2.7 数系的扩充与复数的引入-【创新教程】2022-2026五年高考数学真题分类特训

16.解：(1)边长为a的正三角形的面积为。， S-8,+S-9d-8+2)=9即=1, 4 由smB=吉得cosB=2g,a=B=3吧， cos B 4 故sa==×3×号- 1 4 38 (2)由正弦定理得：sinA=asinB,sinC=csinB,由题 b b 设得器一号由1为8=子所以6=合 17.解：(1)sin2C=√3sinC,2 sin Ccos C=√3sinC,cosC- 9又0K∠c<受∠C=吾 (2:Sac=63,2a6sinC=65,:∠C- =6 六sinC=之，a=45,由余弦定理得c2=a+B- 2 abcos C=48+36-2X4W5×6×5=12, 2 c=2W3,所以△ABC的周长为6√3+6. 考点5正、余弦定理的实际应用 1.B由条件得，△OAB为等边三角形，有OC=3,CD= 2-3,所以5=2+2-3)=2+7-45-11-43 2 2 2.解析：如图，不妨设OA=OB=a,BT=b, AT=c,则AB=√2a B 所以在△ABT中，(W2a)2=b+c2-2bc c0s53.5°① 在△0BT中，sin16.5= a b sin∠BOT② 在△0AT中，sin37=sin(9o-∠B0T③ 联立①②③得∠BOT≈7.8° 答案：7.8° 专题七数系的扩充与复数的引入 考点1复数的概念 1.ACD由z=3+2i,得z=3-2i,A正确；z=√32+2 =√13≠5，B错误；z2=(3+2i)2=9+12i-4=5+12i, C正确，+3=6+21-6+2(3-D=2∈R,D正确. z-i3+i 10 2.C由(1十5i)i=一5十i,即知虚部为1，选C. 3.C1x=√1+1=√2. 4.D因为之=√2i,所以之·z=2,故选D. 5.C(a+i)(1-ai)=a-a2i+ita=2a+(1-a2)i=2, 所以(2a=2,。解得a=1.故选C. 1-a2=0, 6.C由题意可得2+i+2i3=2-1-2i=1-2i, 则|2+2+23|=|1-2i=√1+(-2)7=√5.故选C. 详解详析 7.A由题设，z=1-2i,之=1十2i,代入有a十b+1十(2a- 2)i=0,故a=1,b=一2，选择A. 8.A因为a,b∈R,(a十b)十2ai=2i,所以a十b=0,2a= 2,解得：a=1,b=-1.故选A. 9.解析：本题考查了复数的模、以及复数的运算 l3+il=⑩=/0. 1 答案：√0 10.解析：设x=1十bi(b∈R,且b≠0)， 所以+是-1+i+平=1+i+2“,的 1+b2 =1+1+() 因为m∈R, 26 所以6一1十6=0，解得6=士1， 所以m=1十，2 +=1+1=2. 答案：2 11.解析：1-i这=1-i(1+i)=2-i,|1-iz=|2-il=√5. 答案√5 考点2复数的四则运算 1.B(1-3iD2=12-2×1×3i+(3i)2=1-6i-9 =-8-6i. 2.C因为之1=2十i,22=1-3i,所以之1十2=2+i十1-3i =(2+1)+(1-3)i=3-2i,则|x+2|=13-21= √32+(-2)=√13. 3.A马=日=-i 4.B先求出复数之，再根据复数模的公式即可求出.由i· z+2=2可得，z=-2+21=2+2i,所以1z1=√2+2 =2√2，故选：B 5.C由题知z=(1十iD(z-1),2=1十i-1-i.故选择C. 6.A因为z=5十+i,所以x=5-i,故i(z十x)=10i 7.C名=-1-i,则x=i(-1-)=-i-2=1-i. 8A周为-十-合所以-日 所以z一z=一i.故选A 9.C 5(1+)=5(1-边=1-i,故选C. (2+i)(2-i) 5 10B由题意可得=十+=2-2P- 2i-1=1-2i,则z=1+21.故选B. -1 11.C由之二一1+31=-1+1，故选C. 2-14-1 3 12.D对原式两边同时乘以i得：之一1=i,即z=1十i,所 以之=1一i,即之十x=2,故选D. 13.D(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i=2-2i+4 =6一2i,故选D 最新真题分类特训·数学 14.C设x=a十bi,则之=a-bi,代入得4a十6bi=4+6i, 得a=1,b=1,.x=1+i. 15.解析：(3+i)2=9+i2十6i=8+6i. 答案：8十6i 16.解析：（√5+i)·(wW5-2i)=5+√5i-2W5i+2=7-√5i. 答案：7一√5i 17.解析：由题意可得5，+14i-5+14)(2-3=52+131 2+3i(2+3i)(2-3i) 13 =4+i. 答案：4+i 考点3复数的几何意义 1.A由题知(1+3i)(3-i)=3一i十9i-3=6+8i,所以 该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限.故 选A. 2.解析：本题考查了复数的运算，复数的模的最值 设之=a十bi(a,b∈R) “x=(, .(a+bi)2=(a-bi)2, 解得a=0或b=0, |z1, ∴.应当a=0,|b≤1或b=0,|a≤1， ,|z一2-3i表示复平面上之的对应点与(2,3)的距离， 可知当之位于(0,1)时，|z一2一3i取得最小值为2√2. 答案：2√2 专题八数列 第1节数列的概念及其表示 考点1数列的递推式和通项公式 D《取特殊值)取a,=1,于是有=2,6=是，6= .5 6=号…，分子分串分别构成变诚哪奥数列，于是有 6=86,-36-14- 55 于是得6>46=1+号=1+器>1+器=66=1+ 意>1+名=6-赞-1+>1+号=6对比选 项，选D. 考点2S。与am的关系 C由S2n-Sn=n①. 当n=1时，S2-S1=1,即a2+a1-a1=1, ∴.a2=1, 当n≥2时，S2m-1)-S。-1=n-1, 即S2a-2-S4-1=n-1②. ①-②整理得：a2m十a2m-1一an=1③. ③式令n=2,a4十a3-a2=1,a2=1,a3=6, .a4=-4. ③式令n=3,a6十a5-a3=1, ③式令n=4,ag十a,-a4=1, .ag十a,=1十a4=-3. 1 第2节等差数列和等比数列 考点1等差数列及其性质 1.B因为S1=3a2=6,所以a2=2,因为S=5a3=-5, 所以a3=-1,所以{an}的公差d=a3一a2=一3，所以a1 =5,所以S。=6a1+15d=6×5-15×3=-15. 2.C因为{an}为等差数列，设其首项为a1,公差为d,则 s=m+u2,各=a+”24=号+a-号， S.S.4, n+l n 2 故（侣}为学是数列，到甲是乙的克分条件， 反之， 停}为等送数到，即-母 n nSt1-(n十1)S。_0+1一S为常数，设为t, n(n+1) n(n+1) 即0S=,故S.=a1-t·n(n+1),故S1 n(n+1) (n-1)an-t·n(n-1),n2, 两式相减有：an=a+1一(n一1)a.一2tn→a+1一am= 2t,且为常数，对n=1也成立，故{an}为等差数列，则甲 是乙的必要条件，故甲是乙的充要条件.故选C. 3.B依题意，等差数列a}中a.=a1十6n-1)…管- n+(a-） 显然画数y=c[管十(a一)门的月期为3，西 N‘,即cos a,最多3个不同取值， 又{cos a In∈N'}={a,b}, 则在cosa1,cosa2,cosa3中，cosa1=c0sa2≠cosa3或 c0sa1≠c0sa2=cosa3, 于是有cos9=cos(0+）,即有0+(0+)=2，k ∈Z,解得0=kr-牙，∈Z, 所以k∈Z, ah-cos(kx-吾)os[(x-5）+5] =-c0(kx-号）osx=-a0s号 =一，故选B 4.D设OD1=DC1=CB1=BA1=1,则CC1=k1,BB1= k2,AA1=k3, 由题意得k3=k1十0.2，k3=2十0.1 8+瓷股+欲-a阳 解得=0.9，故选D. 5.解析：S6=3+6+12+24+48+96=189. 答案：189 6.解：(1)因为3a2=3a1十a3,故3d=a3=a1+2d,即a1= d故a,=nd,将以么=洁-”宁8=， nd 2 2第二部分专题七数系的扩充与复数的引入 年真题分类特训 专题七 数系的扩克与复数的引入 知识技能解读… 复数是每年的必考项和高考的得分项，复数以考查复数的四则运算为主，偶尔与其他知识交 汇.考查代数运算的同时，主要涉及考查的概念有：复数的代数形式、复数的模、复数的几何意义.高 考对复数的考查，难度有增加的趋势，常出现在多选题中.应加强复数解题技能的掌握. [考点1]复数的概念 7.(2022·全国乙卷（理），2)已知之=1一2i,且 1.(2026·全国I卷，9)（多选）设z=3+2i,则 之十a·之十b=0,其中a,b为实数，则() ( A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 A.x=3-2i B.|x=5 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2 C.z2=5+12i D.23ER z-i 8.(2022·全国乙卷（文），2)设(1+2i)a+b= 2.(2025·全国一卷，1)(1十5i)i的虚部为 2i,其中a,b为实数，则 () ( A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1 A.-1 B.0 C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 C.1 D.6 9.(2025·天津卷，10)已知i是虚数单位，则 3.(2024·新课标Ⅱ卷，1)已知z=一1一i,则 3+i |z= ( i A.0 B.1 10.(2024·上海卷，9)已知虚数x,其实部为1，且 C.√2 D.2 十2=m(m∈R),则实数m为 4.（2024·全国甲卷（文），2)设x=√2i,则之· 之= () 11.(2023·上海卷，6)已知复数z=1+i(i为 A.-2 B.2 虚数单位)，则|1一iz= C.-2 D.2 [考点2]复数的四则运算 5.(2023·全国甲卷（理），2)若复数(a十i)(1 1.(2026·全国Ⅱ卷，1)(1-3i)2= 一ai)=2,a∈R,则a= ( A.-8+6i B.-8-6i A.-1 B.-2 C.8+6i D.8-6i C.1 D.2 2.(2026·北京卷，2)已知复数之1=2十i,之2= 6.(2023·全国乙卷（文），1)|2+2+23|= 1一3i,则z1+z2= A.1 B.2 A.5 B.√5 C.5 D.5 C.√13 D.13 57 最新真题分类特训·数学 3.(2025·全国二卷，2)已知x=1+i,则2-气 11.(2022·全国甲卷（理），1)若之=一1十√3i, 则之 z2-1 A.-i B.i C.-1 D.1 A.-1+√3i B.-1-√3i 4.(2025·北京卷，2)已知复数之满足i·之十2 =2i,则|x= c吉 ( n吉停 A.√2 B.2√2 12.（2022·新高考1卷，2)若i(1-z)=1,则 C.4 D.8 义十= A.-2 B.-1 5.(2024·新课标I卷，2)若2产1=1十i,则 C.1 D.2 之= () 13.(2022·新高考Ⅱ卷，2)(2+2i)(1-2i)= A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i A.-2+4i B.-2-4i 6.(2024·全国甲卷（理），1)若之=5十i,则 C.6+21 D.6-2i i(之+z)= ( 14.(2021·全国乙卷（理），1)设2（之十之）十 A.10i B.2i C.10 D.2 3(之一之)=4十6i,则z= () B.1+2i 7.(2024·北京卷，2)若复数2满足普=-1-i, A.1-2i C.1+i D.1-i 则之= ( ) 15.(2026·天津卷，10)已知i是虚数单位，化 A.-1-i B.-1+i 简(3+i)2= C.1-i D.1+i 16.(2024·天津卷，10)已知i是虚数单位，复 8.（2023·新课标I卷，2)已知之= 2+27则 1-i 数(W5+i)·(√5-2i)= 之一之= ) 17.(2023·天津卷，10)已知i是虚数单位，化 A.-i B.i C.0 D.1 简+的钻果为 5(1+3) 9.(2023·全国甲卷（文），2)(2十D(2-D [考点3]复数的几何意义 1.(2023·新课标Ⅱ卷，1)在复平面内，(1十 3i)(3一i)对应的点位于 () A.-1 B.1 C.1-i D.1+i A.第一象限 B.第二象限 10.(2023·全国乙卷（理），1)设x=1十平+' 2+i C.第三象限 D.第四象限 2.(2025·上海卷，10)已知复数之满足之2= 则之= ( (2,|之≤1，则|之-2-3i的最小值 A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 是 8