专题十一 数系的扩充与复数的引入-【创新教程】2022-2026五年高考数学真题分类特训试卷

最新真题 专题十一数系的扩充与 3 分类特训 [直题题组·实战集训1] 一、选择题 1.(多选)(2026·全国I卷，9)设x=3+2i,则 A.z=3-2i B.|z|=5 C.z2=5+12i D.ER x-i 2.(2026·全国Ⅱ卷，1)(1-3i)2= A.-8+6i B.-8-6i C.8+6i 3.(2026·北京卷，2)已知复数之1=2十i,2=1一3i,则|之1十x2= A.5 B.5 C.√13 4.(2025·全国一卷，1)(1十5i)i的虚部为 A.-1 B.0 C.1 5.(2025·全国二卷，2)已知=1+i,则 A.-i B.i C.-1 6.(2025·北京卷，2)已知复数z满足i·之+2=2i,则|z|= A.√2 B.2√2 C.4 7.(2024·新课标I卷，2)若产=1+i,则= A.-1-i B.-1+i C.1-i 8.(2024·新课标Ⅱ卷，2)已知之=-1一i,则|z|= A.0 B.1 C.2 9.(2024·全国甲卷（理），1)若z=5十i,则i(之十)= A.10i B.2i C.10 10.(2024·全国甲卷（文），2)设之=√2i,则之·之= A.-2 B.√2 C.-2 11.(2024·北京卷，2)若复数之满足三=-1-i,则x= A.-1-i B.-1+i C.1-i 12.(2028·新爆标I卷，2)已知=十牙则。-8 A.-i B.i C.0 99 复数的引入 ( ) ( ) D.8-6i ( ) D.13 ( ) D.6 ( ) D.1 ( ) D.8 ( ) D.1+i ( ) D.2 ( ) D.2 ( ) D.2 ( ) D.1+i ( ) D.1 13.(2023·新课标Ⅱ卷，1)在复平面内，(1+3i)(3一i)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14.(2023·全国甲卷（理），2)若复数(a+i)(1一ai)=2,a∈R,则a= A.-1 B.-2 C.1 D.2 二、填空题 15.(2026·天津卷，10)已知i是虚数单位，化简(3+i)2= 16.(2025·天津卷，10)已知i是虚数单位，则 17.(2025·上海卷，10)已知复数z满足之2=()2，|z≤1，则|z一2一3的最小值是 18.(2024·上海卷，9)已知虚数，其实部为1，且十2=m(m∈R),则实数m为 19.(2024·天津卷，10)已知i是虚数单位，复数(5+i)·(5-2i)= 20.(2023·天津卷，10)已知i是虚数单位，化简卉的结果为 21.(2023·上海卷，6)已知复数z=1+i(i为虚数单位)，则|1一iz= [真题题组·实战集训2] 5(1+3) 1.(2023·全国甲卷（文），2) (2+i)(2-i) A.-1 B.1 C.1-i D.1+i 2.(2023·全国乙卷（理），1)设x 2+i 1++,则 A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 3.(2023·全国乙卷（文），1)|2++23|= A.1 B.2 C.5 D.5 4.(2022·新高考I卷，2)若i(1一z)=1,则之十之= A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.(2022·新高考Ⅱ卷，2)(2+2i)(1一2i)= A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i 6.(2022·全国乙卷，2)已知z=1一2i,且之+a·之+b=0,其中a,b为实数，则 A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2 7.(2022·全国甲卷，1)若x=-1十√3i,则之一= ( 2-1 A.-1+√3i B.-1-√3i n吉 8.(2022·北京卷，2)若复数之满足i·之=3一4i,则|z= A.1 B.5 C.7 D.25 10011.解析：由题意可知，令x=1得，展开式中各项系数的和 是(1十1)”=32，所以n=5,该二项式的展开式的通项 公式是T,+1=C5·x·1',令5-r=2,得r=3,则x2 项的系数为C=10. 答案：10 12.解折：展开式的通项公式T+=C2x)-(一士) =(-1)X2i-XCXx18-46 令18一4k=2,可得k=4, 则x2项的系数为(-1)‘×2-4×C6=4×15=60. 答案：60 13.解析：原式等于(x十y)-(红十)，由二项式定理，其展 开式中xy的系数为C-C=C-C=-28. 答案：-28 专题十一数系的扩充与复数的引入 实战集训1 1.ACD由=3+2i,得=3-2i,A正确；x=√32+2 =√/13≠5，B错误；x2=(3+2i)2=9+12i-4=5+12i, C正确，+3=6+21=6+21)8-D=2∈R.D正确. -i3+i 10 2.B(1-3i)2=1-2×1×3i+(3i)2=1-6i-9 =-8-6i. 3.C因为名=2+i,=1-3i,所以名1十2=2+i+1-3i =(2+1)+(1-3)i=3-2i,则x1+2|=|3-2i训 =√3+（-2)F=√13. 4.C由(1+5i)i=一5+i,即知虚部为1，选C. 5.A 11=-i -1i 6,B先求出复数之，再根据复数模的公式即可求出，由i· +2=21可得，2=二2+21=2+2，所以：1=√2+2 i =2√2，故选：B. 7.C由题知=1+iD(:-1),之=1+1-1故选择：C 8.C|z=√+1=√2. 9.A因为=5十i,所以x=5一i,故ig十x)=10i 10.D因为之=√2i,所以之·=2，故选D 11.C÷=-1-i,则x=i(-1-i)=-i-=1-i. 12.A周为-，所以=名所以发- 1-i 一i.故选A. 13.A由题知(1+3i)(3-i)=3-i+9i一3=6+8i,所以 该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限. 故选A 14.C(a+i)(1-ai)=a-ai+i+a=2a+(1-a2)i=2, 所以2a=2。解得a=1.故这C. {1-a2=0, 15.解析：(3+i)=9++6i=8+6i. 答案：8+6i 16.解析：本题考查了复数的模、以及复数的运算 3+ is 13+il==√/0. i 1 答案：√10 10 17,解析：本题考查了复数的运算，复数的模的最值. 设x=a十bi(a,b∈R) g=()2, .(a+bi)2=(a-bi)2, 解得a=0或b=0, g1, .应当a=0,|b1或b=0,a≤1， ,|之一2一3i表示复平面上之的对应点与(2,3)的距 离，可知当之位于(0,1)时，之一2一3i取得最小 值为2√2 答案：2√2 18.解析：设之=1十bi(b∈R,且b≠0)， 2 所以+21+i+中=1+bi+2:0-二) 1+b2 +平+()小 =1+2 因为m∈R,所以62=0，解得6=士1， 所以m=1计子 =1+1=2. 答案：2 19.解析：(W5+i)·(W5-2i)=5+√5i-2√5i+2=7-√⑤i. 答案：7-√5i 20.解析：由题意可得5，+14=5+14(2-3=52+131 2+3i (2+3i)(2-3i) 13 =4+i. 答案：4十i 21.解析：1-i这=1-i(1+i)=2-i,11-i这=|2-i=√5. 答案：W5 实战集训2 1.C 5(1+)=5(1-卫=1-i,故选C. (2+i)(2-iD 5 2+i 2+i 2.B由题意可得：=1十十行=1-1中 =i2+D 2i-1=1-21,则=1+2i.故选B, 1 3.C由题意可得2++2=2-1-2i=1-2i, 则|2++2|=|1-2i=√2+(-2)产=√5.故选：C. 4.D对原式两边同时乘以i得：之一1=i,即x=1十i,所以 =1一i,即之十之=2，故选D. 5.D(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i=2-2i+4=6-2i, 故选D 6.A由题设，之=1一2i,=1十2i,代入有a十b十1十（2a 2)i=0,故a=1,b=一2，选择A. 7.C由￥=1+=-1+ ,故选C 一1 4-1 3 3 8,B由条件可知之=3i=-4-3i所以=5. 1 专题十二统计与统计案例 实战集训1 1.B将数据从小到大排列为4,5,6,8,12，中间数为6， 选B. 2.A对于A:回归方程y=-1.17x+1370.7,斜率为负， 且相关系数|r|=0.91表示相关程度较高，故判断为负 相关，A选项正确；对于B:当x=10时，y=-1.17×10 +1370.7=1359,回归方程所求y,得到的是预测值，实 际值不一定等于预测值，B项错误；对于C:由选项B分 析可知C选项错误；对于D:相关系数|r=0.91,接近于 1,说明两变量线性相关程度较高，故存在线性关系。 3