2.10.4 抛物线-【创新教程】2022-2026五年高考数学真题分类特训

最新真题分类特训·数学 第4节 [考点1]抛物线的定义及标准方程 1.(2026·全国I卷，5)已知抛物线C:y2= 2p1x(p1>0)和C2:x2=2p2y(p2>0)均经 过点(4,8)，则C1的焦点与C2的焦点之间 的距离为 () A.12 B.45 C.6 n质 2.(2022·全国乙卷（理），5)设F为抛物线C: y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0),若 AF|=|BF|,则|AB|= () A.2 B.22 C.3 D.3√2 3.(2025·北京卷，11)抛物线y2=2px(p>0) 的顶点到焦点的距离为3，则p= 4.(2024·北京卷，11)已知抛物线y2=16x, 则焦点坐标为 5.(2024·上海卷，7)已知抛物线y2=4x上有 一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴 的距离为 6.(2023·全国乙卷（理），13)已知点A(1, √5)，在抛物线C:y2=2px(p>0)上，则A 到C的准线的距离为 [考点2]抛物线的几何性质 1.(2025·全国二卷，6)设抛物线C:y2=2px (p>0)的焦点为F,点A在C上，过点A作 C的准线的垂线，垂足为B,若直线BF的方 程为y=一2x十2，则AF|= A.3 B.4 C.5 D.6 2.(2025·全国一卷，10)（多选）设抛物线C: y2=6x的焦点为F,过F的直线交C于A、 B两点，过A作直线1：x=一 的垂线.垂 足为D,过F作垂直于AB的直线交L于 E,则 () A.AD=AF B.AE=AB C.|AB≥6 D.1AE·BE≥18 抛物线 3.(2024·新课标Ⅱ卷，10)（多选）抛物线C: y=4x的准线为1，P为C上的动点.过P 作⊙A:x2十(y一4)2=1的一条切线，Q为 切点.过P作L的垂线，垂足为B.则( ) A.1与⊙A相切 B.当P,A,B三点共线时，|PQ=15 C.当|PB|=2时，PA⊥AB D.满足|PA|=|PB的点P有且仅有2个 4.(2024·天津卷，12)(x一1)2+y2=25的圆 心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合， A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距 离为 [考点3]直线与抛物线的位置关系 1.(2026·全国Ⅱ卷，11)（多选）已知抛物线 E:y2=8x,有一斜率为k(k>0)的直线1经 过点（一1,0），等边三角形ABC的顶点A 在E上，顶点B,C均在1上.下列结论正确 的有 () A.E的准线方程为x=一2 B.若1与E没有公共点，则k>√2 C.若L与E的唯一公共点为B,则E的焦点 在直线AB上 D.若=2，则△ABC面积的最小值为日 15 2.(2023·新课标Ⅱ卷，10)（多选）设O为坐 标原点，直线y=一√3(x一1)过抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M,N 两点，l为C的准线，则 () A.p=2 B.IMNI=8 3 C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 3.(2022·新高考I卷，11)（多选）已知O为 坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py (p>0)上，过点B(0,一1)的直线交C于P, Q两点，则 A.C的准线为y=一1 B.直线AB与C相切 C.1OP|·1OQ1>|OA|2 D.BP|·BQ|>|BA|2 0 4.(2022·新高考Ⅱ卷，10)（多选）已知O为坐标 原点，过抛物线C:y=2px(p>0)焦点F的直 线与C交于A,B两点，其中A在第一象限，点 M(p,0).若|AF=AM,则 () A.直线AB的斜率为2√6 B.OB=OF C.AB>4OF D.∠OAM+∠OBM<180° 5.(2026·天津卷，15)在平面内，O为坐标原 点，抛物线y2=2x上有A,B,C,D四个点， A,B,C,D的纵坐标分别为yA,yByc,yD, 直线AB、直线CD交x轴于点P,AC交x 轴于点M,BD交x轴于点N,以下说法正 确的有 ①若M与抛物线焦点重合，则yAyB=一2； ②yA·yB=yc·yD; ③OMON|=2OP|2; lyA-ycIlOPI=B-DOMI; 1OM1)2 S△BDP (ION· 6.(2023·新课标I卷，22)(12分)在直角坐 标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P 到点0，)的距离，记动点P的轨迹为w (1)求W的方程； (2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上， 证明：矩形ABCD的周长大于3√3. 97 第二部分专题十平面解析几何 7.(2022·全国甲卷（文），21)(12分)设抛物 线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p, 0),过F的直线交C于M,N两点，当直线 MD垂直于x轴时，MF|=3. (1)求C的方程； (2)设直线MD、ND与C的另一个交点分 别为A,B,记直线MN、AB的倾斜角分别 为a,B,当a-B取得最大值时，求直线AB 的方程.第4节抛物线 考点1抛物线的定义及标准方程 1.D由64=8p得p1=8,由16=16p2得p2=1.因为y2= 2z的焦点为(20小x=2y的焦点为(0，号）所 以两焦点为G(4,0),C(0,合)1CC1- 2.B易知抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),于是有|BF= 2,故AF|=2,注意到抛物线通径2p=4,通径为抛物线 最短的焦点弦，分析知AF必为半焦点弦，于是有AF⊥ x轴，于是有|AB引=√22+2=2√2. 3.解析：根据抛物线的几何性质可求p的值. 因为抛物线的顶点到焦距的距离为台，故号=3，故户 =6. 答案：6 4.解析：由题意抛物线的标准方程为y2=2px,则力=8，所 以其焦点坐标为(4,0). 答案：(4,0) 5,解析：设P点坐标为(xo,y),P到准线的距离为9，即 x0十1=9，x。=8,代入抛物线方程，可得y0=士4√2，则 P到x轴的距离为4√2. 答案：4√2 6.解析：由题意可得：（⑤）2=2p×1,则2p=5,抛物线的方 程为y2=5x, 准线方程为x=一是，点A到C的准线的距高为 1-()是 答案：是 考点2抛物线的几何性质 1.C由直线y=-2x+2知F1,0),所以号-1，p=2,所 以抛物线方程为y=4x,准线为x=一1，所以B(-1,4), 所以yA=4,代入抛物线方程得A(4,4),所以|AF|= 多+x4=1+4=5. 2.ACD1恰为抛物线的准线，由 抛物线定义可知A选项正确.设 D ∠AFx=0,连接AE易知 △ADE≌△AFE,.∠DAE= 1 ∠FAE= ∠FAD=号，则 E 0 IAEI=IAF 0 cos 2 0 (1-cos 0)cos2 1AB1=AF1+BF=1s)+1+O0器a选 项B错误. 详解详析 1ABl=2,产2p=6,速项C正 |AE·IBE= 0+元 (1-cos 0)cos2 (1+cos 0)cos2 -品g≥18， 选项D正确.故本题正确选项为ACD. 3.ABDA显然正确；B正确，A(0,4),当P、A、B共线时 P(4,4),于是PQ=√PA2-r=√4-1=√15；C 错，当PB=2时易知P(1,2),B(-1,2),易知PA与AB 并不垂直；D正确，焦点F(I,O),PB=PF,则PA=PB 等价于P在AF的中垂线上，该线的方程为y=子x十 吕，易知它与抛物战有两交点。 4.解析：国(x-1)2+=25的国心为F1,0),故号-1即 p=2, 由1)+y=25,可得2+2红-24=0，故x=4或 {y2=4x x=-6(舍)， 故A4,士)，故直线方程为y=士号(x-1),即4红-3y -4=0或4x+3y-4=0, 故原点到直线AF的距离为d=4=4 5-5· 答案：号 考点3直线与抛物线的位置关系 1.ABDA选项：由y2=8x得2p=8即p=4,准线方程为 x=一2，A正确；B选项：由题意可知直线L的方程为y =k(x十1)，与y2=8x联立并化简，得kx2+(2k2一8)x 十k2=0,△=(2k-8)2-4k=32(2-k2),若1与E没 有公共点，则△<0，得>√2，B正确.C选项：直线过点 (-1,0),联立直线1：y=(x十1)与抛物线y2=8x,得 k2x2+(2k2-8)x+k2=0, 若1与抛物线相切，则△=0，即(2k2一8)2一4k4=0,解得 k=√2（负舍），l的方程为y=W2(x十1)，由 (y=(1+)得B点坐标为(1,2②)，抛物线的焦点坐 y2=8x 标为F(2,0),L上取一点B′(2,3√2)，设L与FB所成角 的0，cos0= (1-2)2+(22-0)2+(2-1)2+(3V2-22)2-(2-2)2-(0-3V②)2 2√(1-2)2+(22-0)X√(2-1)2+(32-2V2)2 39 由此可见△ABC不为等边三角形，C错误；D选项：当k =2时，l的方程为y=2x十2，取BC的中点M,则AM⊥ k测则当SAc最小时，AM也最小，设A(写小AM 2x5-+2 12-4+8=1-2)2+4>1 5 45 451 √5 当且仅当1=2，即A(合2， 史时sc-×(A-D 03 最新真题分类特训·数学 2.AC直线y=-3(x-1)与x轴 的交点为(1,0)可知，抛物线的焦 点的坐标为(1,0)，所以=2，故A 正确；由kN=一√3可知直线MN 的倾斜角为120°，所以|MN|= 部0一吕故B降溪：过点M 作准线l的垂线，交1于点M',过N 点N作准线l的垂线，交1于点 N',并取MN的中点为P,过点P作准线l的垂线，交L 于点P',连接MP'、NP',由抛物线的定义知|MF|= IMMI,|NF|=|NNI,所以|MN|=IMMI+|NN'I, 所以由梯形的中位线可知PP1=MM1+NND 合IMN,所以PP=MP=PN,所以以MN为直 径的圆与l相切，故C正确，由图观察可知，△OMN显 然不是等腰三角形，故D错误.故选AC. 3.BCD由题意可知：1=2p,所以抛物线C:x2=y,故C 的准线为y=-,故A不对；由y-2x得南线C在点 A(1,1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x一1， 故直线AB与C相切，B正确；过点B(0,一1)的直线设 为y=kx一1，交C于P,Q两点的坐标分别设为P(x1, y),Q(),联立直线与C方程可得？)，> ly=kx-1 -kx十1=0，所以有x十x2=k,x1x2=1,且△=k2-4> 0,即2>4，可得y+y2=k2-2,yy2=1,此时|OP|· IOQ|=√(x+y)(x+y)=√(y1十y)(y2+y)= √yy2(y132+y2+y+1)=√2>2 又1OA2=2,所以C正确； IBP|·|BQ|=√x+(1+y)·Wx+(1+y2)2- √/(1+2)x7·√/(1+k3)x=k2+1>5,又|BA|2=5,故 D正确；综上，选BCD. 4.ACD选项A:设FM中点为N,则xA=xN= 2 是p,所以员=2p=2p·是p=号(3n>0),所以 6 以-号，截k如= 、2b 3 =2√6. 1 22 选项Ba时。e 2 1BF到-名p=xa十名→a=号所以听=2p·号- 2g所以10=+-写+g-2g≠其 9 39 选项C:1AB1=是p+号+D-8D>2=41OFl. 25 选项D:由选项A,B知A3,6。 （4p,2p 20 B(号，-片以o.o-(: (号，-9p)---是<0，片以∠A0B为 钝角； 又-()（象- =号-少=-名<0，所以∠AMB为能角： 又，∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°， 所以∠OAM+∠OBM<180°.故选ACD. 5.解析：因为A,B,C,D均在抛物线y2=2x上，所以A (受w）B(受)C(竖小D(受)当直线 AB的斜率存在时，直线AB的方程为y一%=a十 2 (红一受)令y=0,得直线AB与工轴交点的横坐标为 x=-y,当直线AB的斜率不存在时上式仍成立.同 2 理可得直线CD与x轴交点的横坐标为x=一eyD,所 2 以yAyB=yyD,故②正确. 其他说法可以通过举反例或者计算验证对错： 取yA=1,yB=2,yc=-1,yo=-2,满足直线AB、直线 CD交x轴于一点，且M与抛物线的焦点重合，但yAyB =2≠一2，故①错误； 光时写-才而(8别)-品女®婚民 由上述分析可得n=-4,xw=-必，xw 2 2 -2,ya9B=eo,则10M110N=OP,故③错送： lA-30P1=%-k1|p1=4e-= 2 2 yAyBYc yAyCyD 2 2 =lyB-ypIIZMI=IyB-ypOMI, 故④正确 综上，正确的为②④. 答案：②④ 6解：1)设Px,,则1y2+(y-)广，两边平方 并化简得y=十}故W的轨速方程为y=2十} (2)不妨设A,B,D三点在W上，且有BA⊥DA, 设A0d十)说直线BA,DA的钟率分别为，一专 1 由对称性不妨设k≤1， 联立方程 y=k(x-a)+a2+1:将x一x+a二a =0,由韦达定理得xA十xB=k, B(-a,-a+)} AB=√1+k|k-2a, 同显可得1AD1√+是合-2a =+名+2a: 所以|AB|+|AD|=V1+R1k-2a|+1+ + ≥+及·+居 /1+2) 设fm)=+m》=m+3m十+3， m 可得f(m)=2m+3-马=2m-1)(m+1)2 m m 可知m)在(0，)上为减画数，在（合1）上为增函 数.所以m在0D上的最小值为f(合）一平。 所以AB十AD=)≥9，由于两关取等的条件 不一致， 所以矩形的周长为2(|AB|+|AD|)>3√3. 7.解：(1)如图，由已知xM=p, y IMFI=3=xw+号， 所以p=2,抛物线C的方程 y2=4x. (2)令k=k1=tana,kB= 0/F D k2=tan B,tan (a-B) N 是 令M(x1,y1),N(x2,y2),(y1>0,y2<0)A(x3,y), B(x4ya)(y3<0,y4>0),AB:y=k2(x-m), 由/y=6,(x-1D y y2=4x 得x1x2=1, 9 ”得工x4 0 =m2, 如 得x1西=4， (y=k(x-2) y=4x 得x2x4=4, 所以有M2团.N(会爱) A信层)4因. 6气=写又要使。一日最大，则 (0,受）即>0， 详解详析 所以an(e一D=1十k,1+21+2k2 k1一k2= k2 1 故当好=号时a一日最大。 此时易得x3x4=16x1x2=m2,所以m=4,所以直线AB 方室y=号(x-0. 第5节圆锥曲线的综合问题 考点1圆锥曲线的标准方程和几何性质 1.ACD根据双曲线的对称性可知A1A2与MN互相平 分，所以四边形AMA2N是平行四边形，因为∠NA1M -否，所以∠AMA,=吾，A正确，以FF为直径的圈 的方程为x2+y=c2, 不妨设渐近线y=白x, a x2+y2=c2 由}m=b。,设M(a,b),N(-a,-b), 又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2 Rt△MA,A,中，∠A,MA,=百， 所以MA1：|MA2=2:√3，所以B错误. 所以|A1M=/TA1A22+MA2 =√4a+b=√3a2+c2, 由|A,M=2|A1A2|得√3a2+c2=4a, 即c2=13a2,即e2=13,所以e=√13，所以C正确.因为 当a=√2，c2=26,从而b2=24,即b=2√6，四边形 NA,MA,的面积为S=2X号×22×26=8B,所以 D正确. 2.B①，椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点； ②：点P的任意性，∴.|PMax→十∞，：|QMmn是固 定的，∴.无法对任意的P∈C,都存在Q∈C,使得|PM ·1QM=1. 3.解：(1)因为椭圆E的方程中b2=1,所以半焦距c= √a一1.右焦点为F(c,0),过F垂直于x轴的直线为x =6关与精国交点的织丝标满足号十y了1D-1 这周为我线段长度为E,所以：名=→a a2 =√2， 所以c=V√2-1=1.椭圆的离心率为：e=二=2 2 (②)(1)由1)知横周E方程为号+y=1→2+2时 2.已知A(x0,y%),因为B是A在y轴上的垂足，所以 B(0,6).直线A0的方程为：y=x→6x-xy=0, 支线GB过G0),B0,9)两点，方程为：兰十头-1 yox+ty=tyo, 05