 【变式1】证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【解】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【变式2】（25-26高一上·上海·课堂例题）已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【解】充分性：当时，， 则； 必要性：若，则， 所以，即； 综上，“”是“”的充要条件． 【变式3】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【解】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． ▌题型03 由充分条件求参数 利用充分条件确定参数的值（范围）的步骤 （1）记集合M＝{x｜p（x）}，N＝{x｜q（x）}； （2）若p是q的充分不必要条件，则M⫋N； （3）根据集合的关系列不等式（组）； （4）解不等式（组）得结果. 【典例3】条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集，所以. 【变式1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）若是不等式成立的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】不等式的解集为或， 故或，故或， 解得或．故选D. 【变式2】（25-26高一上·江苏南京·期中）若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知是的真子集， 所以，即实数的取值范围为，故选：A 【变式3】（25-26高一上·北京·阶段检测）若集合，，且是的充分不必要条件，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ，， 是的充分不必要条件，，. 当，即时，，要满足是的充分不必要条件， 则有或，解得； 当，即时，，显然不满足是的充分不必要条件. 综上可得实数a取值范围是，故选B. ▌题型04 由必要条件求参数 利用必要条件确定参数的值（范围）的步骤 （1）记集合M＝{x｜p（x）}，N＝{x｜q（x）}； （2）若p是q的必要不充分条件，则N⫋M； （3）根据集合的关系列不等式（组）； （4）解不等式（组）得结果. 【典例4】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【变式1】（25-26高二下·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由“”是“”的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式2】（25-26高一上·湖北十堰·期末）设条件p：；q：，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以解得. 因为p是q的必要不充分条件，条件p：，所以.故选：B. 【变式3】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）某药品检测机构定义集合，.若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，所以， 故. 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，. 即是集合的真子集，又，所以，故选：C. ▌题型05 由充要条件求参数 　充分条件与必要条件的应用 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； （2）求解步骤：先把p，q等价转化，建立相对应的集合，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解. 【典例5】设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【解】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得，所以实数的值是. 【变式1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【解析】，解得，， 又，，，故选：A． 【变式2】（25-26高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，，解得.故选：A 【变式3】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知命题，若是的充要条件，则________． 【答案】-1 【解析】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02充分条件与必要条件 （题型突破·举一反三） 题型01 充分条件必要条件的判定 题型02 充要条件的证明 题型03 由充分条件求参数 题型04 由必要条件求参数 题型05 由充要条件求参数 ▌题型01 充分条件必要条件的判定 1.充分条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断法： 如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件. 2.必要条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断法： 如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件. 【典例1】（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知集合，则“”是“”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（25-26高二下·广东·期末）“是整数”是“是奇数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3】（25-26高二下·福建福州·期末）“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌题型02 充要条件的证明 充要条件的证明策略 （1）要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的. 设集合A，B，求证：是的充要条件． 【变式1】证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【变式2】（25-26高一上·上海·课堂例题）已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【变式3】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． ▌题型03 由充分条件求参数 利用充分条件确定参数的值（范围）的步骤 （1）记集合M＝{x｜p（x）}，N＝{x｜q（x）}； （2）若p是q的充分不必要条件，则M⫋N； （3）根据集合的关系列不等式（组）； （4）解不等式（组）得结果. 【典例3】条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）若是不等式成立的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26高一上·江苏南京·期中）若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·北京·阶段检测）若集合，，且是的充分不必要条件，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌题型04 由必要条件求参数 利用必要条件确定参数的值（范围）的步骤 （1）记集合M＝{x｜p（x）}，N＝{x｜q（x）}； （2）若p是q的必要不充分条件，则N⫋M； （3）根据集合的关系列不等式（组）； （4）解不等式（组）得结果. 【典例4】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·湖北十堰·期末）设条件p：；q：，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）某药品检测机构定义集合，.若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌题型05 由充要条件求参数 　充分条件与必要条件的应用 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； （2）求解步骤：先把p，q等价转化，建立相对应的集合，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解. 【典例5】设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【变式1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2】（25-26高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知命题，若是的充要条件，则________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $