精品解析：2022年山东省泰安市中考数学模拟试题（8）

2022年泰安数学中考模拟试题（八） 数学试题 考试时间：120分钟；共150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，在每个题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 乘积为的两个数互为倒数，又 ， ∴ 的倒数是． 2. 下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义∶把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可． 【详解】解：A．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； B．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； C．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； D．符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键． 3. 一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 球 【答案】A 【解析】 【详解】分析：综合该物体的三种视图，分析得出该立体图形是圆柱体． 详解：A、圆柱的三视图分别是长方形，长方形，圆，正确； B、圆锥体的三视图分别是等腰三角形，等腰三角形，圆及一点，错误； C、长方体的三视图都是矩形，错误； D、球的三视图都是圆形，错误； 故选A． 点睛：本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 4. 下列计算正确的是（　　） A. （a+b）2＝a2+b2 B. a2+2a2＝3a4 C. x2yx2（y≠0） D. （﹣2x2）3＝﹣8x6 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关的运算法则即可求出答案． 【详解】A.原式=a2+2ab+b2，故A错误； B.原式=3a2，故B错误； C.原式=x2y2，故C错误； D. （﹣2x2）3＝﹣8x6，正确； 故选D． 【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型． 5. 如图，一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，并作出适当的辅助线是解题的关键．由题可得，，，设，相交于点G，过点G作，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：由题知，，， ， 如图，设，相交于点G，过点G作，则， ，， ， ， ． 故选：B． 6. 某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表： 金额/元 5 10 20 50 100 人数 4 16 15 9 6 则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（　　） A. 10，20.6 B. 20，20.6 C. 10，30.6 D. 20，30.6 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；可知共有50个数，且中位数是第25、26个数的平均数，可得中位数是（20+20）÷2=20； 平均数=（5×4+10×16+20×15+50×9+100×6）=30.6； 故选D． 考点：1、中位数；2、统计表；3、加权平均数 7. 小李家去年节余50000元，今年可节余95000元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为x元，支出为y元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：①去年的收入-支出=50000元；②今年的收入-支出=95000元，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】设去年的收入为x元，支出为y元， 由题意得：， 故选B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系． 8. 二次函数的图象如图，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，正确记忆相关图象的分布是解题关键． 直接利用抛物线图象得出a,b,c的符号，进而利用一次函数和反比例函数的性质得出符合题意的图象． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴a.b同号， ， ∵抛物线与y轴交在正半轴， ， ， 则函数的图象分布在第二、四象限， 函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：B． 9. 关于的不等式组恰好只有四个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．此题可先根据一元一次不等式组解出的取值，再根据不等式组恰好只有四个整数解，求出实数的取值范围． 【详解】解：由不等式，可得， 由不等式，可得， 由以上可得不等式组的解集为：， 因为不等式组恰好只有四个整数解， 可得：， 解得， 故选：C 10. 如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得和则可求得答案． 【详解】解：∵分别切于A、B，切于点E， ∴， ∴， 即的周长为12， 故选：D． 11. 如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先根据扇形的面积公式S=L•R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可． 详解：设圆锥的母线长为R，由题意得 　15π=π×3×R，解得R=5， ∴圆锥的高为4， ∴sin∠ABC=． 故选C． 点睛：本题考查了圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比． 12. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 有以下几个结论： ①抛物线的开口向下； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和2 ④当时，x的取值范围是或 其中正确的是（ ）． A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中的、的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将、、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 由知抛物线的开口向上，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，故②错误； 当时，，解得或， 方程的根为0和2，故③正确； 当时，，由函数图像解得或，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 13. 新型冠状病毒是一种形状为冠状的病毒，其直径大约为，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000000102=1.02×10-7， 故答案为：1.02×10-7． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 14. 关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是__． 【答案】4 【解析】 【分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根， ∴△=4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0， 解得m≤5.5，且m≠5， 则m的最大整数解是m=4． 故答案为m=4． 【点睛】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根． 15. 如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，根据等腰三角形的判定得出，在中解直角三角形即可解答； 【详解】解：如图，过作于，则就是灯塔到环海路的距离， 依题意，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴灯塔到环海路的距离为米． 16. 如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到，利用得到，由全等三角形对应边相等得到，过作，利用勾股定理及面积法求出与的长，即可确定出坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵矩形， ∴，， ， 由折叠得：，，， ， ， 在和中，， ， ， 设，则有， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， 即， 过作， ， ， ∴， 则． 17. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝12，∠ABC＝90°，点D为AC上一点，tan∠ADB＝3，过D作ED⊥BD，且DE＝BD，连接BE，AE，EC，点F为EC中点，连接DF，则DF的长为______． 【答案】2 【解析】 【详解】如图，作BM⊥AC于M，EH⊥AC于H，在HM上截取HN=AH，连接EN． ∵∠EHD=∠BMD=∠EDB=90°，∴∠DBM+∠BDM=90°，∠BDM+∠EDH=90°，∴∠DBM=∠EDH， ∵DE=DB，∴△BMD≌△DHE，∴BM=DH，DM=EH，∵tan∠ADB==3，设DM=a，则BM=DH=3a，∵AB=BC，∠ABC=90°，BM⊥AC，∴AM=CM=BM=3a，∵AM=DH，∴AH=DM=EH=a，∴AH=HN=MN=a，DN=2a，CD=2a，∴CD=DN，∵EF=FC，∴DF=EN=a，∵AB=BC=12，∴AC=6a=12，∴a=2，∴DF=2．故答案为2． 18. 设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)，已知，，则___________. 【答案】4035 【解析】 【详解】【分析】整理得，从而可得an+1-an=2或an=-an+1，再根据题意进行取舍后即可求得an的表达式，继而可得a2018. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴an+1=an+1-1或an+1=-an+1+1， ∴an+1-an=2或an=-an+1， 又∵是一列正整数， ∴an=-an+1不符合题意，舍去， ∴an+1-an=2， 又∵a1=1， ∴a2=3，a3=5，……，an=2n-1， ∴a2018=2×2018-1=4035， 故答案为4035. 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出an+1-an=2. 三．解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 先化简，再求值：÷，其中m是方程x2＋2x－3＝0的根． 【答案】， 【解析】 【分析】先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x2+3x－1=0的根，那么m2+3m－1=0，可得m2+3m的值，再把m2+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可． 【详解】解：原式= ∵m是方程x2 +2x－3=0的根， ∴ m2+2m－3=0， ∴m=－3或m=1， ∵m+3≠0， ∴m≠－3， ∴m=1． 当m=1时，原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体代入． 20. “赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有名学生参加决赛，这名学生同时默写首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表： 组别 成绩分 频数（人数） 第1组 6 第2组 8 第3组 第4组 第5组 请结合图表完成下列各题： （1）①求表中的值；②频数分布直方图补充完整； （2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是__． （3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率． 【答案】（1）①12； ②见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①根据各组频数之和等于总数可得的值；②由频数分布表即可补全直方图； （2）用成绩大于或等于80分的人数除以总人数可得； （3）列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：①由题意和表格，可得：， 故答案为：12； ②补充完整的频数分布直方图如下图所示， 【小问2详解】 解：测试成绩不低于80分为优秀， 本次测试的优秀率是：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设小明和小强分别为、，另外两名男同学为：、， 树状图如下图所示， 则小明和小强分在一组的可能性有4种，一共有12种可能性， 所以小明和小强分在一组的概率为：． 【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率． 21. 如图，直线y=﹣x+b与反比例函数的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB． （1）求k和b的值； （2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围； （3）在y轴上是否存在一点P，使？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）b=5，k=4（2）x＞4或0＜x＜1（3）P（0，3）或P（0，﹣3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可得到结论； （2）由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：列方程，求得B（4，1），再根据图象中的信息即可得到结论； （3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，得 ，由已知条件得到 ，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）将A（1，4）分别代入y=﹣x+b和 得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4； （2）由（1）知，b=5，k=4， ∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为： 由，解得：x=4，或x=1， ∴B（4，1）， ∴一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1， （3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴， ∴， ∵， ∴， 过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t）， ∴S△PAC=OP•CD+OP•AE=OP（CD+AE）=|t|=3， 解得：t=3，t=﹣3， ∴P（0，3）或P（0，﹣3）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 顺丰快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，已知购买1台甲型机器人比购买1台乙型机器人贵2万元，且用16万元购回乙型机器人的台数与24万元购回甲型机器人的台数相同． （1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； （2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？ 【答案】（1）甲种型号机器人每台的价格是6万元，则乙种型号机器人每台的价格是4万元； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）设甲种型号机器人每台的价格是x万元，则乙种型号机器人每台的价格是万元，然后根据等量关系“用16万元购回乙型机器人的台数与24万元购回甲型机器人的台数相同”列出分式方程求解即可； （2）设购买甲种机器人m台，则购买乙种机器人台，然后根据题意列不等式组确定m的取值范围，进而确定两种机器人的数量；然后分别求出费用，最后比较即可解答． 【小问1详解】 解：设甲种型号机器人每台的价格是x万元，则乙种型号机器人每台的价格是万元， 根据题意得： ，解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合实际意义， （万元）． 答：甲种型号机器人每台的价格是6万元，则乙种型号机器人每台的价格是4万元． 【小问2详解】 解：设购买甲种机器人m台，则购买乙种机器人台， 根据题意得：， 解得：， 当时，， 即购买甲种机器人2台，乙种机器人6台，费用为：（万元）， 当， 即购买甲种机器人3台，乙种机器人5台，费用为：（万元）， 当， 即购买甲种机器人4台，乙种机器人4台，费用为：（万元）． 综上可知：购买甲种机器人2台，乙种机器人6台费用最低，最低费用是36万元． 答：该公司有三种购买方案，分别是：①购买甲种机器人2台，乙种机器人6台，②购买甲种机器人3台，乙种机器人5台，③购买甲种机器人4台，乙种机器人4台，其中购买甲种机器人2台，乙种机器人6台费用最低，最低费用是36万元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，根据题意列出分式方程和不等式组是解答本题的关键． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC． ∴∠DAE=∠AEB． ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE． ∴∠BAE=∠AEB． ∴AB=BE． 同理：AB=AF． ∴AF=BE． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB=BE， ∴四边形ABEF是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形； （2）作PH⊥AD于H，由菱形的性质得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB==30°，AP⊥BF，得PH=，AH=1，则DH=5，然后由锐角三角函数的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作PH⊥AD于H，如图所示： ∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4， ∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB==30°，AP⊥BF， ∴AP=AB=2， ∴AH=AP=1，PH=， ∴DH=AD-AH=5， ∴tan∠ADP= 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定．勾股定理以及三角函数定义等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C． （1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点且在直线BC下方，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P的横坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2；（2）点P的横坐标为6；（3）QP=7． 【解析】 【详解】试题分析：（1）通过解方程ax2-5ax+4a=0可得到A（1，0），B（4，0），然后利用三角形面积公式求出OC得到C点坐标，再把C点坐标代入y=ax2-5ax+4a中求出a即可得到抛物线的解析式； （2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2-5ax+4a），则PD=-ax2+5ax，通过证明Rt△PCD∽Rt△CBO，利用相似比可得到（-ax2+5ax）：（-4a）=x：4，然后解方程求出x即可得到点P的横坐标； （3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3，先证明∠HAP=∠KPA得到HA=HP，由于P（6，10a），则可得到-10a=6-1，解得a=-，再判断Rt△PFG单位等腰直角三角形得到FG=PG=PF=2，接着证明△AKH≌△KFG，得到KH=FG=2，则K（6，2），然后利用待定系数法求出直线KB的解析式为y=x-4，再通过解方程组得到Q（-1，-5），利用P、Q点的坐标可判断PQ∥x 轴，于是可得到QP=7． 试题解析：（1）当y=0时，ax2-5ax+4a=0，解得x1=1，x2=4，则A（1，0），B（4，0）， ∴AB=3， ∵△ABC的面积为3， ∴•4•OC=3，解得OC=2，则C（0，-2）， 把C（0，-2）代入y=ax2-5ax+4a得4a=-2，解得a=-， ∴抛物线的解析式为y=-x2+x-2； （2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2-5ax+4a），则PD=4a-（ax2-5ax+4a）=-ax2+5ax， ∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠BCD， ∵∠BCP=2∠ABC， ∴∠PCD=∠ABC， ∴Rt△PCD∽Rt△CBO， ∴PD：OC=CD：OB， 即（-ax2+5ax）：（-4a）=x：4，解得x1=0，x2=6， ∴点P的横坐标为6； （3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3， ∵AK=FK， ∴∠KAF=∠KFA， 而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF， ∵∠KAH=∠FKP， ∴∠HAP=∠KPA， ∴HA=HP， ∴△AHP为等腰直角三角形， ∵P（6，10a）， ∴-10a=6-1，解得a=-， 在Rt△PFG中，∵PF=-4a=2，∠FPG=45°， ∴FG=PG=PF=2， 在△AKH和△KFG中 ∴△AKH≌△KFG， ∴KH=FG=2， ∴K（6，2）， 设直线KB的解析式为y=mx+n， 把K（6，2），B（4，0）代入得 ， 解得 ， ∴直线KB的解析式为y=x-4， 当a=- 时，抛物线的解析式为y=-x2+x-2， 解方程组， 解得 或 ， ∴Q（-1，-5）， 而P（6，-5）， ∴PQ∥x 轴， ∴QP=7． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用全等三角形的知识证明线段相等和相似比计算线段的长． 25. （1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　 　； ②∠AMB的度数为　 　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 【答案】（1）①1；②40°；（2），90°；（3）AC的长为3或2． 【解析】 【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1； ②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°； （2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则，由全等三角形的性质得∠AMB的度数； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，，可得AC的长． 【详解】（1）问题发现： ①如图1， ∵∠AOB=∠COD=40°， ∴∠COA=∠DOB， ∵OC=OD，OA=OB， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC=BD， ∴ ②∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO=∠DBO， ∵∠AOB=40°， ∴∠OAB+∠ABO=140°， 在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°， （2）类比探究： 如图2，，∠AMB=90°，理由是： Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴， 同理得：， ∴， ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴ ，∠CAO=∠DBO， 在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°； （3）拓展延伸： ①点C与点M重合时，如图3， 同理得：△AOC∽△BOD， ∴∠AMB=90°，， 设BD=x，则AC=x， Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1， ∴CD=2，BC=x-2， Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=， ∴AB=2OB=2， 在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， (x)2+(x−2)2＝(2)2， x2-x-6=0， （x-3）（x+2）=0， x1=3，x2=-2， ∴AC=3； ②点C与点M重合时，如图4， 同理得：∠AMB=90°，， 设BD=x，则AC=x， 在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， (x)2+（x+2）2=(2)2. x2+x-6=0， （x+3）（x-2）=0， x1=-3，x2=2， ∴AC=2；. 综上所述，AC的长为3或2． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年泰安数学中考模拟试题（八） 数学试题 考试时间：120分钟；共150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，在每个题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 球 4. 下列计算正确的是（　　） A. （a+b）2＝a2+b2 B. a2+2a2＝3a4 C. x2yx2（y≠0） D. （﹣2x2）3＝﹣8x6 5. 如图，一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（   ） A. B. C. D. 6. 某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表： 金额/元 5 10 20 50 100 人数 4 16 15 9 6 则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（　　） A. 10，20.6 B. 20，20.6 C. 10，30.6 D. 20，30.6 7. 小李家去年节余50000元，今年可节余95000元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为x元，支出为y元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 关于的不等式组恰好只有四个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 11. 如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（　　） A. B. C. D. 12. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 有以下几个结论： ①抛物线的开口向下； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和2 ④当时，x的取值范围是或 其中正确的是（ ）． A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 13. 新型冠状病毒是一种形状为冠状的病毒，其直径大约为，将用科学记数法表示为______． 14. 关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是__． 15. 如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米． 16. 如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_____． 17. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝12，∠ABC＝90°，点D为AC上一点，tan∠ADB＝3，过D作ED⊥BD，且DE＝BD，连接BE，AE，EC，点F为EC中点，连接DF，则DF的长为______． 18. 设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)，已知，，则___________. 三．解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 先化简，再求值：÷，其中m是方程x2＋2x－3＝0的根． 20. “赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有名学生参加决赛，这名学生同时默写首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表： 组别 成绩分 频数（人数） 第1组 6 第2组 8 第3组 第4组 第5组 请结合图表完成下列各题： （1）①求表中的值；②频数分布直方图补充完整； （2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是__． （3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率． 21. 如图，直线y=﹣x+b与反比例函数的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB． （1）求k和b的值； （2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围； （3）在y轴上是否存在一点P，使？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由． 22. 顺丰快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，已知购买1台甲型机器人比购买1台乙型机器人贵2万元，且用16万元购回乙型机器人的台数与24万元购回甲型机器人的台数相同． （1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； （2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？ 23. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C． （1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点且在直线BC下方，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P的横坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长． 25. （1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　 　； ②∠AMB的度数为　 　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $