第11讲 抛物线中向量问题 专题训练-2027届高考数学一轮复习抛物线专题（新高考通用）

**基本信息** 聚焦抛物线与向量交汇问题，通过多题型系统训练构建知识逻辑链 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|单选8/多选4|向量坐标运算/数量积/共线/最值|抛物线定义/方程为基，向量工具融合焦点弦、中点弦等问题| |填空|4|向量参数计算/面积问题|形成“概念-性质-应用”逻辑链条，强化几何直观与运算能力| |解答|15|向量与焦点弦/中点弦综合|以题载法，突出数学思维在复杂问题中的推理与表达|

第13讲 抛物线中向量问题 一、单选题 1．已知的顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点F，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【解析】由题意得,，设，，， 点是的重心，，， 根据抛物线的定义可得.故选：B. 2．抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点为平面上任意一点，为坐标原点，则（    ） A． B． C．3 D．5 【解析】由题意易知直线的斜率存在，设，， 因为抛物线的焦点为，所以不妨设直线的方程为， 联立，消去，得，则，故，， 则， 所以.故选：B. 3．已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由已知抛物线的焦点的坐标为，直线的方程为， 联立，消得，设，则， 所以，圆的圆心坐标为，半径为1， 由已知可得，所以    故选：A. 4．已知抛物线的焦点为F，C的准线与对称轴交于D，过D的直线l与C交于A，B两点，且，若FB为的平分线，则等于（    ） A． B．8 C．10 D． 【解析】，，所以．过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，则． 因为FB为的平分线．则，又，∴， 又，∴．∴．故选：D． 5．已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】因为抛物线，所以焦点坐标为，如下图所示：    连接，过作垂直准线于，则在直角中，， 所以 由抛物线的定义得：，则由图可得的最小值即抛物线顶点到准线的距离，即，所以.故选：B 6．在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】抛物线的准线方程为，    圆的圆心为，半径为，直线与圆相切，则， 因为，解得，所以，抛物线的方程为， 故抛物线的准线与圆相切于点， 若直线与轴重合，则直线与抛物线不相切，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， 则，解得，不妨设点在第一象限，则，则有，解得， 此时，即点，所以，， 因为点在圆上，设点，则， 所以，.故选：C. 7．已知过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若D为线段AB的中点，连接OD并延长交抛物线C于点M，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意知点，且直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，设点的坐标分别为， 联立，则， 联立，则 直线的方程为：，即， 联立，则， ，，由三角形相似可知，， ,.故选：D 8．已知抛物线，直线交抛物线于两点，是的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，且，若，则k为（        ） A． B． C． D．2 【解析】设，则， ，由， ， ，，① 即，由得， 当，即时，， 代入①得： ，即，解得或（舍去），故选：B 二、多选题 1．设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【解析】抛物线C的焦点为，所以直线AB的方程为， 将代入，整理得， 设，由根与系数的关系得，故D错误； ，故C错误； ，故B正确； 由抛物线的定义可得，故A正确. 故选：AB． 2．已知抛物线C的方程为，过C焦点F的直线与C交于M，N两点，直线MO与C的准线交于Q点（其中O为坐标原点），P为C准线上的一个动点，下列选项正确的是（    ） A．当直线MN垂直x轴时，弦MN的长度最短 B．为定值 C．当PM与C的准线垂直时，必有 D．至少存在两个点P，使得 【解析】如图所示，由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得，， 对于A中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，此时垂直于轴，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，直线的方程为，令，可得， 所以，所以，所以C错误； 对于D中，由抛物线的定义知，直角梯形的中位线， 即以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，所以满足的点恰好有一个，所以D错误. 故选：AB.      3．已知点A是抛物线上的动点，为坐标原点，为焦点，，且三点顺时针排列，则（    ） A．当点在轴上时， B．当点在轴上时，点A的坐标为 C．当点A与点关于轴对称时， D．若，则点A与点关于轴对称 【解析】因为，所以为等边三角形， 对于A，当点在轴上时，又三点顺时针排列，所以大致图像如图，    此时所在直线方程为，与联立，消去得， 解得或，所以，故A正确； 对于B，当点在轴上时，又三点顺时针排列， 所以此时A点在轴下方，且所在直线方程为， 与联立，消去得，解得或， 当时，，即A点坐标为，故B正确； 对于C，当点A与点关于轴对称时，又三点顺时针排列， 所以此时A点在轴上方，且所在直线方程为， 与联立，消去得，解得或，所以，故C正确； 对于D，当时，得A点横坐标为，此时A点可能在轴上方，也可能在轴下方. 因为三点顺时针排列，所以当A点在轴上方时，可得点A与点关于轴对称； 当A点在轴下方时，可得此时点在轴上，点A与点不关于轴对称；故D错误； 故选：ABC. 4．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为 【解析】   设，，设直线， 联立，化为，而， 所以.设过点的切线为， 联立，整理可得， 由，可得.同理可得过点的切线斜率为. 对于A，，，，故A错； 对于B，可得点A ，B处的切线方程分别为：， 可得,，又因为直线AB的斜率为，， 又由A选项可知，所以，所以， ，故B正确； 对于C，设AB的中点为，则由轴， 而向量，向量与向量共线，故C正确； 对于D，如图，设准线与轴的交点为， 面积的，可知当最短时（最短为），也最短， 最短为，所以面积的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题： 1．已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，且，O为坐标原点，则的面积为 . 【解析】由已知得，设直线的方程为， 代入整理得，设，， 故①，②， 又，故③，由①②③解得， 此时，，点O到直线的距离为， 故的面积为. 2．已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若， 则 【解析】易知焦点F的坐标为，准线方程为，如图，作于，于， ，可知线段BM平行于AF和DN，因为，，， 所以，又由定义知，所以.    3．已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则 . 【解析】   由题意易知，可设， 由，可得Q为AM中点，则， 又由可得:， 即，由题意可知直线AB、BM的斜率存在， 故， 联立抛物线与直线AB可得 所以有 由抛物线定义得，故答案为：4 4．已知抛物线与圆，过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（在轴的同一侧），若，则的值是 ． 【解析】抛物线的焦点，准线方程为，于是直线：，显然， 由消去y得：，设， 则，又圆的圆心为，半径为1， 由，得，即， 于是，整理得，又，解得， 则，解得，所以的值是8. 四、解答题： 1．已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.    (1)求抛物线C的方程及点M的坐标； (2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值. 【解析】（1）由抛物线的定义，得，解得p＝2. 所以抛物线C的方程为，M的坐标为或. （2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝ty＋1（t≠0），则.将x＝ty＋1代入得.设，，则，. 由，得；由，得. 所以，故是定值1. 2．已知，为椭圆C的左右焦点，且抛物线的焦点为，M为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，О为坐标原点，且，若椭圆C上存在一点E，使得四边形OAED为平行四边形，求的取值范围. 【解析】（1）抛物线的焦点为，设椭圆的标准方程为， 则，解得，所以椭圆的标准方程为； （2）   显然直线的斜率存在，设直线，设,，,，则,， 四边形为平行四边形，，,， 点，，均在椭圆上，，，， ，，．， 由，消去得，，显然， ，，， ，,． 3．已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值． 【解析】（1）由得焦点，则椭圆的焦点为，因为椭圆离心率为， 所以，解得，则，所以椭圆的方程为． （2）设，由得，， 易得，则，，， 因为，所以，解得， 所以．    4．已知抛物线，点在抛物线上，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． (1)求点到抛物线焦点的距离； (2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）将点代入抛物线方程，则，抛物线焦点， 则点到抛物线焦点的距离等于点到抛物线准线的距离． （2）存在，证明如下：如图，设，．    把代入得，， 由根与系数的关系得，． ，点的坐标为． 假设存在实数，使，则．又是的中点，． 由（1）知，． 轴，， 又． ，两边同时平方得：， 解得，即存在，使． 5．已知抛物线的焦点为为上一动点，为圆上一动点，的最小值为. (1)求的方程； (2)直线交于两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值. 【解析】（1）由题得， 当点，四点共线且点在中间时，取得最小值，    最小值为，又，解得，所以的方程为. （2）当直线的斜率为0时，显然不适合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立得， 则，所以，又， 所以，所以，解得或（舍去）， 即，所以，所以， 又， 所以为定值. 6．已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【解析】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，， 由可得，，所以，， ，因为，所以， 即，亦即， 将代入得，，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以，当时，的面积． 7.已知抛物线上的两点的横坐标分别为. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，定点为原点 【分析】（1）设出两点，运用两点间距离公式构造方程求解即可； （2）过点的直线的方程为，直线的斜率分别为.联立抛物线，运用韦达定理，得到，则，即可证明. 【详解】（1）因为点的横坐标分别为，所以， 则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意，知直线的斜率存在，设，过点的直线的方程为，直线的斜率分别为. 当时，， 因为，所以以为直径的圆过原点. 以下证明当时，以为直径的圆过原点. 由，消去，得， 由根与系数的关系，得， ， 所以，所以以为直径的圆过原点. 综上，以为直径的圆过原点. 8.已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）结合题意得出几何关系，由抛物线定义即可得解； （2）一方面：设，，联立与抛物线的方程，由韦达定理得，设，，同理可得，，结合向量数量积的坐标运算、基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意， 如图，∵， ∴， 又∵不在轴负半轴上， ∴与直线垂直， 又∵， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴点的轨迹方程为. （2） 由得， ∵与交于两点， ∴， 设，，则， 又∵， ∴， ∵的斜率为， ∴直线的方程为， 设，，同理得，， ∴ ， 当且仅当即时取到“=”， ∴的最小值为16. 9.已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②为定值，理由见解析 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程计算可得； （2）①设出直线方程，联立抛物线方程消元，利用判别式，结合题意求解即可；②设出直线的方程，联立抛物线方程消元，利用坐标表示出直线，方程，进而可得、的坐标，表示出，利用韦达定理进行化简即可得解. 【详解】（1）因为抛物线过点， 所以，从而，故抛物线的方程为． （2）①由题意知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为， 由得， 依题意，解得且． 又直线与轴相交，故直线不过点，从而， 所以直线斜率的取值范围为． ②为定值2．理由如下： 设，直线． 联立直线与抛物线的方程，可得， 根据韦达定理有．则, 故， 直线的方程为， 令，则，同理可得． 由得,得 同理， 则, 所以为定值，定值为2． 10.已知抛物线，点在抛物线上，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． (1)求点到抛物线焦点的距离； (2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）点代入抛物线中求得抛物线方程，从而找到点到抛物线焦点的距离. （2）可利用直角三角形的性质，斜边中线的长度等于斜边的一半，转换为圆锥曲线的弦长问题； 【详解】（1）将点代入抛物线方程，则 ， 抛物线焦点， 则点到抛物线焦点的距离等于点到抛物线准线的距离． （2）存在，证明如下： 如图，设，．    把代入得，， 由根与系数的关系得，． ，点的坐标为． 假设存在实数，使，则． 又是的中点，． 由（1）知， ． 轴，， 又 ． ， 两边同时平方得：， 解得，即存在，使． 11.已知抛物线的焦点为，圆恰与的准线相切. (1)求的方程及点与圆上点的距离的最大值； (2)为坐标原点，过点的直线与相交于A，B两点，直线，分别与轴相交于点P，Q，，，求证：为定值. 【答案】(1)；4 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可列式求得p，即可得抛物线方程，进而求得点与圆上点的距离的最大值； （2）设直线l方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，设结合，得出的表达式，进而得的表达式，结合根与系数的关系进行化简，即得结论. 【详解】（1）由题意得抛物线C的焦点坐标为，准线方程为， 圆的圆心为，半径为， 由圆恰与的准线相切得， 故，故C方程为，， 故点与圆上点的距离的最大值为； （2）由题意知直线l的斜率存在且不为0， 设过点的直线的方程为，，，    联立，整理得， 则且，即且， 则， 设，则， 由可得，即，同理可得, 直线的方程为， 令，得，同理可得, 因为 , 即，故为定值. 【点睛】难点点睛：第二问是关于直线和抛物线的位置关系中的定值问题，解答的思路是联立直线和抛物线方程，得到根与系数的关系，结合向量的数乘得出的表达式，从而得的表达式，然后进行化简，但难点在于计算的复杂性，并且计算量较大，要特别细心. 12.过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物线的准线. (1)求抛物线的标准方程； (2)设点是圆的动点，抛物线上四点满足：，，设中点为. （i）证明：垂直于轴； （ii）设面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）设直线与轴交于，由三角形相似关系可得，由此可构造方程求得的值，从而得到抛物线方程； （2）（i）根据共线向量可知为中点，结合点在抛物线上可确定为方程的两根，由此可得韦达定理的结论；根据点纵坐标可知斜率为零，由此可得结论； （ii）由，代入韦达定理，结合点在圆上，可化简得到，根据二次函数最值的求法可求得结果. 【详解】（1） 设直线与轴交于，则， 由圆的方程知：圆心，半径， 为圆的切线，，又， ∽，，即 ，解得：，抛物线的标准方程为：. （2）设，，， （i）由知：为中点，且在抛物线上，即， 又，，整理可得：； 由知：为中点，且在抛物线上， 同理可得：； 是方程的两根，，， 点的纵坐标为，直线的斜率为，即垂直于轴. （ii），， ， 在圆上，， ， 则当时，， . 【点睛】思路点睛： 13.已知是焦点为的抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆过点. (1)求的方程； (2)过点作直线交抛物线于、，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）易知点，由已知可得，结合以及两点间的距离公式可求得的值，即可得出抛物线的方程； （2）分析可知直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）解：易知点，由题意可得，所以，， 因为，解得，所以，抛物线的方程为. （2）解：若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，， ，， 所以， ， 当且仅当时，取等号，故的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 14.已知抛物线的准线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，点其中在抛物线上，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线斜率的取值范围； (2)设为原点，若，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）根据抛物线的准线上的点求得，由此求得抛物线的方程.设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用求得的取值范围. （2）根据直线的方程求得的坐标，结合求得为定值. 【详解】（1）抛物线的准线经过点， 所以，所以抛物线的方程为. 设直线的方程为， 由消去并化简得， 由于直线与抛物线有两个不同的交点，所以且， 由于在抛物线上，且，所以，所以， 且直线不过点，即， 所以直线斜率的取值范围是. （2）设，由（1）得， 依题意可知直线的斜率存在， 直线的方程为，令， 即，同理可求得. ，由于， 所以、， 所以， 所以 所以 为定值. 15.已知点和点 之间的距离为2，抛物线经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线，上，且，（O为坐标原点）. (1)求直线l的倾斜角的取值范围； (2)求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由求出，将代入抛物线C的方程得，设直线l的方程为 ，与抛物线方程联立利用判别式得的范围，再由向量共线得点E，F均在y轴上，可得k的取值范围及直线l的倾斜角的取值范围； （2）设 ，根据M，A，B三点共线得，再由，求出，，求出直线的方程令得，同理可得，代入可得答案. 【详解】（1） ， ， ， ， 将代入，解得， 抛物线C的方程为， 直线l过点，且与抛物线C有两个不同的交点， 直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为 ， 由得，， 且，即， 且， ，， ，，点E，F均在y轴上， ，均与y轴相交，直线l不过点， ， k的取值范围为且且， 直线l的倾斜角的取值范围为； （2）设 ， M，A，B三点共线， ， ， ，， ，， 由（1）知，， 且， 直线的方程为， 令得，同理可得，， . 【点睛】思路点睛：直线方程与圆锥曲线方程联立利用韦达定理是解决直线与圆锥曲线的位置共线的常用方法，三点共线要利用斜率线段或向量共线，本题考查了学生的思维能力、运算能力. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 抛物线中向量问题 一、单选题 1．已知的顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点F，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点为平面上任意一点，为坐标原点，则（    ） A． B． C．3 D．5 3．已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知抛物线的焦点为F，C的准线与对称轴交于D，过D的直线l与C交于A，B两点，且，若FB为的平分线，则等于（    ） A． B．8 C．10 D． 5．已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若D为线段AB的中点，连接OD并延长交抛物线C于点M，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线，直线交抛物线于两点，是的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，且，若，则k为（        ） A． B． C． D．2 二、多选题 1．设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线C的方程为，过C焦点F的直线与C交于M，N两点，直线MO与C的准线交于Q点（其中O为坐标原点），P为C准线上的一个动点，下列选项正确的是（    ） A．当直线MN垂直x轴时，弦MN的长度最短 B．为定值 C．当PM与C的准线垂直时，必有 D．至少存在两个点P，使得 3．已知点A是抛物线上的动点，为坐标原点，为焦点，，且三点顺时针排列，则（    ） A．当点在轴上时， B．当点在轴上时，点A的坐标为 C．当点A与点关于轴对称时， D．若，则点A与点关于轴对称 4．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为 三、填空题： 1．已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，且，O为坐标原点，则的面积为 . 2．已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若， 则 3．已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则 . 4．已知抛物线与圆，过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（在轴的同一侧），若，则的值是 ． 四、解答题： 1．已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.    (1)求抛物线C的方程及点M的坐标； (2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值. 2．已知，为椭圆C的左右焦点，且抛物线的焦点为，M为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，О为坐标原点，且，若椭圆C上存在一点E，使得四边形OAED为平行四边形，求的取值范围. 3．已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值． 4．已知抛物线，点在抛物线上，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． (1)求点到抛物线焦点的距离； (2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 5．已知抛物线的焦点为为上一动点，为圆上一动点，的最小值为. (1)求的方程； (2)直线交于两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值. 6．已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 7.已知抛物线上的两点的横坐标分别为. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 8.已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 9.已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 10.已知抛物线，点在抛物线上，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． (1)求点到抛物线焦点的距离； (2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 11.已知抛物线的焦点为，圆恰与的准线相切. (1)求的方程及点与圆上点的距离的最大值； (2)为坐标原点，过点的直线与相交于A，B两点，直线，分别与轴相交于点P，Q，，，求证：为定值. 12.过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物线的准线. (1)求抛物线的标准方程； (2)设点是圆的动点，抛物线上四点满足：，，设中点为. （i）证明：垂直于轴； （ii）设面积为，求的最大值. 13.已知是焦点为的抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆过点. (1)求的方程； (2)过点作直线交抛物线于、，求的最大值. 14.已知抛物线的准线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，点其中在抛物线上，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线斜率的取值范围； (2)设为原点，若，求证：为定值. 15.已知点和点 之间的距离为2，抛物线经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线，上，且，（O为坐标原点）. (1)求直线l的倾斜角的取值范围； (2)求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $