专题九 考点三 双曲线-【创新教程】2024-2026三年高考数学真题分类特训试卷

考点三 双曲线 一、选择题 026·全国卷，4)设双曲线C:专-片1(a>0,b>0)经过点(1,0 ,则C的渐 近线方程为 A.y=士3√2x B.y=±2√3x C.y= 6 D.y= 62 2.(2026·北京卷，3)已知双曲线C:二￥ a 11(a一0)的渐近线方程为y三士名x,则口的值为 () A.2 B.3 C.4 D.9 3.(2026·天津卷，9>已知双曲线号-苦-1a>0.6>0)的左焦点为F,A是右顶点，P是双曲线 a2 上一点，满足|FA|=|FP|,∠FAP=30°，则双曲线的离心率为 A.4 c 4.(2025·全国一卷，3)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的√7倍，则C的离心率为 A.√2 B.2 C.7 D.2√2 5.(2025·北京卷，3)双曲线x2-4y2=4的离心率为 A鸟 B. 2 c D.√5 6(2025·天津卷，9)双线名一当 京=1(>0，b>0)的左、右焦点分别为F,F2,以右焦点F2为 焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P,若|PF|+|PF2|=3FF2|, 则双曲线的离心率e= () A.2 B.5 C,2+1 2 D.5+1 2 7.(2025·上海卷，15)已知A(0,1),B(1,2),C在T:x2-y2=1(x≥1，y≥0)上，则△ABC的面积 () A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值 C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值 56 8.（多迹)2025·全国二卷，1)双曲线C号-若-1>0，>0)的左、右焦点分别是F,厂，左、 右顶点分别为A1,A2,以F,F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点，且∠NAM= 吾则 () A∠A,MA,=吾 B.MA=2MA2 C.C的离心率为13 D.当a=√2时，四边形NA,MA2的面积为8√3 9.(2024·全国甲卷（理），5)已知双曲线的两个焦点分别为F,(0,4),F2(0,一4)，点P(一6,4)在 该双曲线上，则该双曲线的离心率为 () A.4 B.3 C.2 D.√2 2 2024·天津卷，8)双曲线一=1(Q>0,b>0)的左、右焦点分别为F、E,P是双曲线至 支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PFF2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为 ( 营苦1 二、填空题 11.(2026·全国I卷，12)双曲线5x2-6y2=1的离心率为 2.(2024·新课标I卷，12四设双曲线C名-1(@>0，b>0)的左右焦点分别为F,F过 F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点.若|FA=13,|AB=10,则C的离心率为 13.(2021·北京卷，13)若直线y=(x-3)与双曲线号-y2=1只有一个公共点，则k的一个取 值为 三、解答题 14.(2026·上海卷，20)(18分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分8分 已知双曲线T:x2-y2=1,F1,F2分别为T的左、右焦点. (1)求点(2,0)到Γ渐近线的距离. (2)P为T上一点，PF1·PF2=1,求△PF1F2的面积 57 3)设曲线0x-y-1,其中0 />0 ,过点F2的直线1交2于P,Q两点（分别 y≤-1y≥-1 位于第一、第四象限)，过点F,的直线m交2于M,N两点（分别位于第三、第四象限），是否 存在正数入，对于任意的1，都存在唯一的m,使|MN=入|PQ成立？若存在，求出所有的入； 若不存在，请说明理由， 58 15.(2024·新课标Ⅱ卷，19)(17分)已知双曲线C:x2一y2=m(m>0),点P(5,4)在C上，k为常 数，0<k<1,按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…),过点Pm-1作斜率为k的直线与C的 左支交于点Q-1,令Pn为Qm-1关于y轴的对称点.记Pn的坐标为(xm,yn). （1)若-司求加： (2)证明：数列x。是公比为士的等比数列： (3)设Sn为△PnPm+1Pn+2的面积，证明：对于任意正整数n,Sn=Sm+1 59 16.(2024·上海卷，20)(18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3 小题满分8分 已知双曲线：-芳-1.6>0)，左右顶点分别为A,A,过点M(-2,0)的直线交双面线 下于P、Q两点 (1)若T的离心率为2，求b. (2)若6=26 31 △MA2P为等腰三角形，且点P在第一象限，求点P的坐标. (3)连接QO(O为坐标原点)并延长交T于点R,若A,R·A,P=1,求b的取值范围 的 60因为TP·TQ≤0， ,(3+2t)2-12t-45≤0 故 3 +）- 2 ,解得-3≤≤2： 若连点〔0，一)的动直线的斜率不存在， 则P(0,3),Q(0,-3)或P(0,-3),Q(0,3), 此时需-3≤1≤3，两者结合可得-3≤1≤多 综上，存在T00且-3<1≤号，使得TP.7Q ≤0. 考点三 1.B将点(1,0)代入双曲线方程得：2一0=1→ a2=1→a=1, 将点7,3代入双曲线方程得： 、2 3一1 6 79 → 9=3→b2=12→b=25, 所以双曲线的渐近线方程为y=士b, a 即：y=±23x. 2.B令T 一头0得=土，所以是=子，扇 a 得a=3. 3.D△FPA中，|FA|=|FP|=a+c,∠FAP= 30°，设右焦，点为F, .∠APF=30°，∠PFA=120°，∠PAF'=150°， 由余弦定理： AP2=FA2+FP2-2FAFPIcos 120 =2(a+c)2+(a+c)2=3(a+c)2, .AP|=√3(a+c). 由双曲线定义： |PF'|=|PF|+2a=a+c+2a=3a+c, 在△PAF中，由余弦定理. PF2=PA+AF-2PAF'A c0s150°， (3a+c)2=[√3(a+c)]2+(c-a)2-2(c-a)· √3(a+c)· 3 2 整理得：3c2-ac-4a2=0, ∴.3e2-e-4=0, :e>1.e=3 4 4.D由题知b=√7a,则c=√7+1a=2√2a,所以 离心率e=C=22,故选D. a 5.B先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c, 即可求出离心来，由-=4得，苦-少=1， 所以a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5,即a=2,c= ,所以=后要故选：R 12 6.A如图所示，设|PF2M 3c-a =m,则|PF1=m+2a, PM=m. 由|PF,|+|PF2|= 3c+a 3|F1F2|可得m十(m+ 3c-a 2a)=6c,所以m=3c- a,过P作PM⊥MF1,交 点为M. F 0 F2 c-a 从而|PF1|=3c+a,|F2H|=|PM-|FF2 =c-a. 由|MFl1=|PH|得(3c+a)2-(3c-a)2 =(3c-a)2-(c-a)2, 所以12ac=8c2-4ac,整理即得c=2a,故离心 率e=￡=2. a 7.A本题考查了双曲线 的几何性质.如图，因为 双曲线的渐近线方程为 y=-名=1 .AB与渐近线平行，当 C点在无穷远处时无限 逼近渐近线， 10 ∴.AB边上的高无限逼 近渐近线， .AB的高没有最小值，△ABC的面积没有最 小值. 当C位于(1,0)时，AB边上的高最大，此时 △ABC的面积最大. 8.ACD根据双曲线的对称性可知A1A,与MN 互相平分，所以四边形A1MA2N是平行四边 形，因为∠NAM=,所以∠AMA:=否，A 正确.以FF2为直径的圆的方程为x2十y =c2, b 不妨设渐近线y=二x, a 1x2+y2=c2 由b ,设M(a,b),N(-a,-b), y= a 又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2, R△MA,A中，∠AMA,=否， 所以MA1|:MA2|=2:√3，所以B错误. 所以|A,M=√JTA1A2+MA2 =√J4a2+b2=√J3a2+c2, 由A1M=2|A1A2|得√J3a2+c2=4a, 即c2=13a2,即e2=13,所以e=√13，所以C正 确.因为当a=√2，c2=26,从而b2=24,即b= 25,回边形NA,MA,的面积为S=2X号X2 √2×2√6=8√3，所以D正确. 9.C设F1(0,4)、F2(0,-4)、P(-6,4), 则|F1F2=2c=8,|PF1|=√62+(4-4)2=6， |PF2=√62+(4+4)z=10, 则2a=|PF2-|PF1=10-6=4, 则e==8=2. 2a4 10.C如图：由题可知，点P 必落在第四象限， ∠F1PF2=90°，设|PF2 =m, ∠PF2F1=O1,∠PF1F2 =02,由km,=tan0=2, 则华后 因为∠FPF2=90°，所以km,·ke,=-1,求 得m,=一号中1an8=名 m岛=后由正孩定现可得，PR:R: |FF2|=sin0:sin02:sin90°-2：1：√5， 则由|PF2=m得|PF1|=2m, |F1F2|=2c=√5m, 由5am,=PFPF,=号m·2m =8, 得m=2√2， 则|PF2|=2√2，|PF1=4√2，|FF2|=2C =2√10，c=√10， 由双曲线的定义可得：|PF1|一|PF2|=2a =2√2，a=√2，b=√2-a=8, 所以双南线的方程为号一青-1 1.解析：由5x2-6y=1,得。2=号，8=合，所以 =6+8=品所以--吕=厘 6 垃维 答案 12.解析：由题知：AF2|=5,AF1=13,F1F2 =2c=√132-5=12，解得c=6,|AF1|- |AF,=2a=8,解得a=4,所以e=S=3 a-21 答案： 18 3,解析：双曲线-y=1的渐近线方程为 =士分，直线y=6(x-3)过定点(3,0…只 有当直线y=k(x一3)与渐近线平行时，该直 线与双曲线才只有一个公共点，∴.k的取值为 士（任答一个即可得分）. 答案或-》 14.解：(1)由题意，渐近线方程为y=士x,由对称 性，不妨取y=x, 故点(2,0)到渐近线的距离为2一0=√2. √2 (2)由题意，F1(-√2,0)，F2(√2,0)， 设P(xoy),则x-y=1, 故PF1=(-√2-x0,-y), PF2=(W2-x0,-yo), 故PF1·PF2=x-2+y=1,即x8+y=3, 由/6=1 解得y=1,即yo|=1, {x6+=3 故Sm5=号Fr·=E (3)由题意，直线l斜率不为0，故设l:x=py十 W2,P(x1y1),Q(x2y2), 故{y十y2今(p2-1Dy+22y+1=0, {x2-y2-1 p2-1≠0，△=82-4p2+4>0, y,+2=222 故 p2-1 1 yiy:=p=1 由y1y2<0→p∈(-1,1)， 故|PQ=/(x1-x2)+(y1-y2) 1+力·0+)=4y=1-第 9 故设f(D)=2+22=2+4p 1-p 1Dp∈[0,1)， p2=0时f(p2)=2, 当p2∈(0,1)时f(2)=2十 4-∈(2， 1 -1 +∞)，即|PQ|∈[2，+∞)， 同理，设m:x=qy十√2，M(x3y3),N(x4y4), y3+y1= -2√2g 同理得g-1≠0， g2-1, yy-d-1 由题意，不妨设y3≤-1<y4<0, y3+y<0 得y3y4>0 ,解得g∈(1,22]， ((y3+1)(y4+1)≤0 同理1MN1=牛驾=？十气 4 q2-1 ∈[9+） 也g)=2十，在g∈12格* 故只高9≤AX2,即≥号即可满足题意， 综上，存在[昌十满足题意。 15.解：(1)P1(5,4)在C上， .25-16=m,m=9, 过P,(5,4)且斜率k=号的直线方程为y一4= 2 号（x-5).即x-2+3=0, g。 或∫x=5 .Q1(-3,0),P2(3,0). 即x2=3,y2=0. (2)Pn（xnyn)关于y轴的对称点是 Qn-1（-xnyn）,而Pn-1（xm-1ym-1), Q。-1都在同一条斜率为k的直线上， xm-1卡一xn, y一yL=k,:Pn1,Q。1都在双曲线上 一xn一xn-1 =9,0 {x21-y21=9,② ①-②→(xn-xn-1)(xn十xn-1)=（yn一ym-1） （yn十ym-1)而yn一ym-1=-k(xn十xn-1)③，x -xn-1=-k(yn+ym-1)④，④-③→xm-yn (xn-1-yn-1)=k(zn-yn)+k(zn-i-yn-1) .(1-k)(xn-yn)=(1十k)(xm-1-ym-1), x一=1十k xn-1一yn-11-k 即数列，一是公比为甘会的等比数列 (3)要证：Sn=Sn+1,只需证明Pm+1Pn+2∥ PnP+3,即证kp+1几+：=kp.P+’ 记1会01>1 ,-=红-}±)=， 而x-y=9,xn十yn=9t", ,=（-1+9) 1 而 =xn+2一xn+1 p yn+2一ym+1 =y2十t1-y1- yn+2一yn+1 2t"(t-1) =1+(-*1+911-")-(-t+9t可)' 2t"(t-1) 2t" =1+(-9,-r0-D=1-9+0 128 1 =+3十t-y,-t1 kpPa3 yn+3一m 2t"-1(t3-1) =1+(-4+96)-(-t+97 2t"-1(t3-1) =1+(-9120-)-D 1 21-1 2” 96+=19+, kp+iPte=kpP+g心PiPn+2∥PP+3 .Sn=Sm+1… 6.解：1)因为e=2,即二=2，所以=4 因为a2=1,所以c2=4. 因为a2十b2=c2,所以b2=3, 所以b=√3（负舍. (2)因为△MA2P为等腰三角形， ①若MA:为底，则点P在直线x=-合，与卫 在第一象限矛盾，故舍去. ②若A2P为底，则MP=MA2,与MP>MA2 矛盾，故舍去. ③若MP为底，则MA2=PA2, 设P(xoyo),xo>0,yo>0. 则√x。-1)+(y。-0)产=3，即(x-1)2+y,2 =9,又因为，2-。=1， 8 3 得(。-10+(-1D×号=9，得11x,-6x 一32=0，得xo=2,yo=2√2，即P点坐标为 P(2,2√2). (3)由A1(-1,0),A2(1,0),设P(x1,y1), Q(x2,y2),则R(-x2,一y2),设直线l:x=my 联立 得(b2m2-1)y2 4b2m y1十y2 b2m2-11 4bmy+3b2=0,则{ 362 y1·y2=0m2-1 A1R=(-x2+1,-y2),A2P=(x1-1,y1),又 由A1R·A2P=1,得(-x2十1)(x1-1)-yy2 =1, 即(x2-1)(x1-1)+y1y2=-1,即(my2-3) (my1-3)+y1y2=-1, 化简后可得到(m2+1)y1y2-3m(y1十y2)+10 =0, 所以3b2(m2+1)-12m2b2+10(b2m2-1)=0, 化简bm2十362-10=0， 所以b2= 又m≠是，所以6≠，10 1062 3 3 36+1得6≠3， 所以∈03U(3,]又b>0, 数的取位花周是05U〔原，) 考点四 1.D由64=8p1得p1=8,由16=16p2得2 1.周为扩=2px的焦点为（台0）=2py 的焦点为(0，号)，所以两焦点为C(4,0 c(o,》cl+()-n 2 2.ABDA选项：由y2=8.x得2p=8即p=4,准 线方程为x=一2，A正确；B选项：由题意可知 直线l的方程为y=k(x十1)，与y2=8x联立并 化简，得k2x2十(2k2-8)x十k2=0,△=（2k2 8)2一4k4=32(2-k2),若1与E没有公共点，则 △<0，得k>√2，B正确.C选项：直线过点（一1， 0),联立直线l:y=k(x十1)与抛物线y2=8.x, 得k2x2+(2k2-8)x+k2=0, 若1与抛物线相切，则△=0，即(2k2一8)2一4k =0,解得k=√2（负舍），l的方程为y=√2(x十 1D,由y1+)得B点坐标为1,22)，抛 ly=8x 物线的焦点坐标为F(2,0),L上取一点 B'(2,3√2)，设1与FB所成角的0，cos0= 1-2)2+(22-0)2+(2-12+(32-222-(2-2)2-(0-322 2√(1-2)2+(22-0)2×√(2-1)2+(32-22F 3 由此可见△ABC不为等边三角形，C错误；D选 项：当k=2时，l的方程为y=2x十2，取BC的 中点M,则AM⊥l,则当S△ABc最小时，|AM也 小，设A小1AM1 2×8-1+2 √5 12-4t+81_(t-2)2+41 4√5 4√5 5 当当1=2，即A合2 正确. 3.C 由直线y=-2x十2知F(1,0),所以=1， p=2,所以抛物线方程为y2=4x,准线为x=一1， 所以B(一1,4)，所以yA=4,代入抛物线方程得 A(4,4),所以|AF=号+xA=1+4=5. 12 4.ACDL恰为抛物线的准 线，由抛物线定义可知A 选项正确.设∠AFx=0, 连接AE易知△ADE≌ △AFE, .∠DAE E ∠FAE=吉∠FAD=号 0 则|AE= AFI 0 c052 、0 (1-cos 0)cos2 ABl=AFl+|BFl=1-6o9+1+Os 品。递项B错说。 |AB1=2史≥2p=6,选项C正确； sin0 |AE·|BEI= 力 (1-cos 0)cos 2 (1+cos 0)cos 0+π 2 品。≥1，线装D医京.故本短正确适时 为ACD 5.ABD对于A,由题知图象经过O点，OF|= 2,则-a·2=4,a=-2,故A正确； 对于B,由A知曲线方程：x十2√(x-2)2+y =4, 点(2√2,0)代入得(2√2-2)·(2√2-(-2)) =4,故B正确； 对于C解得y-(千)-(x-2,◆f -(4)--2f=- 32 -2(x-2), 又f(2)=1, 且f(2)=- <0,于是x=2不是极值，故C 1 错误； 对于D,y2= 4) (xo十2 -（x。-2)2≤ (千八，即≤十2故D三确：藏达 (4 12 择：ABD. 6.ABDA显然正确；B正确，A(0,4),当P、A、B 共线时P(4,4),于是PQ=√PA-r2= √4-1=√15；C错，当PB=2时易知P(1,2), B(一1,2)，易知PA与AB并不垂直；D正确， 焦点F(1,0),PB=PF,则PA=PB等价于P 在AF的中套线上，演线的方程为y=宁十侣。 易知它与抛物线有两交点.