1.4 充分条件与必要条件（分层作业·练知识）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到高考衔接，覆盖充分条件与必要条件全知识点，通过数学文化情境培养数学眼光，阶梯式提升逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|充分不必要/必要不充分条件、充要条件、数学文化、求参（基础）|基础选择填空，聚焦单一知识点辨析| |B组|综合条件判断、多知识点交汇求参|解答题为主，强化知识综合应用| |C组|集合与条件综合、复杂求参问题|多步骤解答题，提升逻辑推理深度| |拓展|高考真题|对接高考题型，培养应试能力|

分层作业 1.4充分条件与必要条件 参考答案 ( 知识点0 1 )充分不必要和必要不充分条件 1．A；2．B；3．C；4．A；5．AC ( 知识点0 2 )充要条件 1．C；2．D；3．D；4．D 5．【答案】证明见解析. 【分析】（1）应用判别式恒大于零证明方程总有两个不相等的实数根； （2）应用充分必要条件的定义证明即可. 【详解】（1）关于的一元二次方程. 因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则， 充分性：若， 则关于的方程有一个根为1， 所以关于的方程有一个根为1的充要条件是； ( 知识点0 3 )数学文化 1．A；2．B；3．B；4．A；5．B ( 知识点0 4 )根据充分、必要条件确定范围 1．D；2．A；3．AD ( 知识点0 5 )已知充分、必要条件求参（基础） 1．B；2．B；3．ABD；4． ( 知识点0 6 )已知充分必要条件求参（提升） 1．D；2． 3．【答案】（1）当时，或，则， 又因为，故. （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. 4．【答案】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 5．【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 一、单选题 1．B；2．B；3．C；4．A；5．B；6．B 二、多选题 7．ABD；8．BCD 三、填空题 9．；10．充分不必要 四、解答题 11．【答案】（1）当时，集合， 又因为全集，所以， 因为集合，所以. （2）因为“”是“”的必要条件，所以． 又因为集合，，所以． 即的取值范围为． 12．【答案】（1）若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. （2）因为成立的一个必要条件是， 所以， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 1．D；2． 3．【答案】（1）若，则集合，或， 又集合， 所以， 或. （2）因为是的充分条件，所以， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 4．【答案】（1）因为， 所以 因为或 所以或 或. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以, 所以①若，则，即,满足题意； ②若， 则或， 即或 所以或 综合①②知，实数的取值范围为. 5．【答案】（1）化简得，解得或，所以， 因为，所以且， 所以，即，解得或， 当时，，即，化简得，解得或，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，化简得，解得或，即，满足题意. 故的取值集合为． （2）若是的必要条件，则， 又，由（1）可知或或. ①由（1）可知当时，. ②当时，由，解得或，由（1）知不成立； 当时，方程，即的解为或，，此时，舍去. ③当时，由（1）可得或，此时不成立，舍去； 当时，由（1）可知，此时，舍去. 综上所述：的取值集合为. 1．A；2．A；3．A；4．A；5．A；6．A；7．C；8．A；9．A；10．B；11．C；12．B；13．B；14．A 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.4充分条件与必要条件 目 录 A组 巩固过关 知识点01 充分不必要和必要不充分条件 知识点02 充要条件 知识点03 数学文化 知识点04 根据充分、必要条件确定范围 知识点05 已知充分、必要条件求参（基础） 知识点06 已知充分、必要条件求参（提升） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )充分不必要和必要不充分条件 1．（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解绝对值不等式，结合充分、必要性定义判断条件间的关系即可. 【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（23-24高一上·贵州·阶段检测）“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解方程，求出方程的根，分别从充分性，必要性两方面验证即可. 【详解】由，得，解得或, 所以时，具有充分性； 而时，或，不具有必要性. 故选：B 3．（22-23高一下·湖北·阶段检测）已知，，则是的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】举例说明充分不成立，分和两种情况说明必要性成立，即可得答案. 【详解】解：令，，满足，但， 故不能推出，所以充分性不满足； 当，时， 当时，； 当时，； 故能推出，故是的必要不充分条件． 故选：C． 4．（25-26高一上·天津河北·期末）已知a是实数，那么“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得或， 当时，成立，即充分性成立； 反之：当时，不一定成立，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5．（23-24高一上·云南昆明·期末）（多选）下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】A，因为能推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，正确； B，因为不能推出，如；同时不能推出，如，即充分性与必要性都不成立，所以是的既不充分也不必要条件，错误； C，因为不能推出，如，即充分性不成立；可以推出，即必要性成立，正确； D，因为等价于，所以是的充要条件，错误． 故选：AC ( 知识点0 2 )充要条件 1．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】分别判断充分性与必要性即可得. 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件， 若，则，故“”是“”的必要条件， 综上可得：“”是“”的充要条件. 2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知x，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过特例，结合充分必要条件的判定方法即可判断. 【详解】，而 同样，而，所以充分性、必要性都不成立. 故选：D 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】对充分性和必要性分别给出反例即可. 【详解】当时，有，，但； 当时，有，但. 所以原条件不是充分的也不是必要的. 故选：D. 4．（2025·四川成都·模拟预测）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据不等关系结合充分与必要条件判断即可. 【详解】当时，满足，但是此时； 当，满足，但此时； 故“是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 【答案】证明见解析. 【分析】（1）应用判别式恒大于零证明方程总有两个不相等的实数根； （2）应用充分必要条件的定义证明即可. 【详解】（1）关于的一元二次方程. 因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则， 充分性：若， 则关于的方程有一个根为1， 所以关于的方程有一个根为1的充要条件是； ( 知识点0 3 )数学文化 1．（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（ ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】“能扫天下”一定得到“能扫一屋”， 所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件. 故选：A. 2．（24-25高一上·江苏·期中）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判定. 【详解】由“小故，有之不必然，无之必不然”， 知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要不充分条件， 所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明“做容易题”是“做难题”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”， 但“做难题”一定可以推出“做容易题”， 故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件， 故选：B. 4．（22-23高一上·山东菏泽·期中）《墨子·经上说》：“小故：有之不必然，无之必不然.体也，若有端.大故：有之必然，若见之成见也”.则“有之必然”表述的数学关系是（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】读懂古文的含义，根据充分条件和必要条件的定义分析判断 【详解】由题意可知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发生， 所以“有之必然”表述的数学关系是充分条件， 故选：A 5．（21-22高一上·广东揭阳·阶段检测）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先理解题意，再根据充分条件、必要条件的定义分析判断选项． 【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就一定会“返回家乡”， “攻破楼兰”“返回家乡”，满足必要性，而“返回家乡”不一定是“攻破楼兰”的唯一条件，如“进京述职”等，故不满足充分性， “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件． 故选：B． ( 知识点0 4 )根据充分、必要条件确定范围 1．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）“”的充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分条件和必要条件的概念进行求解. 【详解】对于A选项，若，不一定有， 而，则一定有， 所以是的必要不充分条件，A选项错误； 对于B选项，若，则一定有， 反之，若，也一定有， 所以是的充要条件，B选项错误； 对于C选项，若，则不一定有， 但时，一定有， 所以是的必要不充分条件，C选项错误； 对于D选项，若，则一定有， 但当时，不一定有， 所以是的充分不必要条件，D选项正确. 故选：D 2．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于两个集合来说，根据充分条件是找子集，必要条件是找集合，即可得到答案. 【详解】若集合是集合的必要条件，则， 所以在选项中使得成立的一个必要条件只有， 故选：A 3．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）（多选）的一个必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. ( 知识点0 5 )已知充分、必要条件求参（基础） 1．（23-24高一下·四川德阳·期末）若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用充分不必要条件的判断方法，借助于数轴理解即得的取值范围. 【详解】因是的充分不必要条件，可得，但， 故得，即的取值范围是. 故选：B. 2．（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 3．（23-24高一上·广东韶关·阶段检测）（多选）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ） A． B．0 C．3 D． 【答案】ABD 【分析】根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，再分情况讨论即可得到的可能取值. 【详解】因为的两个根为3和5，所以， 是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或或， 当时，满足即可， 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是0，，. 故选：ABD. 4．（25-26高一上·江西·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题意可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. ( 知识点0 6 )已知充分必要条件求参（提升） 1．（24-25高一上·吉林·阶段检测）已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】因是的充分条件，则，故， 则. 故选：D 2．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据必要条件的定义进行求解即可. 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 3．（25-26高一上·河北衡水·期末）已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，或，则， 又因为，故. （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. 4．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 5．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江金华·期末）“”是“”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性和必要性的定义进行判断. 【详解】当时，则，不能推出， 所以不是的充分条件， 当时，则，所以能推出， 所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）“”是“”成立的（ ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】由题可得，，充分性不成立；，必要性成立 3．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）设，，则“且”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由且，根据不等式性质可以知道，故充分性成立； 但是，得不到且， 如且，满足，显然不成立，故必要性不成立； 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 4．（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知条件，得出方程只有一个根或两个相等的实根，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 5．（23-24高二下·安徽合肥·期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知p：，q：，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将p是q的充分条件转化为集合间的包含关系，根据包含关系列不等式组求解即可. 【详解】设集合， 集合， 因为p是q的充分条件，所以A是B的子集， 则，解得. 故选：B. 二、多选题 7．（24-25高一上·山西大同·阶段检测）指出下列哪些命题中是的充分条件（ ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 【答案】ABD 【分析】根据充分条件的概念逐项判断即可. 【详解】在中，由大角对大边知，，所以是的充分条件，故A正确； 由，故是的充分条件，故B正确； 由，所以不是的充分条件，故C错误. ，故是的充分条件，故D正确. 故选：ABD 8．（23-24高二下·广东·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ） A．3 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】令或，，依题意可得真包含于，即可求出参数的取值范围. 【详解】令或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以真包含于，所以或， 解得或，结合选项可知符合题意的有B、C、D. 故选：BCD 三、填空题 9．（25-26高一上·山西·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】得到是的真子集，求出. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以. 故答案为： 10．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知命题：方程无实数根，命题；那么是的______条件； 【答案】充分不必要 【分析】方程无实数根，则，根据充分条件和必要条件的概念即可求解. 【详解】方程无实数根，则有，所以，但不能推出，所以是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 四、解答题 11．（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）设全集，集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围（最终答案用集合的形式表示）． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用补集的运算求出，利用交集的运算求出； （2）由“”是“”的必要条件，得到，利用子集的定义求解即可. 【详解】（1）当时，集合， 又因为全集，所以， 因为集合，所以. （2）因为“”是“”的必要条件，所以． 又因为集合，，所以． 即的取值范围为． 12．（25-26高一上·北京石景山·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集结果列式即可求解； （2）根据题意得到，列式即可求解. 【详解】（1）若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. （2）因为成立的一个必要条件是， 所以， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 1．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知，则“”的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件的定义逐项判断. 【详解】对于A：即，因为，所以不一定成立，故A错误； 对于B：即，因为，所以不一定成立，故B错误； 对于C：即，因为，所以不一定成立，故C错误； 对于D：即，则成立，故D正确. 故选：D. 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】因为是的充分不必要条件，所以对应的集合是对应的集合的真子集，根据集合的关系列不等式即可. 【详解】解不等式得 记 因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 所以，解得. 所以的取值范围为. 3．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2). 【分析】（1）把代入集合得，求出，计算，即可. （2）由是的充分条件得出，然后建立不等式组求解即可. 【详解】（1）若，则集合，或， 又集合， 所以， 或. （2）因为是的充分条件，所以， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 4．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知集合，或． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合的并运算法则进行运算即可； （2）依题得，分和两种情况谈论，根据条件列出不等式，解出即可. 【详解】（1）因为， 所以 因为或 所以或 或. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以, 所以①若，则，即,满足题意； ②若， 则或， 即或 所以或 综合①②知，实数的取值范围为. 5．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知集合，非空集合． (1)若，求：的取值集合； (2)若是的必要条件，求：的取值集合． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）首先求出集合的具体元素，根据判断集合中的元素特征，列方程求解的值，验证排除即可； （2）根据已知条件得出集合之间的关系，从而可得到集合的所有可能情况，逐一验证即可. 【详解】（1）化简得，解得或，所以， 因为，所以且， 所以，即，解得或， 当时，，即，化简得，解得或，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，化简得，解得或，即，满足题意. 故的取值集合为． （2）若是的必要条件，则， 又，由（1）可知或或. ①由（1）可知当时，. ②当时，由，解得或，由（1）知不成立； 当时，方程，即的解为或，，此时，舍去. ③当时，由（1）可得或，此时不成立，舍去； 当时，由（1）可知，此时，舍去. 综上所述：的取值集合为. 1．（2015·重庆·高考真题）“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】试题分析：时，成立，故是充分的，又当时，即，，故是必要的的，因此是充要条件．故选A． 考点：充分必要条件． 2．（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由当为整数时，必为整数；当为整数时，不一定为整数；即可选出答案. 【详解】当为整数时，必为整数； 当为整数时，不一定为整数， 例如当时，. 所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 4．（2015·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 5．（2018·上海·高考真题）已知，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 6．（2017·全国·高考真题）设甲：四边形ABCD为矩形；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】若四边形ABCD为矩形，则它一定是平行四边形， 反之，若四边形ABCD为平行四边形，则它不一定是矩形. 故甲是乙的充分非必要条件． 故选：A. 7．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 8．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，集合，，可得，满足充分性， 若，则或，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 9．（2007·辽宁·高考真题）设是两个命题，若，，则p是q的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式可得命题或，或，判断或或，即可判断答案. 【详解】命题即或， 即或， 由于或或， 故p是q的充分而不必要条件， 故选：A. 10．（2007·湖北·高考真题）已知是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，是的必要条件.现有下列命题： ①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件； ③是的必要条件而不是充分条件；④是的必要条件而不是充分条件； ⑤是的充分 条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ） A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【解析】由充分条件、必要条件与充要条件的概念依次表示出已知条件的符号语言，根据传递性即可判断. 【详解】解：是的充分条件而不是必要条件等价于， 是的充分条件等价于 是的必要条件等价于， 是的必要条件等价于 由上可知，，，知，故①正确； 由知，由，知，故②正确； 由知，又由于，故是的充要条件，故③错误； 对于④，由是的必要条件而不是充分条件等价于是的必要条件而不是充分条件，因为则由知，故④正确； 对于⑤，因为所以故是的充要条件，故⑤错误. 故选：B. 【点睛】对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法，即与；与；与都是等价关系，是基础题. 11．（2019·上海·高考真题）已知，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】通过函数的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件. 【详解】设，可知函数对称轴为 由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立 由此可知：当，即时， 当时，可得，即 可知“”是“”的充要条件 本题正确选项： 【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题. 12．（2008·安徽·高考真题）是方程至少有一个负数根的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当，得a<1时方程有根．a<0时，，方程有负根，又a=1时，方程根为，所以选B． 13．（2013·上海·高考真题）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B． 【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题． 14．（2010·广东·高考真题）“”是“一元二次方程”有实数解的（ ） A．充分非必要条件 B．充分必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【详解】试题分析：方程有解，则．是的充分不必要条件．故A正确． 考点：充分必要条件 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.4充分条件与必要条件 目 录 A组 巩固过关 知识点01 充分不必要和必要不充分条件 知识点02 充要条件 知识点03 数学文化 知识点04 根据充分、必要条件确定范围 知识点05 已知充分、必要条件求参（基础） 知识点06 已知充分、必要条件求参（提升） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )充分不必要和必要不充分条件 1．（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·贵州·阶段检测）“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23高一下·湖北·阶段检测）已知，，则是的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·天津河北·期末）已知a是实数，那么“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·云南昆明·期末）（多选）下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． ( 知识点0 2 )充要条件 1．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知x，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·四川成都·模拟预测）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 ( 知识点0 3 )数学文化 1．（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（ ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．（24-25高一上·江苏·期中）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明“做容易题”是“做难题”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（22-23高一上·山东菏泽·期中）《墨子·经上说》：“小故：有之不必然，无之必不然.体也，若有端.大故：有之必然，若见之成见也”.则“有之必然”表述的数学关系是（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（21-22高一上·广东揭阳·阶段检测）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ( 知识点0 4 )根据充分、必要条件确定范围 1．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）“”的充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）（多选）的一个必要条件是（ ） A． B． C． D． ( 知识点0 5 )已知充分、必要条件求参（基础） 1．（23-24高一下·四川德阳·期末）若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东韶关·阶段检测）（多选）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ） A． B．0 C．3 D． 4．（25-26高一上·江西·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是________． ( 知识点0 6 )已知充分必要条件求参（提升） 1．（24-25高一上·吉林·阶段检测）已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 3．（25-26高一上·河北衡水·期末）已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 4．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 5．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江金华·期末）“”是“”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）“”是“”成立的（ ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）设，，则“且”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二下·安徽合肥·期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知p：，q：，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一上·山西大同·阶段检测）指出下列哪些命题中是的充分条件（ ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 8．（23-24高二下·广东·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ） A．3 B． C． D． 三、填空题 9．（25-26高一上·山西·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为______． 10．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知命题：方程无实数根，命题；那么是的______条件； 四、解答题 11．（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）设全集，集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围（最终答案用集合的形式表示）． 12．（25-26高一上·北京石景山·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 1．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知，则“”的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______. 3．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 4．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知集合，或． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 5．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知集合，非空集合． (1)若，求：的取值集合； (2)若是的必要条件，求：的取值集合． 1．（2015·重庆·高考真题）“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2015·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2018·上海·高考真题）已知，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 6．（2017·全国·高考真题）设甲：四边形ABCD为矩形；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2007·辽宁·高考真题）设是两个命题，若，，则p是q的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2007·湖北·高考真题）已知是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，是的必要条件.现有下列命题： ①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件； ③是的必要条件而不是充分条件；④是的必要条件而不是充分条件； ⑤是的充分 条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ） A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤ 11．（2019·上海·高考真题）已知，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 12．（2008·安徽·高考真题）是方程至少有一个负数根的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2013·上海·高考真题）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 14．（2010·广东·高考真题）“”是“一元二次方程”有实数解的（ ） A．充分非必要条件 B．充分必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $