2.10.3 双曲线-【创新教程】2022-2026五年高考数学真题分类特训

最新真题分类特训·数学 第3节 [考点1]双曲线的定义及标准方程 (2026·全国卷，4)设双曲线C: =1 (a>0,b>0)经过点(1,0)和点 竖g),则c 的渐近线方程为 A.y=士3√2x B.y=士2√3x C=±9， D.y=土2 2 [考点2]双曲线的几何性质 1.(2026·北京卷，3)已知双曲线C:￥= 1(a>0)的渐近线方程为y= 3x,则a的 值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.9 2.(2026·天津卷，9)已知双曲线2-2=1(a >0,b>0)的左焦点为F,A是右顶点，P是 双曲线上一点，满足|FA|=|FP|,∠FAP =30°，则双曲线的离心率为 () A.4 R号 c D 3.(2025·全国一卷，3)已知双曲线C的虚轴 长是实轴长的√7倍，则C的离心率为 ( A.√2 B.2 C.√7 D.2√2 4.（2025·北京卷，3)双曲线x2一4y2=4的离 心率为 ( 入停 B号 c D.√5 5.(2025·上海卷，15)已知A(0,1),B(1,2), C在Γ：x2-y2=1(x≥1，y≥0)上，则 △ABC的面积 双曲线 A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值 C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值 6.(2024·全国甲卷（理），5)已知双曲线的两 个焦点分别为F1(0,4),F2(0,一4)，点 P(一6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离 心率为 () A.4 B.3 C.2 D.√2 7.(2024·天津卷，8)双曲线二-名 =1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是双曲 线右支上一点，且直线PF2的斜率为2， △PFF2是面积为8的直角三角形，则双曲 线的方程为 () A.y “8一21 B.y =1 84 c营-1 8.(2022·全国乙卷（理），11)（多选）双曲线C的 两个焦点为F,F2,以C的实轴为直径的圆记 为D,过F作D的切线与C交于M,N两点， 且cos∠ENF,=号，则C的离心率为（) R C.3 2 D①7 2 9.(2026·全国I卷，12)双曲线5x2-6y2=1 的离心率为 0,(2024·新课标卷，12)设双曲线C:等 若=1(a>0,6>0的左，右熊点分别为 F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于 A,B两点.若|FA|=13,AB|=10,则C 的离心率为 山.(2023·新课标I卷，16)已知双曲线C:。一 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F2. 点A在C上，点B在y轴上，FA⊥FB,F2A 号F成.则C的离心率为 12.(2022·全国甲卷（文），15)双曲线C: 常=1a>0,b>0)的离心率为e,写出满足 条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一 个值 13.(2022·北京卷，12)已知双曲线y+之=1的 m 新近线方程为y=士号工，则m [考点3]直线与双曲线的位置关系 1.(2024·北京卷，13)若直线y=k(x-3)与 双曲线-y=1只有一个公共点，则k的 一个取值为 2.(2026·上海卷，20)(18分)本题共3个小 题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分8分 已知双曲线T:x2一y2=1,F1,F2分别为T 的左、右焦点 (1)求点(2,0)到渐近线的距离. (2)P为D上一点，PF·PF2=1,求 △PFF2的面积. (3)设曲线0：x-y-1,其中0 或 y≤-11 1过点E:的直线1交n于P,Q两 (x>0 点（分别位于第一、第四象限），过点F,的直 线m交2于M,N两点（分别位于第三、第 四象限)，是否存在正数入，对于任意的，都 存在唯一的m,使MN|=λPQ成立？若 存在，求出所有的入；若不存在，请说明 理由. 95 第二部分专题十平面解析几何 (2022·新高考I卷，21)(12分)已知点A 2,D在双前线c- ,=1(a>1)上， 直线I交C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜 率之和为0. (1)求1的斜率； (2)若tan∠PAQ=2W2,求△PAQ的面积.最新真题分类特训·数学 (6=1 [a=2 第3节双曲线 10.解：(1)依题意可知： 2c=23,解得b=1 考点1双曲线的定义及标准方程 La2-82+c2 c=√3 B将点1,0)代入双线方程得：-0=1→-1→a 故箱周E的方程为：音+=山 (2)由题可设直线方程为：y-1=k(x十2)，B(x1y1), =1,#à（停）入双线方得 C(x2y2), 7 9 2-→8=12→6=2， y-1=k(x+2) 联立直线和椭圆E方程 ,可得（1+ +y2=1 所以双曲线的渐近线方程为y= a, 4 即：y=士2√3x. 4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,由△>0可得 考点2双曲线的几何性质 (16k2+8k)2-4×(1+4k2)(16k2+16k)>0, 解得<0， 1B◆答-学=0，得y=士吕，所以名-号解得a 根据韦达定理可得：工1十x2= -(16k2+8k) =3. 1+4k2 ,t1x2 2.D△FPA中，FA|=|FP|=a十c,∠FAP=30°，设右 =16k2+16k 焦点为F, 1+4k2 ∠APF=30°，∠PFA=120°，∠PAF'=150°，由余弦 直线AB的斜率为如=当 定理： 二，AB的直线方程为： AP2=IFA2+FP12-2FAFPIcos 120 y=y一 x十1，令y=0,可得点M的横坐标xM =2(a+c)2+(a+c)2=3(a+c)2, 1 .lAP|=√3(a+c). -1-%' 由双曲线定义： IPF'|=|PFI+2a=a+c+2a=3a+c, 同理可得点N的横坐标xN= x.则有|MN|= 在△PAF中，由余弦定理. |PFI2=|PA|2+|AF2-2|PA|·|FA|cos150°， 1 1-y11-y2 (3a+c)2=[W3(a+c)]2+(c-a)2-2(c-a)·√3(a+c) -k(x1+2)-k(x2+2) () 整理得：3c2-ac-4a2=0, |(2年) .3e2-e-4=0, e>1, 1x2(x1十2)-xx x1x2+2(x1十x2)+4 - 1,2√/(x1+x2)-4z1x2 =2, 3.D由题知b=√7a,则c=√7+1a=2√2a,所以离心率e kx1x2+2(x1十x2)+4 代入韦达定理式子可得 =C=2√2，故选D. -(16k2+8k) -4×16k+16 4.B先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c,即可求 1+4k2 1+4k2 =2, 162+163 出离心率.由2-4妙=4得，苦-y=1, +2 -16k2-8k +4 1+4k2 1+4k2 所以a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5, 化简可得： 2√64(2k+k)2-4X16(k+k)(1十4k) 即a-32=5,所以一日-故选：B 1+4k2 5.A本题考查了双曲线的几 y =2, 16k+16k+-32k-16k+4牛16 何性质.如图，因为双曲线的 1+42 1+4 1+4 渐近线方程为y=x,kB= 2 即 是级十+发-4级-快-发-=2，可得 0-1 -两边方则有-解得=一4 .AB与渐近线平行，当C点 在无穷远处时无限逼近渐 故k的值为一4. 近线， 详解详析， ∴.AB边上的高无限逼近渐近线， ,AB的高没有最小值，△ABC的面积没有最小值. 则a=2a,则=号所以e+√+是= 当C位于(1,0)时，AB边上的高最大，此时△ABC的面 积最大. 3.C正确，(2)若切线与双曲线交于一支如图 6.C设F1(0,-4)、F2(0,4)、P(-6,4), 则|E,F2|=2c=8,|PF1=√/62+(4+4)2=10,1PF2 =√62+(4-4)2=6， 则2a=Pr,-PF,=10-6=4,则e=-8=2, 2a4 7.C如图：由题可知，点P必落在 第四象限，∠F1PF2=90°， 设|PF2=m, ∠PF2F1=01,∠PF1F2=02,由 kpr2=tan8=2,则得sin0 图(2) 2 即|NF,=QN-QF,=受-26，由双南线的定义可 5 因为∠FPF2=90°，所以k℉，·kF,=一1，求得kpF1 知：NE,-NR,=2a,则2-(2-2b）=2a,即26 -合，即tam8=7 =a,而c2=a2十b2,将2b=a平方，得：4b=a2,由 1c2=a2+b 血岛方由正袋走双可得，PR:P,:B, 1462=a2 ,得：4c2=5a2,即该双曲线的离心率e=S a =sin0,:sin02:sin90°=2：1：√5， 一怎A正.成造AC 则由|PF2|=m得PF1=2m,F,F2|=2c=√5m, 9g.解析：由5x-6y2-1,得。=日6-g,所以=a2+ 由Sa,5=号PE·PE,=m·2m=8, 8动片以心=后号故6=面应埃：国 得m=2√2， 答案：66 6 则|PF2|=2√2，|PF|=4√2，|F1F2|=2c=2√10，c =√10， 10.解析：由题知：1AF2|=5,|AF1|=13,1F1F2|=2c= 由双曲线的定义可得：|PF1|-|PF2|=2a=2√2，a= √132-5=12，解得c=6,AF11-AFz=2a=8,解 √2，b=√c2-a=√8， 得a=4,所以e=C=3 Γa2 所以双白线的方程为号一苦-1 答案：号 8.AC依题意分两种情况 如图(1)、图(2). 山解折：由A=一号，得 (1)由题意，点N在双曲 F,A-2 线右支，记切点为点A, IF,Bl , 连接OA,则OA⊥MN, 1OA|=a,又|OF1|=c, 设|F2A|=2x,|F2B|=3x, 则|AF=√c2-a=b. 由对称性可得|FB|=3x,由定义可得，|AF1|=2x十 过点F2作F,B⊥MN交 图(1) 2a,AB1=5x,设∠F,AF2=0,则sin0=3=3→ 直线MN于点B,连接F2N,则F2B∥OA,又点O为 5.x5 F1F2中点，则|F2B|=2|OA|=2a,|FB|=2|AF1|= cos9=4-2红+20，解得z=a,所以A1=4a,|A 55x 26.由cos∠ENE,=g,得sn∠E,NR,=告，a∠E =2a, N,=专所RN==受，BN 在△AF1F2中，由余弦定理可得cos0= m受 15a+8-4北-专脚5=9a, 16a 可得e=3⑤ 故RN=FB1+BN1=2b+受，由双南线定义， 5 |F1N|-|F2N|=2a, 答案35 最新真题分类特训·数学 12,解析：因为双曲线C的渐近线方程为y=±白 2, 即PQ∈[2，十∞)， 同理，设m:x=qy+V2,M(x,y3),N(x4,y4),同理得 要使直线y=2z与C无公共点，则只需要2≥白即可， a -22g 由≤2的-a2& y3十y4= ≤4，所以e2≤5， q2-1≠0， q2-1 解得1<e≤5. yg-1 1 答案：2（答案不唯一，只要1<≤√5即可） 由题意，不妨设y≤-1<y4<0, 13.解析：双曲线y+工=1的渐近线方程为 [y3+y4<0 m 得yy4>0 ,解得q∈(1,2√2]， (y3+1)(y4+1)≤0 √-m 答案：一3 网1N1-梦含-2+产c9+) g2-1 考点3直线与双曲线的位置关系 1.解析：双曲线号-y=1的渐近线方程为y=土号， 1 由g)=2+,在g1.22严格单两， 直线y=(x-3)过定点(3,0)，∴.只有当直线y=(x-3) 故只需8<X2,即心号即可满足题意， 与渐近线平行时，该直线与双曲线才只有一个公共点， :的取值为士名（任答一个即可得分. 综上，存在[号十）满足题意 答案：（或-）】 3解：1)将点A代入双由线方程得。。1，化简得 1 2.解：(1)由题意，渐近线方程为y=士x,由对称性，不妨取 。-4如2十4=0得：a2-2,故双向线方程为号-y-1, y=x, 由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx十m, 故点(2,0)到渐近线的距离为2-0=2. 设P(x1y1),Q(x2,y2),则联立直线与双曲线得： √2 (2k2-1)x2+4km.x+2m2+2=0, (2)由题意，F1(-√2,0)，F2(2,0), 故x1十x2=一 当 4km 设P(x0y),则x号-=1， 故PF=(-√2-五，-%)，PF2=(W2-x,一%)， w+如会要号4-0， 故PF1·PF2=x后-2+y=1,即x6+y6=3,由 化简得：2k1x2+(m-1-2k)(x十x2)-4(m-1)=0, (x6-y6=1 ,解得y=1,即|y=1, x+y=3 故242+m-1-2(2）4m-1D-=0, 2k2-1 1 故Sam,5=2·F,E,·l=2, 即(k十1)(m十2k-1)=0,而直线1不过A点，所以k十1= 0,故k=-1. (3)由题意，直线1斜率不为0，故设l:x=y十√2，P(x1, y1),Q(x2y2), (2)设直线AP的倾斜角为a,由tan∠PAQ=2√2， 故y+2(分-1Dy+22y+1=0,p2-1≠0， 得tan∠PAQ- 2 x2-y2-1 2 △=8p2-4p2+4>0, 由2a+∠PAQ-,得=na=E,脚号E, y+y2= -2V2p 故 p2-1 联主必号-②，及昏--1得五-102 3 1 yy2=p2-1 =4V2-5 3 由y1y2<0→p∈(-1,1)， 故|PQ|=√(1-x2)2+(-y2) 代入直线1得m=号故十，=四-8 =1十方+3)-49=2+22 1-p2 而|AP|=31x1-2|,AQ|=3x2-2|, 及=茫等=2+兽g∈.=0时 由an∠PAQ=2E,得sn∠PAQ=2。 f(p2)=2, 故SaMo=号APlIAQIsin∠PAQ=J2-2(x十 当∈0.1D时fp)=2+4∈2，+o, b1 x:)+4/=16V2 9 2