8.6 双曲线 练习-2027届高三数学一轮专题复习

**基本信息** 以双曲线定义与几何性质为核心，通过分层题型系统整合“概念-性质-应用”逻辑链，提炼“基本量运算-几何关系转化-代数方程求解”三阶解题方法，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|单选1-4、填空8-9|离心率公式法、渐近线斜率转化、焦点距离公式|从a,b,c关系推导e与渐近线斜率，建立概念生成链| |几何性质综合|多选5-7、填空10|焦点三角形面积公式、余弦定理、内切圆性质|结合定义与几何性质，构建性质应用逻辑| |直线与双曲线综合|解答11-12|韦达定理法、参数方程法、面积公式法|通过代数运算解决位置关系，提升数学表达与模型观念|

8.6　双　曲　线 一、 单选题 1 [2025潍坊一模]若双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的焦距是其实轴长的2倍，则双曲线E的渐近线方程为(　　) A. y＝±x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±x 2 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其渐近线方程为y＝±2x，P是双曲线C上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为4，则双曲线C的焦距为(　　) A. B. 2 C. 2 D. 4 3 [2025长春二模]已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过双曲线的左焦点F1作一条渐近线的垂线，垂足为H，线段HF2的中点在另外一条渐近线上，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. 2 D. 2 4 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，且PF1＝4PF2，双曲线C的一条渐近线方程为y＝kx，则k的最小值为(　　) A. B. － C. D. － 二、 多选题 5 已知双曲线x2－＝1的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA＝2，则PF的长度可能为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6 [2025安阳二模]已知F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点，斜率为且过点F2 的直线交双曲线C的右支于A，B两点，点A在第一象限，且AF1＝AB，则下列说法中正确的是(　　) A. 点F1到双曲线C的渐近线的距离为 B. AB＝10 C. 双曲线C的离心率为2 D. 分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦长为 7 [2025莆田二模]已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线交双曲线C于A，B两点，则下列结论中正确的是(　　) A. F1(－4，0) B. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x C. AB的最小值为4 D. △AF1F2内切圆的圆心在直线x＝±2上 三、 填空题 8 [2025通州高级中学、泗洪中学期中联考]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，直线y＝3与双曲线C交于A，B两点且AB＝2，则双曲线C的标准方程为________． 9 [2025安阳三模]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离为a，则双曲线C的离心率为________． 10 [2025石家庄一模]已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为－2的直线与双曲线交于A，B两点，其中点A在x轴上方，设△AF1F2与△BF1F2的面积分别为S1，S2，则＝________． 四、 解答题 11 [2025南京一调]已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，F1F2＝2，点T(2，)在双曲线C上． (1) 求双曲线C的标准方程； (2) 设直线l过点D(1，0)，且与双曲线C交于A，B两点．若＝3，求△F1F2A的面积． 12 [2025苏锡常镇一模]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点A到其渐近线的距离为，点B(2，1)在双曲线C的渐近线上，过点B的直线l与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点． (1) 求双曲线C的标准方程； (2) 若△APQ的面积为，求直线l的方程． 8．6　双　曲　线 1. B　解析：由题意，得2c＝2×2a，所以＝＝2，则＝，所以双曲线E的渐近线方程为y＝±x. 2. C　解析：由题意，得＝2.又PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为4，所以解得a2＝1，b2＝4，则c2＝a2＋b2＝5，即双曲线C的焦距为2c＝2. 3. A　解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝.如图，记HF2的中点为P.由F1O＝F2O，得OP∥F1H，所以两条渐近线相互垂直，则－·＝－1，可得b2＝a2，所以c＝＝a，所以e＝. 4. B　解析：因为PF1＝4PF2，且PF1－PF2＝2a，所以PF1＝a，PF2＝a.因为PF1＋PF2≥F1F2，所以a＋a≥2c，即1<e≤.由题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y2＝x2.因为双曲线C的一条渐近线方程为y＝kx，所以k2＝＝＝e2－1.因为e∈，所以k∈∪，所以k的最小值为－. 5. AB　解析：设P(x，y)，则y2＝3(x2－1).由题意，得A(1，0)，F(2，0)，所以PA＝＝2，解得x＝－1或x＝.当x＝－1时，P(－1，0)，此时PF＝3；当x＝时，y2＝，此时PF＝＝2.故选AB. 6. ACD　解析：由题意，得双曲线C的实半轴长a＝1.因为kAB＝，所以sin ∠BF2F1＝，cos ∠BF2F1＝.又AF1＝AB，所以BF2＝AB－AF2＝AF1－AF2＝2a＝2，BF1＝2a＋BF2＝4a＝4.在△BF1F2中，由余弦定理，得BF＝F1F＋BF－2F1F2·BF2·cos ∠BF2F1，即16＝F1F＋4－2×2F1F2×，解得F1F2＝4或F1F2＝－3(舍去)，则2c＝F1F2＝4，解得c＝2，所以b＝＝，即点F1到双曲线C的渐近线的距离等于，故A正确；易得双曲线C的离心率为e＝＝2，故C正确；在△AF1F2中，由余弦定理，得AF＝F1F＋AF－2F1F2·AF2cos ∠AF2F1，则(AF2＋2)2＝42＋AF－2×4×AF2×，解得AF2＝6，所以AB＝AF2＋2＝8≠10，故B错误；如图，过点F1作F1E⊥AB于点E.因为∠BEF1＝∠F1EF2＝，所以点E在以BF1，F1F2为直径的圆上，所以以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦为F1E.又BF1＝4＝F1F2，所以F1E＝＝，故D正确．故选ACD. 7. ACD　解析：在双曲线C：－＝1中，a2＝4，b2＝12，所以c2＝a2＋b2＝16，所以c＝4，所以双曲线C的左焦点为 F1(－4，0)，渐近线方程为y＝±x＝±x，故A正确，B错误；双曲线C：－＝1，F2(4，0)，当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝4，此时A(4，6)，B(4，－6)，所以AB＝12；当直线AB的斜率为k，且k<－或k>时，设直线AB的方程为y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立消去y并整理，得(3－k2)x2＋8k2x－16k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以AB＝·＝·＝12＝12＝12.又k<－或k>，所以|1＋|>1，则AB>12；当直线AB的斜率为k，且－≤k≤时，过点F2的直线交双曲线C于A，B两点，左、右支各有一个交点，所以AB≥2a＝4，且当直线AB的斜率为0时，AB取得最小值4，故C正确；设圆M分别与AF1，AF2，F1F2相切于点C，D，G，则AC＝AD，CF1＝GF1，GF2＝DF2.若点A在双曲线的右支上，则AF1－AF2＝2a＝4，所以AF1－AF2＝CF1－DF2＝4.令点G的横坐标为x1，则(x1＋c)－(c－x1)＝2x1＝4，解得x1＝2，所以G为双曲线E的右顶点，即△AF1F2的内切圆圆心M在定直线x＝2上，同理，若点A在双曲线的左支上，则△AF1F2的内切圆圆心M在定直线x＝－2上，故D正确．故选ACD. 8. x2－＝1　解析：由双曲线的对称性知A(±，3)，则解得故双曲线C的标准方程为x2－＝1. 9. 2　解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离为b，则b＝a，所以双曲线的离心率e＝＝＝＝2. 10. 　解析：由题意，得F1(－3，0)，F2(3，0)，则直线AB：y＝－2(x－3)，即x＝3－，将其代入双曲线的方程中，得y2＋6y－96＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝2，y2＝－8，所以＝－＝. 11. (1) 方法一：由题意，得c＝，F1(－，0)，F2(，0). 因为点T在双曲线C上，所以TF1－TF2＝2a， 即2a＝－＝4，解得a＝2， 所以b2＝c2－a2＝2， 所以双曲线C的标准方程为－＝1. 方法二：因为F1F2＝2，所以c＝， 所以a2＋b2＝6.① 由点T在双曲线C上，得－＝1.② 联立①②，解得a2＝4，b2＝2， 所以双曲线C的标准方程为－＝1. (2) 方法一：设B(x0，y0)，则＝(x0－1，y0). 因为＝3， 所以＝(3x0－3，3y0)， 所以点A的坐标为(3x0－2，3y0). 因为点A，B在双曲线C上，所以 解得x0＝3，y0＝±，所以点A的坐标为， 所以S△F1F2A＝|yA|·F1F2＝××2＝3. 方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2). 由题意，得直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为x＝ty＋1. 联立消去x并整理，得(t2－2)y2＋2ty－3＝0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－. 因为＝3，所以y1＝3y2， 则有4y2＝－，3y＝－， 整理，得＝×，解得t2＝， 所以|y1|＝|3y2|＝＝＝， 所以S△F1F2A＝|y1|·F1F2＝××2＝3. 12. (1) 因为双曲线C的一条渐近线方程为bx－ay＝0，且A(a，0)， 所以点A到渐近线的距离为d＝＝. 又点B(2，1)在双曲线C的渐近线上，所以2b－a＝0， 所以a＝2，b＝1， 所以双曲线C的标准方程为－y2＝1. (2) 方法一：如图，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1. 联立消去y并整理，得(1－4k2)x2－(8k－16k2)x－16k2＋16k－8＝0， 则有1－4k2≠0，Δ＝(8k－16k2)2－4(1－4k2)(－16k2＋16k－8)＝32－64k>0，解得k<且k≠－. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|x2－x1|＝＝， 所以S△APQ＝AB·|x2－x1|＝×1×＝. 又k<，且k≠－，所以1－2k>0， 所以×＝＝， 则(k＋1)(4k2－2k＋1)＝0，解得k＝－1. 故直线l的方程为x＋y－3＝0. 方法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则直线AP的方程为y＝(x－2)， 即y1x－(x1－2)y－2y1＝0， 所以点Q到直线AP的距离为d＝＝. 又AP＝， 则S△APQ＝AP·d＝|(x2－2)y1－(x1－2)y2|. 由P，B，Q三点共线，得kPB＝kBQ，即＝， 即(x2－2)y1－(x1－2)y2＝x2－x1， 所以S△APQ＝|x2－x1|＝，则|x2－x1|＝. 同方法一，得|x2－x1|＝＝， 则＝，即(k＋1)(4k2－2k＋1)＝0， 解得k＝－1. 故直线l的方程为x＋y－3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $