3.4 圆周角和圆心角的关系 课时练习 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、中档应用、综合提升三级分层，以“概念辨析—定理应用—综合探究”路径覆盖圆周角与圆心角关系核心知识点，适配新授课学情，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（45分）|圆心角与弧的关系、圆周角定义、直径性质|单选1-6题直接考查概念辨析，填空11-13题强化内接四边形性质等基础应用| |中档层（23分）|圆周角定理灵活应用、弦与角关系|单选7-9题结合图形变换（如直径垂直弦），填空14-15题渗透方程思想（如坐标与圆结合）| |提升层（32分）|跨知识点综合、探究性问题|单选10题融合旋转与圆，解答题21-22题涉及动态几何与数量关系探究，培养模型意识与创新思维|

【北师大版九年级数学（下）课时练习】 §3.4圆周角和圆心角的关系 一、单选题（共30分） 1.(本题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、 AC于点D、点E,则弧BD的度数为() B A.28° B.60° C.55° D.40° 2.(本题3分)下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是() A.圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B.顶点在圆周上的角叫做圆周角 C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D.在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 3.(本题3分)如图，点A,B,C在O0上，∠A0B=50°，∠C的度数是() A.65 B.50° C.40 D.25° 4.(本题3分)如图，△ABC内接于⊙0，点D是弧AB的中点，∠DAB=25°，则∠C=() D B O。 A.50° B.55° C.60° D.65° 5.(本题3分)如图，AB为O0的直径，点C、D在⊙0上，∠ADC=40°.则∠CAB的度数为() A.50° B.40 C.30° D.60° 6.(本题3分)下列命题是真命题的是() A.对角线相等且相互垂直的四边形是菱形 B.等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C.90°的圆周角所对的弦是直径 D.六边形的内角和是540° 7.(本题3分)如图，AB是00的直径，点C、D、E在O0上.若∠C=100°，则∠E的度数为() A.10° B.20° C.30° D.25° 8.(本题3分)如图，四边形ADBC的四个顶点均在OO上，AB=AC,若D是AB的中点，且DE=2, AC=8,则⊙0的半径为() D A.3 B.4 C.5 D.6 9.(本题3分)如图，在⊙0中，CD是⊙0上的一条弦，直径AB⊥CD,连接AC,OD,∠A=27°，则 ∠D的度数是() O A B A.27° B.36° C.54° D.66° 10.(本题3分)如图，将⊙0的内接△ABC绕点B顺时针旋转50°后得到aA'B'C',其中点C恰好落在⊙0 上，则∠A为() C A.100 B.115 C.120° D.130° 二、填空题（共15分） 11.(本题3分)如图，已知四边形ABDC内接于⊙0，∠B0C=140°，点E在边CD的延长线上，则 ∠BDE的度数为 ED 12.(本题3分)如图，AB是O0的直径，点C、D在⊙0上.若LABC=30°，则LBDC= B D 13.(本题3分)如图，四边形ABCD内接于⊙0，若LA=116°，则∠BOD为 3 14.(本题3分)如图在⊙0中，弦AB,CD相交于点P.若∠A=38°，∠APD=80°，则∠B的度数为 15.(本题3分)⊙P经过坐标原点0，分别与x轴、y轴交于点A、点B,点C是0P位于第一象限部分上 的一点，如图，若点A坐标为4,0)，点B坐标为(0,3)，则cos∠0CA的值为 B A 三、解答题（共55分） 16.(本题6分)如图，在O0中，BD=AC,∠A=∠D.求证： D (1)AB=CD; (2)BE=CE. 17.(本题7分)如图，△ABC分别交O0于点A,B,D,E,且AD=BE.求证：AC=BC. C E 0 18.(本题8分)如图，在OO中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E,连接AC,AD. D B (1)证明：∠ACD=∠ADC; (2)当AE=9,CD=6时，求⊙0的半径. 19.(本题8分)如图，已知AB是O0的直径，D是OO上一点，连接OD、BD,点C为AB延长线上一 点，连接CD.且∠BDC=}∠BOD. D B (1)证明：CD=AC·BC; (2)若O0的半径为2，CD=5,求BC的长. 20.(本题8分)如图，在O0中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E,连接AC,OC. E B (1)求证：LACD=LABC; (2)若BE=2,CD=8,求O0的半径. 21.(本题9分)如图，在O0中，直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,OD,AD,∠CAB=30°， ∠BAD=15°. 6 (1)计算：∠B0D= (2)求证：AC=AE; (3)若CD=4,求AD的长. 22.(本题9分)如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与ABC的外接圆⊙0交于点D, ∠EAC=120°. E E D O A 备用图 (1)求BC的度数； (2)连接DB,DC,求证：DB=DC; (3)探究线段AD,AB,AC之间的数量关系，并证明你的结论 【北师大版九年级数学（下）课时练习】 §3.4圆周角和圆心角的关系 一、单选题（共30分） 1.(本题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、 AC于点D、点E,则弧BD的度数为() B A.28° B.60° C.55° D.40° 6 解：∠ACB=90°，∠A=20°， .∠B=90°-∠A=70°， :CB=CD, :∠CDB=∠B=70°，÷∠BCD=180°-70°-70°=40°， ·弧BD的度数为40°，故选：D. 2.(本题3分)下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是() A.圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B.顶点在圆周上的角叫做圆周角 C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D.在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 解：A、圆心角的度数等于其对应弧的度数，原选项说法正确，不符合题意； B、圆周角定义要求顶点在圆上且两边与圆相交，原选项说法错误，符合题意； C、同圆或等圆中，相等圆心角所对的弦相等，原选项说法正确，不符合题意； D、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，原选项说法正确，不符合题意； 故选：B. 3.(本题3分)如图，点A,B,C在⊙0上，∠A0B=50°，∠C的度数是() A.65 B.50° C.40° D.25° 解：根据题意得：∠C=∠40B=x50°=25. 2 故选：D. 4.(本题3分)如图，△ABC内接于⊙0，点D是弧AB的中点，∠DAB=25°，则C=() D 0. A.50° B.55° C.60° D.65° 解：点D是弧AB的中点， ∴.AD=BD, ∴.∠DBA=∠DAB=25°， .∠ADB=180°-∠DBA-∠DAB=130°， ∴.∠C=180°-∠ADB=50°. 故选：A. 5.(本题3分)如图，AB为O0的直径，点C、D在⊙0上，∠ADC=40°.则∠CAB的度数为() B A.50° B.40° C.30° D.60° 解：AB为O0的直径， .∠ACB=90°， :∠ADC=40°， .LABC=LADC=40°， .∠CAB=90°-∠ABC=50°， 故选：A. 6.(本题3分)下列命题是真命题的是() A.对角线相等且相互垂直的四边形是菱形 B.等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C.90°的圆周角所对的弦是直径 D.六边形的内角和是540° 解：选项A:对角线相等且垂直的四边形不一定是菱形，还需要对角线平分的条件，故选项A是假命题； 选项B:等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形（旋转180°不重合)，故选项B是假命题： 选项C:根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，故选项C为真命题； 选项D:六边形内角和为6-2)×180°=720°，故选项D为假命题， 10 故选：C 7.(本题3分)如图，AB是00的直径，点C、D、E在O0上.若LC=100°，则∠E的度数为() B A.10° B.20° C.30° D.25° 解：如图所示，连接BE, ,点B、C、D、E都在OO上， .LDEB+∠C=180°， ,∠C=100°， ,∠DEB=80°； ,AB是⊙O的直径， .LAEB=90°， .∠AED=∠AEB-∠DEB=10°， 故选：A. A D B 8.(本题3分)如图，四边形ADBC的四个顶点均在OO上，AB=AC,若D是AB的中点，且DE=2, AC=8,则⊙0的半径为() E B 11 A.3 B.4 C.5 D.6 解：连接A0,设⊙0的半径为r, B 则0A=0D=r,0E=r-2, AB=AC,AC=8, AB=8, :D是AaB的中点， .OD⊥AB, AE BE=AB=4 在Rt△A0E中，(r-22+42=r2, 解得r=5, 即00的半径为5， 故选：C 9.(本题3分)如图，在⊙0中，CD是00上的一条弦，直径AB⊥CD,连接AC,OD,∠A=27°，则 ∠D的度数是() C A.27 B.36° C.54° D.66° 解：连接AD,设AB与CD交于点E, 12 0 B D :直径AB⊥CD, ∴.BC=BD,L0ED=90°， .LBAC=27°， ∴.∠BAD=∠BAC=27°， ∠B0D=2∠BAD=54°， .∠0DC=90°-54°=36°， 故选：B 10.(本题3分)如图，将⊙0的内接△ABC绕点B顺时针旋转50°后得到aA'B'C',其中点C恰好落在⊙0 上，则∠A为() C. A.100° B.115° C.120° D.130 解：连接CC', C A 0 A ,△ABC绕点B顺时针旋转50°得到△A'BC', .BC=BC', ∠CBC'=50°， BC=BC', ∴△BCC'是等腰三角形， 13 ∴.LBCC'=BC'C, .∠BCC'+∠BC'C+∠CBC'=180°， ∠CBC'=50°， ∠BC'C=180°-50 =65°， 2 四边形ABCC是OO的内接四边形 .∠A+∠BC'C=180°， .∠A=180°-65°=115°， 故选：B. 二、填空题（共15分） 11.(本题3分)如图，已知四边形ABDC内接于O0,∠B0C=140°，点E在边CD的延长线上，则 ∠BDE的度数为 E D 解：BDC=BDC,LB0C=140°， ∴.∠A= <B0C=70, 1 ,四边形ABDC内接于⊙O, ∴.∠A+∠BDC=180°， ,点E在边CD的延长线上， LBDE+∠BDC=180°， .∴.∠BDE=∠A=70°. 故答案为：70°. 12.(本题3分)如图，AB是O0的直径，点C、D在⊙0上.若∠ABC=30°，则∠BDC= A 0 D 14 解：AB是O0的直径， .∠ACB=90°， ,∠ABC=30°， ∴.∠CAB=60°， BC=BC, .∴.∠BDC=∠CAB=60°， 故答案为：60°. 13.(本题3分)如图，四边形ABCD内接于⊙0，若∠A=116°，则∠BOD为 D 解：：四边形ABCD内接于O0,∠A=116°， ∠BCD=180°-∠A=180°-116°=64°， :∠B0D=2LBCD=2×64°=128°， 故选：A. 14.(本题3分)如图在⊙0中，弦AB,CD相交于点P.若∠A=38°，∠APD=80°，则∠B的度数为 0 D 解：∠A=38°，∠APD=80°，∠APD=∠A+∠C, LC=42°， AD=AD, .∠B=∠C=42°， 故答案为：42°. 15.(本题3分)0P经过坐标原点0，分别与x轴、y轴交于点A、点B,点C是0P位于第一象限部分上 15 的一点，如图，若点A坐标为4,0)，点B坐标为0,3)，则cos∠0CA的值为 B O 解：如图，连接AB, B ,∠A0B=90°， .AB是OP的直径， 点A坐标为4,0)，点B坐标为0,3)， .0A=4,0B=3, .AB=V0A2+0B2=V42+32=5, OB 3 在RtAOBA中，c0S∠ABO= AB 5 .∠0BA=∠0CA, :c0s∠0CA=cos∠AB0=3 3 益谷案为：} 三、解答题（共55分） 16.(本题6分)如图，在O0中，BD=AC,∠A=∠D,求证： A 0 E B (1)AB=CD; 16 (2)BE=CE. (1)证明：，BD=AC, ·BD-AD=AC-AD' ∴.AB=CD, .AB=CD (2)证明：：AD=AD, .∠B=∠C, 又∠A=∠D,AB=CD, .ABE≌DCE(ASA), ..BE CE. 17.(本题7分)如图，△ABC分别交O0于点A,B,D,E,且AD=BE.求证：AC=BC D E 证明：AD=BE., .AD+DE=BE+DE' .AE=BD. .∠B=∠A. .AC=BC. 18.(本题8分)如图，在OO中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E,连接AC,AD. 17 E B (1)证明：∠ACD=∠ADC; (2)当AE=9,CD=6时，求00的半径. (1)解：：在OO中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD .AC AD :LACD=∠ADC (2)解：由(1)可知CE=DE=3 连接0C, D 设半径r,则OE=9-r 在Rta0CE中，32+(9-r2=r2 9+81-18r=0, 解得r=5 19.(本题8分)如图，已知AB是OO的直径，D是OO上一点，连接OD、BD,点C为AB延长线上一 点，连接CD,且∠BDC=∠B0D. 18 (1)证明：CD2=AC·BC; (2)若00的半径为2，CD=√5，求BC的长. (1)证明：∠BAD=∠B0D,∠BDC= ∠BOD ∠BAD=∠BDC. 又∠DCB=∠ACD, △CBD∽△CDA, CD CB CA CD ..CD2=AC.BC. (2)解：⊙0的半径为2， .AB=4. 由(1)可得CD2=AC.BC, 又CD=V5, ()=(4+BC).BC. BC=1或-5. :BC>0, BC=1. 20.(本题8分)如图，在⊙0中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E,连接AC,OC. y B (1)求证：LACD=LABC; (2)若BE=2,CD=8,求O0的半径. (1)证明：AB⊥CD,AB是直径， :AC=AD, .ZACD ZABC (2)解：设O0半径为r,则0E=r-2, 19 AB⊥CD,AB是直径， :.CE=DE=-CD=4, 由勾股定理得：OC2=OE2+CE2, 即r2=42+(-2)2, 解得：r=5, 即00半径为5. 21.(本题9分)如图，在⊙0中，直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,OD,AD,∠CAB=30°， ∠BAD=15°. 0 (1)计算：∠B0D= (2)求证：AC=AE; (3)若CD=4,求AD的长 (1)解：∠B0D=2∠BAD=2×15°=30° 故答案为：30 (2)证明：连接0C B BC所对的圆心角是∠BOC,∠BAC=30° LC0B=60° 又：∠B0D=30° :∠C0D=90° 而0C=0D :∠0CD=∠0DC=45° ·LACE=LAC0+L0CD=75 ÷∠AEC=180°-30°-75°=75° 20 ·LACE=∠AEC :.AC=AE (3)解：过点C作CM⊥AD于点M,连接BC 在Rt△0CD中，OC=OD,CD=4 .0C=0D=22 AB=4万 :AB是直径 :∠ACB=90° 在Rt△ABC中，∠CAB=30°， BC=22 :AC=VAB2-BC2-V4V2)2-(2V2)2=2N6 在RtAACM中，∠CAM=45°，∠AMC=90° :4W=CM-24C=巨x26=25 2 2 在RtACMD中，∠DCM=∠ACD-∠ACM=75°-45°=30°，CD=4 DM-CD-7x4-2 :AD=AM+DM =23+2 22.(本题9分)如图，AD是△ABC的外角LEAC的平分线，与ABC的外接圆⊙0交于点D, ∠EAC=120°. E E D D A A 备用图 21 (1)求BC的度数； (2)连接DB,DC,求证：DB=DC; (3)探究线段AD,AB,AC之间的数量关系，并证明你的结论， (1)解：如图，连接OB,0C. E D ∠EAC=120°， B ∠BAC=60°， :∠B0C=2∠BAC=2×60°=120°， 即BC的度数为120°。 (2)证明：：AD是△ABC的外角∠EAC的平分线， ∠D4C=∠E4C=号x120°=60°， 2 :∠DBC=∠DAC=60°， 结合(1)知∠BDC=LBAC=60°， △BDC是等边三角形， BD =CD. (3)解：AC=AD+AB,证明如下： 如图，延长AD至点F,使DF=AB,连接CF, E F B 四边形ABCD是OO的内接四边形， LADC+∠ABC=180°. :∠ADC+∠CDF=180°， ∴.∠ABC=∠CDF. 22 由(2)知△BDC是等边三角形， :BC=CD, .△FDC≌△ABC(SAS), ∠ACB=∠DCF,AC=CF, .∠ACF=∠BCD=60°， :△ACF是等边三角形， :AC AF AD+DF AD+AB. 23