第二章 实数的初步认识 高频易错题（单元达标检测）-2026-2027学年苏科版八年级上册数学

**基本信息** 实数初步认识单元达标检测，聚焦高频易错题，覆盖平方根、立方根、无理数等核心知识，结合数学阅读与文化情境，适配新授课达标检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10|平方根性质、无理数识别、估算应用|基础巩固（如无理数判断）到能力提升（如数轴化简），体现抽象能力| |填空|8|非负数性质、图形面积计算、数学阅读|含莱布尼茨级数应用等创新题，培养创新意识与模型观念| |解答|8|实数运算、《九章算术》情境题、近似值计算|综合题融合几何直观与推理意识，如圆与正方形周长比较，适配核心素养要求|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 第二章 实数的初步认识高频易错题（单元达标检测） 参考答案 1．D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 2．A 【详解】解：由题意，空白部分小正方形的面积为大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，大正方形的边长为长方形的长和宽的和， ∴， ∵， ∴. 3．B 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 4．B 【分析】依次根据平方根、立方根、算术平方根的定义以及非负数的性质，对四个判断进行分析． 【详解】解：∵正数的平方根有两个且互为相反数， ∴的平方根是，故①错误； ∵， ∴与互为相反数，故②正确； ∵，，且二者和为， ∴，， 解得，， ∴，故③正确； ∵， ∴的算术平方根不是，故④错误． 综上，正确的结论有个． 5．C 【分析】先根据图示判断出，，，然后化简进行计算即可． 【详解】解：∵a在0的左边，b在0的右边，且， ∴，，， ∴, , , ． 6．C 【分析】设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 7．D 【分析】先化简题目中的根式，再根据无理数定义逐一判断，统计个数． 【详解】解：是整数，是分数，是整数，均为有理数， 是无限不循环小数，是无理数，开方开不尽，是无理数，开方开不尽，是无理数，（相邻两个1之间逐渐增加1个零）是无限不循环小数，是无理数, 无理数共有个． 8．A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 9．C 【详解】解：∵万是四舍五入到千位得到的近似数，原数为整数人数，要使原数最大，需满足四舍条件，即百位数字最大为，个位和十位取最大数字， ∴最大原数为． 10．C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【解答】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 11． 【分析】根据算术平方根的非负性，两个非负数相加等于0，则两个算术平方根各自为0，列出二元一次方程组，解出a、b的值，再代入计算． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∴． 12． 【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为，， 两个正方形的边长分别为，， 长方形的长为，宽为， 两块阴影部分的面积和为． 13．4 【分析】先估算和的取值范围，找出二者之间包含的整数，再统计整数的个数． 【详解】解：， ， ， 找出与之间的整数：， 整数一共有个． 14． 【分析】本题考查无理数大小的估算，有理数的乘方计算，确定所在的整数范围是解题关键，通过比较相邻完全平方数得到的范围，进而求出的值，再计算即可． 【详解】解：，， ， ，且为正整数， ， 则． 15． 【分析】先确定原数的千万位位置，根据四舍五入法则对原数取近似值，再将结果用科学记数法表示即可 【详解】解：原数为， 确定千万位上的数字为，其下一位百万位上的数字为， ， 向千万位进，千万位，需继续向亿位进， 近似值为， 用科学记数法表示为 16． 【详解】解：当时，取该级数的前4项进行估算， 则， ． 17．9 【分析】根据题意可知，水位升高部分的圆柱体体积等于正方体的体积，根据圆柱和正方体的体积公式列方程，再利用立方根的意义求解，最后对结果取整数即可. 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，， 将代入， 可得：， ， ， 正方体的棱长为． 18． 【分析】先求出每个小正方体的边长，再求出魔方侧面的面积，则可得正方形的面积，由此即可得． 【详解】解：∵8个同样大小的正方体组成的魔方的体积为8， ∴每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的边长为， ∴魔方侧面正方形的边长为， ∴魔方侧面的面积为， 又∵正方形的面积是魔方侧面面积的一半， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为． 19． 【分析】先计算算术平方根、立方根，化简绝对值，再计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 20．【答案】（1）1 （2） 【分析】本题考查了平方根和立方根的性质： （1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数列方程求解； （2）根据立方根和算术平方根求出，代入代数式求解． 【详解】（1）解： 这个正数的其中一个平方根为， 这个正数为． （2）解：根据题意得， ， 解得； ， 的算术平方根为， 即， ， 的平方根为． 21．（1）121，11；（答案不唯一） （2）解：是完全平方数，理由如下：                                                  设， 则， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 即的算术平方根是48． 【分析】（1）根据题干信息进行求解即可； （2）设，整理得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是完全平方数，它的算术平方根为11； （2）略 22．（1）圆的半径为，正方形的边长为 （2） 解：圆的周长为，正方形的周长为， ∵， ∴正方形的周长较大． 【分析】（1）根据圆和正方形的面积公式求解； （2）分别计算圆和正方形的周长比较即可． 【详解】（1）解：∵一个圆与一个正方形的面积都是，设圆的半径为r，正方形的边长为a， ∴，， ∴，； （2）略 23．（1）， （2） 【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可； （2）把a与b的值代入计算，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：， ∴的平方根是． 24．（1） （2） （3） 【分析】（1）根据两点间的距离公式得到点、点的距离为，可知点表示的数为，根据“左减右加”可求的值； （2）先得到，，再根据非负数的性质计算即可； （3）根据相反数的定义得到，根据非负数的性质求出，求出的值，再求其立方根即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为1， ∴点、点的距离为， ∵点关于点的对称点为点， ∴点表示的数为， ∵一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为， ∴； （2）解：， ，， ． （3）解：与互为相反数， ， ， ， 解得 ， 的立方根是． 25．（1）3； （2）1； （3）19 【分析】（1）根据阅读材料解答即可； （2）根据阅读材料分别求得a和b的值，然后代入计算即可； （3）根据，可知，结合题意可求得x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的整数部分是3； （2）解：，，， ， 的小数部分是，即， ，，， ， 的整数部分是2，即， ； （3）解：由（2）得，， ∴， ∵，其中x是一个正整数，， ， ∴． 26．（1）小强的近似值为10.18，小丽的近似值精确度更高 （2） 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及完全平方公式是正确解答的关键． （1）利用题目所提供的方法进行计算即可； （2）估算无理数的大小，设，得到，忽略，求出的值即可． 【详解】（1）解：设， 则， 即， ， ． 比较小可以忽略不计， ，解得． 即的近似值为． ∴小丽的精确度较高． （2）由于，可设， ， 即， 由于，， 由于较小，忽略不计， ，解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 第二章 实数的初步认识高频易错题（单元达标检测） 一、选择题 1．已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 2．如图1，小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开，围成如图2所示的一个大正方形，则空白部分小正方形的边长的值是（     ） A． B． C． D． 3．已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 4．下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④的算术平方根是．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（     ） A．a B． C． D． 6．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 7．在实数0，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间逐渐增加1个零）中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．在如图所示的运算程序中，若输入的值是，则输出的值是（     ） A． B． C． D． 9．据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 10．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知实数a，b满足，则________． 12．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 13．如图，在数轴上，与之间的整数的个数是________． 14．若为正整数，且满足，的值是_____． 15．用四舍五入法对159897000000取近似值（用科学记数法表示），精确到千万位________． 16．【数学阅读】17世纪数学家莱布尼茨发现可以用级数表达：． 【数学应用】应用莱布尼茨的级数表达公式，估算：当时，的近似值为_________．（结果保留一位小数） 17．将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 18．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．图中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，则正方形的边长为______． 三、解答题 19．计算：． 20．按要求完成下列各题： （1）若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． （2）已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 21．若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，如1，4，9，16，25，…均为完全平方数． （1）请你写出一个大于100的完全平方数，并求出它的算术平方根； （2）是完全平方数吗？若是，请写出它的算术平方根；若不是，请说明理由． 22．我国古代《九章算术》中记载了“方田”、“圆田”面积计算方法，并提出“周三径一”的圆周率．结合所学知识，解决下列问题： 已知：一个圆与一个正方形的面积都是． （1）求圆的半径和正方形的边长（用含的式子表示） （2）圆和正方形中哪一个的周长较大？通过计算说明理由（精确到0.1）．（参考数据：，，） 23．已知的立方根是，的算术平方根是． （1）求，的值； （2）求的平方根． 24．已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点关于点的对称点为点，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为． （1）___________； （2）求的值； （3）在数轴上，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的立方根． 25．综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． （1）的整数部分是_________； （2）为的小数部分，为的整数部分，求的值； （3）已知，其中是一个正整数，，求的值． 26．【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． （1）小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 （2）请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 学科网（北京）股份有限公司 $