精品解析：2022年山东省泰安市泰山区中考数学模拟试卷（一）

2022年数学中考模拟试题（一） 第I卷（选择题 共48分） 一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分在给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1. 下列各组数中，互为相反数的有（ ） ①和 ②和 ③和 ④和 A. ④ B. ①② C. ①②③ D. ①②④ 2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. （﹣3mn）2=﹣6m2n2 B. 4x4+2x4+x4=6x4 C. （xy）2÷（﹣xy）=﹣xy D. （a﹣b）（﹣a﹣b）=a2﹣b2 4. 将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为（ ） A. 85° B. 75° C. 60° D. 45° 5. 某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（　　） A. 19，20，14 B. 19，20，20 C. 18.4，20，20 D. 18.4，25，20 6. 元旦期间，灯塔市辽东商业城“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动．某顾客在女装部购买了原价元，在男装部购买了原价元的服装各一套，优惠前需付元，而她实际付款元，根据题意列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 如果一次函数y=ax+b的图象如图所示，那么反比例函数y=和二次函数y=ax2+bx+c的图象只可能是（　　） A. B. C. D. 8. 已知整数使得关于的二元一次方程组的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有四个整数解，则所有满足条件的的和为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，四边形为的内接四边形，，垂足为点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，如果点A的坐标为(1，0)，那么点B2019的坐标为( ) A. (1，1) B. (0，) C. (-，0) D. (-1，1) 12. 如图，抛物线与轴交于点，对称轴为，与轴的交点在，之间(包含端点)，下列结论：(1)；(2)；(3)对于任意实数，总成立.其中正确结论的个数为( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对的3分） 13. 据统计，2018年中国粮食总产量达到65790万吨，数65790万用科学记数法表示为________________． 14. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为_______． 15. 填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=____． 16. 如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为____cm． 17. 我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作《海岛算经》中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？ 译文：今要测量海岛上一座山峰的高度，在B处和D处树立标杆和，标杆的高都是3丈，B和D两处相隔步（1丈=10尺，1步=6尺），并且和在同一平面内．从标杆后退123步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退127步的G处可以看到顶峰A和标杆顶端E在同一直线上．则山峰的高度是_______． 18. 如图①，在矩形中，E是上一点，点P从点B沿折线运动到点C时停止；点Q从点B沿运动到点C时停止，速度均为每秒1个单位长度．如果点P、Q同时开始运动，设运动时间为t，的面积为y，已知y与t的函数图象如图②所示，以下结论：①；②；③当时，；④当时，是等腰三角形；⑤当时，，中正确的有__________．（填序号） 三、解答题（共大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 化简，求值：，其中 20. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求： （1）A型自行车去年每辆售价多少元； （2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多． 21. 文化是一个国家、一个民族的灵魂，近年来，央视推出《中国诗词大会》、《中国成语大会》、《朗读者》、《经曲咏流传》等一系列文化栏目．为了解学生对这些栏目的喜爱情况，某学校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从《经曲咏流传》（记为A）、《中国诗词大会》（记为B）、《中国成语大会》（记为C）、《朗读者》（记为D）中选择自己最喜爱的一个栏目，也可以写出一个自己喜爱的其他文化栏目（记为E）．根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了多少名学生？ （2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数； （3）若选择“E”的学生中有2名女生，其余为男生，现从选择“E”的学生中随机选出两名学生参加座谈，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=S△AOB，求点P的坐标； （3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由． 23. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点． （1）求证：DE=EF； （2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由； （3）若AB=3，AE=，求BD的长． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标； （3）如图2，轴与抛物线相交于点E，点H是直线下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与，分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形的面积最大，求点H的坐标及最大面积； （4）若点K为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形的周长最小，求出点P，Q的坐标． 25. 已知，如图1，在▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△BFE； （2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K． ①求证：HC=2AK； ②当点G是边BC中点时，恰有HD=n•HK（n为正整数），求n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年数学中考模拟试题（一） 第I卷（选择题 共48分） 一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分在给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1. 下列各组数中，互为相反数的有（ ） ①和 ②和 ③和 ④和 A. ④ B. ①② C. ①②③ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】各项中两式计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：①，，互为相反数； ②，，互为相反数； ③，，不互为相反数； ④，，不互为相反数； 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，相反数，以及绝对值，熟练掌握运算法则和相反数的概念是解本题的关键． 2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知，这个几何体是 3. 下列运算正确的是（ ） A. （﹣3mn）2=﹣6m2n2 B. 4x4+2x4+x4=6x4 C. （xy）2÷（﹣xy）=﹣xy D. （a﹣b）（﹣a﹣b）=a2﹣b2 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方、合并同类项法则、同底数幂的除法和平方差公式逐一判断即可． 【详解】解：A项是积的乘方，其结果应该是乘方的积，所以错； B项是同类项的加法，应系数相加，字母和字母的指数不变，所以错； C项是是同底数幂相除，应该底数不变，指数相减，所以对； D项是平方差公式，其结果应该先提取-，所以也错． 故选C． 考点：整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；平方差公式 4. 将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为（ ） A. 85° B. 75° C. 60° D. 45° 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：如图1， ， ∵∠1=60°， ∴∠3=∠1=60°， ∴∠4=90°-60°=30°， ∵∠5=∠4， ∴∠5=30°， ∴∠2=∠5+∠6=30°+45°=75°． 故选B． 考点：平行线的性质． 5. 某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（　　） A. 19，20，14 B. 19，20，20 C. 18.4，20，20 D. 18.4，25，20 【答案】C 【解析】 【详解】解：由扇形统计图给出的数据可得销售20台的人数是：20×40%=8人，销售30台的人数是：20×15%=3人， 销售12台的人数是：20×20%=4人，销售14台的人数是：20×25%=5人， 所以这20位销售人员本月销售量的平均数是=18.4台； 把这些数从小到大排列，最中间的数是第10、11个数的平均数，所以中位数是20； 销售20台的人数最多，所以这组数据的众数是20． 故选：C． 【点睛】本题考查平均数；中位数；众数． 6. 元旦期间，灯塔市辽东商业城“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动．某顾客在女装部购买了原价元，在男装部购买了原价元的服装各一套，优惠前需付元，而她实际付款元，根据题意列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“优惠前需付元，而她实际付款元”，列出关于x，y的二元一次方程组，即可得到答案． 【详解】根据题意得：， 故选D． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，掌握等量关系，列出方程组，是解题的关键． 7. 如果一次函数y=ax+b的图象如图所示，那么反比例函数y=和二次函数y=ax2+bx+c的图象只可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合一次函数的性质得到a、b、a＋b的符号，再根据反比例函数、二次函数图像的相关知识以及性质判断其图像. 【详解】由y＝ax＋b的图像可知，a＜0，b＞0，且当x等于1时，y＜0，即a＋b＜0. 因此y＝的图像应该在二、四象限. ∵a＜0，b＞0，﹣＞0 ∴y＝ax2＋bx＋c图像的开口向下，且对称轴在y轴右侧. 综上可知D项正确. 【点睛】本题主要考查了了反比例函数、二次函数图像与系数的关系以及一次函数的性质，得出a、b、a＋b的符号是解答此题的关键. 8. 已知整数使得关于的二元一次方程组的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有四个整数解，则所有满足条件的的和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的整数解，解二元一次方程组得到或或，由不等式组有且仅有四个整数解得或或，即可得到所有满足条件的的和，正确掌握解方程组的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：由， 得：， ∵二元一次方程组的解为正整数， ∴或或， 由得， ∵关于的不等式组有且仅有四个整数解， ∴，解得：， ∵为整数， ∴或或， ∴所有满足条件的的和为， 故选：． 9. 如图，四边形为的内接四边形，，垂足为点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠ABC的度数，利用互余得出∠BAE的度数，进而利用垂径定理和圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ADC＝130°， ∴∠ABE＝180°−130°＝50°， ∵AO⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝40°， ∵AO⊥BC， ∴BC＝2BE， ∴∠BDC＝2∠BAE＝80°， 故选D． 【点睛】本题主要考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，求得∠ABC的度数是解题的关键． 10. 关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程有实数根得出△≥0且m-5≠0，求出不等式的解集即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根， ∴△=22-4（m-5）×2≥0且m-5≠0， 解得：m≤5.5且m≠5， m的最大整数解为4， 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，如果点A的坐标为(1，0)，那么点B2019的坐标为( ) A. (1，1) B. (0，) C. (-，0) D. (-1，1) 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论． 【详解】如图： ∵四边形OABC是正方形，且OA=1， ∴B（1，1）， 连接OB， 由勾股定理得：OB=， 由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…=， ∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1， 相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°， ∴B1（0，），B2（-1，1），B3（-，0），…， 发现是8次一循环，所以2019÷8=252…3， ∴点B2019的坐标为（-，0） 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型． 12. 如图，抛物线与轴交于点，对称轴为，与轴的交点在，之间(包含端点)，下列结论：(1)；(2)；(3)对于任意实数，总成立.其中正确结论的个数为( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴为直线，即可对于结论作出判断； 利用二次函数图象经过结合可得出，再结合抛物线与y轴交点的位置即可得出，结论正确； 由抛物线的顶点坐标及，可得出y的最大值，进而可得出对于任意实数m，总成立，结论正确； 【详解】解：对称轴， ， ． 故结论正确； 抛物线与x轴交于点，， ， ． 又抛物线与y轴的交点在，之间包含端点， ， ，结论正确； ，设顶点坐标为， ，且， 对于任意实数m，总成立，结论正确； 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据对称轴表示出a、b的关系． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对的3分） 13. 据统计，2018年中国粮食总产量达到65790万吨，数65790万用科学记数法表示为________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：万． 14. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先连接CC'，可以得到CC′是角EC'D的平分线，所以CB′=CD 又AB′=AB，所以B′是对角线中点，AC=2AB，所以∠ACB=30°，即可得出答案． 【详解】解：连接CC′， ∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处 ∴EC=EC′，∴∠EC′C=∠ECC′， ∵∠DC′C=∠ECC′，∴∠EC′C=∠DC′C. ∴CC′是∠EC'D的平分线． ∵∠CB′C′=∠D=90°，C′C=C′C， ∴△CB′C′≌△CDC′（AAS）．∴CB′=CD． 又∵AB′=AB，∴B′是对角线AC中点，即AC=2AB． ∴∠ACB=30°． ∴tan∠ACB=tan30°=． ∴BC：AB=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质和角平分线的判定与性质，解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质，得出CC′是∠EC′D的平分线是解题关键． 15. 填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=____． 【答案】110 【解析】 【详解】试题分析：根据前三个正方形中的数字规律可知：C所处的位置上的数字是连续的奇数，所以c=9，而a所处的位置上的数字是连续的偶数，所以a=10，而b=ac+1=9×10+1=91，所以a+b+c=9+10+91=110． 考点：数字规律． 16. 如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为____cm． 【答案】． 【解析】 【详解】根据题意，圆心角是：360×（1﹣）=240°，则弧长是：（cm）． 设圆锥的底面半径是r， ∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长， ∴根据圆的周长公式，得，解得． 又∵圆锥的母线、高和底面半径构成直角三角形， ∴圆锥的高是：（cm）． 考点：圆锥和扇形的计算，勾股定理． 17. 我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作《海岛算经》中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？ 译文：今要测量海岛上一座山峰的高度，在B处和D处树立标杆和，标杆的高都是3丈，B和D两处相隔步（1丈=10尺，1步=6尺），并且和在同一平面内．从标杆后退123步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退127步的G处可以看到顶峰A和标杆顶端E在同一直线上．则山峰的高度是_______． 【答案】1255步 【解析】 【分析】先证、可得、，再结合可得，进而求得（步），最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴（步）， 又∵， ∴（步）， 故答案为：1255步． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、相似三角形的应用等知识点，根据题意、正确找到相似三角形是解答本题的关键． 18. 如图①，在矩形中，E是上一点，点P从点B沿折线运动到点C时停止；点Q从点B沿运动到点C时停止，速度均为每秒1个单位长度．如果点P、Q同时开始运动，设运动时间为t，的面积为y，已知y与t的函数图象如图②所示，以下结论：①；②；③当时，；④当时，是等腰三角形；⑤当时，，中正确的有__________．（填序号） 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】根据题意，确定，的运动状态，得到、、问题可解． 【详解】解：由图象可知，当时，值不变，则此时，从到运动，Q在C点， ∴，，故①正确； ∴， 在中，， ，故②错误； 当时，，， 在矩形中，， ∴， ∴， 过点作， 则， ∴，故③正确； 当时，Q在C点，在点右侧2个单位，此时， ∴， ∴不是等腰三角形，故④错误； 当时，点P由D向C运动，Q在C点，的面积为，则⑤正确； ∴正确的有①③⑤． 三、解答题（共大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 化简，求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值和分母有理化，先通分计算小括号内的减法，再利用分式的除法法则进行化简，再将代入即可； 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求： （1）A型自行车去年每辆售价多少元； （2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多． 【答案】（1）2000元；（2）A型车20辆，B型车40辆 【解析】 【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可； （2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值． 【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得： ， 解得：x=2000． 经检验，x=2000是原方程的根． 答：去年A型车每辆售价为2000元； （2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得 y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a）， y=－300a+36000． ∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍， ∴60-a≤2a， ∴a≥20． ∵y=－300a+36000． ∴k=－300＜0， ∴y随a的增大而减小． ∴a=20时，y最大=30000元． ∴B型车的数量为：60-20=40辆． ∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程． 21. 文化是一个国家、一个民族的灵魂，近年来，央视推出《中国诗词大会》、《中国成语大会》、《朗读者》、《经曲咏流传》等一系列文化栏目．为了解学生对这些栏目的喜爱情况，某学校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从《经曲咏流传》（记为A）、《中国诗词大会》（记为B）、《中国成语大会》（记为C）、《朗读者》（记为D）中选择自己最喜爱的一个栏目，也可以写出一个自己喜爱的其他文化栏目（记为E）．根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了多少名学生？ （2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数； （3）若选择“E”的学生中有2名女生，其余为男生，现从选择“E”的学生中随机选出两名学生参加座谈，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率． 【答案】（1）共调查了150名学生；（2）补图见解析；扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为36°；（3）. 【解析】 【详解】【分析】（1）由A栏目人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数乘以D栏目所占百分比求得其人数，再用总人数减去其他栏目人数求得B的人数即可补全图形，用360°乘以B人数所占比例可得； （3）列表得出所有等可能结果，然后利用概率的计算公式即可求解 【详解】（1）30÷20%=150（人）， ∴共调查了150名学生． （2）D：50%×150=75（人），B：150﹣30﹣75﹣24﹣6=15（人） 补全条形图如图所示． 扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为×360°=36°； （3）记选择“E”的同学中的2名女生分别为N1，N2，4名男生分别为M1，M2，M3，M4， 列表如下： N1 N2 M1 M2 M3 M4 N1 （N1，N2） （N1，M1） （N1，M2） （N1，M3） （N1，M4） N2 （N2，N1） （N2，M1） （N2，M2） （N2，M3） （N2，M4） M1 （M1，N1） （M1，N2） （M1，M2） （M1，M3） （M1，M4） M2 （M2，N1） （M2，N2） （M2，M1） （M2，M3） （M2，M4） M3 （M3，N1） （M3，N2） （M3，M1） （M3，M2） （M3，M4） M4 （M4，N1） （M4，N2） （M4，M1） （M4，M2） （M4，M3） ∵共有30种等可能的结果，其中，恰好是同性别学生（记为事件F）的有14种情况， ∴P（F）=． 【点睛】本题考查了条形图、扇形图、列表法或树状图法求概率，读懂统计图，从统计图中获取必要的解题信息是解题的关键. 22. 如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=S△AOB，求点P的坐标； （3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由． 【答案】（1）；（2）P（，0）；（3）E（，﹣1），在． 【解析】 【分析】（1）将点A（，1）代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）先由射影定理求出BC=3，那么B（，﹣3），计算求出S△AOB=××4=．则S△AOP=S△AOB=．设点P的坐标为（m，0），列出方程求解即可； （3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根据旋转的性质求出E点坐标为（﹣，﹣1），即可求解． 【详解】（1）∵点A（，1）在反比例函数的图象上， ∴k=×1=， ∴反比例函数的表达式为； （2）∵A（，1），AB⊥x轴于点C， ∴OC=，AC=1，由射影定理得=AC•BC， 可得BC=3，B（，﹣3），S△AOB=××4=， ∴S△AOP=S△AOB=． 设点P的坐标为（m，0）， ∴×|m|×1=， ∴|m|=， ∵P是x轴的负半轴上的点， ∴m=﹣， ∴点P的坐标为（，0）； （3）点E在该反比例函数的图象上，理由如下： ∵OA⊥OB，OA=2，OB=，AB=4， ∴sin∠ABO===， ∴∠ABO=30°， ∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE， ∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，∴BO=BD=，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，而BD﹣OC=，BC﹣DE=1， ∴E（，﹣1）， ∵×（﹣1）=， ∴点E在该反比例函数的图象上． 考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；坐标与图形变化-旋转． 23. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点． （1）求证：DE=EF； （2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由； （3）若AB=3，AE=，求BD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2证明见解析；（3）BD=1. 【解析】 【分析】（1）先根据等角对等边得出EA=ED，再在Rt△ADF中根据直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等得出∠EAC=∠F，得出EA=EF，等量代换即可解决问题； （2）结论：BD=CF．如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM．想办法证明DM=CF，DM=BD即可； （3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．设BD=x，则DN=，DE=AE=，由∠B=45°，EN⊥BN．推出EN=BN=x+=，在Rt△DEN中，根据DN2+NE2=DE2，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1中， ， ，， ， ， ，， ． （2）解：结论：． 理由：如图2中，在上取一点，使得，连接． ．，． ， ，， ， ， ， ， ， ． （3）如图3中，过点作交于点． ，， ， 设，则，， ，． ， 在中，， 解得或（舍弃） ． 【点睛】本题是一道三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标； （3）如图2，轴与抛物线相交于点E，点H是直线下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与，分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形的面积最大，求点H的坐标及最大面积； （4）若点K为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形的周长最小，求出点P，Q的坐标． 【答案】（1） （2）D的坐标为或 （3），四边形的面积最大为 （4） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式； （2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点的坐标； （3）先求出直线的解析式，进而求出四边形的面积的函数关系式，即可求出最大值； （4）利用对称性找出点的位置，进而求出的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ， ， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图1，令，则， ， ， ， ， 要使以为顶点的三角形与相似， ，且中三个角都是锐角， 则有或， ①当时，， ； ②当时， ， ， ， 即：的坐标为或． 【小问3详解】 解：设， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵E在抛物线上， ， （舍去）或， ， ， ， ∴设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ， ， ∵轴，轴， ， ∴， 当时，四边形的面积最大为． 当时，， ； 【小问4详解】 解：如图2，∵K为抛物线的顶点， ， ∴K关于轴的对称点， ∵在抛物线上， ∴； ， ∴点关于轴的对称点， 连接， 根据轴对称可得， ∴四边形的周长， ∵为定点， ∴为定值， ∴当四点共线时，四边形的周长最小， 设直线的解析式为，将，代入解析式得， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 令得​，令得， ． 25. 已知，如图1，在▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△BFE； （2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K． ①求证：HC=2AK； ②当点G是边BC中点时，恰有HD=n•HK（n为正整数），求n的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）n=4． 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是两三角形全等的判定，平行四边形的性质点的综合应用，解题时先根据已知条件证明△ADE≌△BFE，再根据两三角形相似的判定，等量代换得出边的大小关系 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE， 在△ADE和△BFE中， ， ∴△ADE≌△BFE； （2）如图2，作BN∥HC交EF于N， ∵△ADE≌△BFE， ∴BF=AD=BC， ∴BN=HC， 由（1）的方法可知，△AEK≌△BEN， ∴AK=BN， ∴HC=2AK； （3）如图3，作GM∥DF交HC于M， ∵点G是边BC中点， ∴CG=CF， ∵GM∥DF， ∴△CMG∽△CHF， ∴==， ∵AD∥FC， ∴△AHD∽△GHF， ∴===， ∴=， ∵AK∥HC，GM∥DF， ∴△AHK∽△HGM， ∴==， ∴=，即HD=4HK， ∴n=4． 【点睛】此题重点考查学生对于三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质的综合应用能力，熟练掌握判定条件和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $