精品解析：广东汕头市澄海实验高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

澄海实验高中2025-2026学年度第二学期期中考试 高一级数学科试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的) 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形中最长的边长等于（ ） A. 2 B. C. D. 3. 设，是两个非零向量，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若异面直线m，n分别在平面，内，且，则直线l（ ） A. 与直线m，n都相交 B. 可能与m，n都平行 C. 与m，n中的一条相交，另一条平行 D. 至少与m，n中的一条相交 5. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（） A. B. C. D. 8. 如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（ ） A. B. C. D. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 计算：__________. 13. 圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为________． 14. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 四、解答题（本大题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，i为虚数单位． （1）求z的共轭复数； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值． 16. 如图，正四棱台是一块铁料，上、下底面的边长分别为40cm和80cm，，O分别是上、下底面的中心，棱台高为60cm. （1）求正四棱台的表面积； （2）若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积. 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若M为的中点，，求面积的最大值． 18. 已知函数． （1）求的最小值； （2）将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递减区间； （3）若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，，分别为同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为． （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求； ②分别在射线上，，为线段上两点，且，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 澄海实验高中2025-2026学年度第二学期期中考试 高一级数学科试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的) 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 2. 如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形中最长的边长等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知为等腰直角三角形，所以， 如下图所示，平面图形中， 所以. 3. 设，是两个非零向量，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的意义，向量的夹角公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由， 又， 所以当且仅当时，成立． 充分性：由，得或，则不一定成立，所以充分性不成立； 必要性：由，得，则，所以必要性成立． 所以“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：B． 4. 若异面直线m，n分别在平面，内，且，则直线l（ ） A. 与直线m，n都相交 B. 可能与m，n都平行 C. 与m，n中的一条相交，另一条平行 D. 至少与m，n中的一条相交 【答案】D 【解析】 【分析】由线面位置关系推理即可得解. 【详解】因为，所以，，则l与m平行或相交，l与n平行或相交， 又m，n为异面直线，所以l不能与m，n同时平行， 即l与m，n可能都相交，也可能与其中一条相交，故A，B，C错误，D正确． 故选：D． 5. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 易得，，然后由推出比较即可. 【详解】， ， ， 又， 所以. 故选：D 7. 已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直棱柱补全成长体即可知道其外接球直径，进而可求其体积. 【详解】如图所示，将直三棱柱补全成长方体， 则长方体的体对角线为该三棱柱外接球的直径， 所以其半径为 球O的体积为， 故选：． 8. 如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】因为是的中点，则 ， 、、三点共线， ， ， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：D． 二、多项选择题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与共线的单位向量， 同向的单位向量为，故B正确； 对于C，在上的投影向量为， 故C正确； 对于D，因， 则， 由与的夹角为锐角，可得：， 解得且，故D错误. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 11. 已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正余弦定理、和差公式逐一分析即可. 【详解】对A，由正弦定理将边化角得， 即，所以为等腰三角形； 对B，因为， 所以， 所以，整理得， 又，所以，即，所以为等腰三角形； 对C，， 所以，整理得， 所以或，即是直角三角形或等腰三角形； 对D，， 当且仅当，即时等号成立，又，所以只能成立， 此时为等腰三角形. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 计算：__________. 【答案】## 【解析】 【详解】原式 13. 圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形弧长与底面半径关系得，解出弧长，最后利用侧面积公式即可. 【详解】设圆锥的母线为,则,所以, 则圆锥的侧面积为. 故答案为：. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面的性质及线线平行的关系可直接作出截面，再计算各边可得周长. 【详解】如图：取棱的中点，连接，则多边形为截面图形. 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为分别是的中点，由中位线定理得，再由， 所以，即四点共面，而平面是过的截面，且三点不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为2， 所以，所以截面的周长为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，i为虚数单位． （1）求z的共轭复数； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的运算可得，即可得共轭复数； （2）可知：、是方程的根，利用韦达定理即可得结果. 【小问1详解】 因为， 所以z的共轭复数. 【小问2详解】 由题意可知：、是方程的根， 则，即. 16. 如图，正四棱台是一块铁料，上、下底面的边长分别为40cm和80cm，，O分别是上、下底面的中心，棱台高为60cm. （1）求正四棱台的表面积； （2）若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出棱台的侧面的高，结合棱台的结构特征以及表面积公式即可求得答案； （2）由题意可知圆台的上下底面圆与与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，由此可求出圆台的体积. 【小问1详解】 如图，正四棱台的每个侧面皆为全等的等腰梯形， 分别取的中点为，连接， 过点M作于H， 则， 故， 所以正四棱台的表面积为； 【小问2详解】 若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高， 则圆台的上底面半径为20cm，下底面半径为40cm，高为60cm， 则圆台的体积为. 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若M为的中点，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可； 解法二：利用余弦定理将用边表示再化简即可； （2）解法一：根据基底向量的方法得，两边平方化简后可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可； 解法二：设，再分别在，和中用余弦定理，结合可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可 【小问1详解】 解法一：因为， 由正弦定理得：， 所以， 因为， 所以， 为， 所以． 解法二：因为， 由余弦定理得：， 整理得， 即， 又由余弦定理得 所以， 因为， 所以． 【小问2详解】 解法一：因为M为的中点， 所以， 所以， 即， 即， 而， 所以即，当且仅当时等号成立 所以的面积为． 即的面积的最大值为． 解法二：设， 在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以 所以①+②式得．③ 在中，由余弦定理得， 而，所以，④ 联立③④得：，即， 而， 所以，即，当且仅当时等号成立． 所以的面积为． 即的面积的最大值为． 18. 已知函数． （1）求的最小值； （2）将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递减区间； （3）若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式，先化简函数的解析式，再求其最小值. （2）先根据函数的图象变换得到函数的解析式，再利用整体代换法求函数的单调递减区间. （3）设，把问题转化为方程在上有两个不同的实数根，再结合二次函数的零点分布求参数的取值范围. 【小问1详解】 由， 所以（当即，时取等号）. 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象； 再把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 由，，. 所以函数的单调递减区间为：，. 【小问3详解】 因为，， 所以可化为. 设，因为，所以，所以，即， 则，. 要使原方程在上有四个不同的实数根，等价于方程在上有两个不同的实数根. 设， 由. 即实数的取值范围为. 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，，分别为同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为． （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求； ②分别在射线上，，为线段上两点，且，，求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据定义及向量数量积的运算律即可求解； （2）①根据定义及向量夹角的计算公式即可求解；②设，，根据向量数量积的运算律，余弦定理，结合三角函数性质运算求解． 【小问1详解】 在斜坐标系中，则，， 因为，则， 可得， 所以． 【小问2详解】 ①因为，， 所以，， 得到， 则， 化简并整理得， 解得或（舍去），则； ②依题意设，，， 如图，作出符合题意的图形， 因为为中点，则， 同理， 则 ， 在中，，，，， 依据余弦定理得， 整理得， 所以 ， 在中，，， 由正弦定理， 设，则，， ， 因为，所以，则， 所以当时，取得最小值， 即取最小值，此时取最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $