2.6.1 平面向量的概念及运算&2.6.2 平面向量的数量积及应用-【创新教程】2022-2026五年高考数学真题分类特训

最新真题分类特训·数学 f(年）=2sin(2×平+g）=2sin(登+9)=2os9=l (2)由1)得f)=cos(2x+骨） c09=,则9= 1 所以gx)=os(2z+)）十cos[2(-吾)十+骨] 故w=29=子 =cos(2x+号)+cos2x (2)(三角函数的单调性法) 第1步：写出正弦函数的单调递减区间 由1)得f)=2sin(2x+吾) -Bcos(2x+若） 正弦函数y=sinw的单调递减区间为 因为x∈R,所以g(x)的值域为[-√3，W3], [+2x,3经+2kx]a∈D. 令-x+2kx≤2x+晋≤2kx,k∈乙， 第2步：解关于x的不等式 令4=2+骨，则受+2k≤2z+音≤+2kx∈D, 得-+≤≤-最十a,ez. 化简得，至十k≤x≤径+（∈D, 令2kx≤2x+吾<x+2x,k∈Z, 第3步：写出最终单调递减区间 得-是十k≤≤品十，k长z 所以f()的单润递减区间为[臣+登+]， 所以g(x)单调增区间为 k∈Z. [品+，-是+m]ke五， 12.解，af)-m(2x+晋)T-经-受-元 单调递减区间为[一是十，是x十k如]∈乙 2z[-晋，8]2x[-骨，] 专题六平面向量 第1节平面向量的概念及运算 2x+晋∈[，5]◆t=2x+6 考点1平面向量的线性运算及平面向量基本定理 y=m:在[看，]单调递增。 1.A因为a,b不共线，即a≠b,且a,b不为0，所以2a十 b=a-3b可化为(2-x)a=-(y十3)b,所以 当1=-石，即2x+=-石时， 2-x-0解得z=2y=-3,选A %=如（晋）- 3+y=0, 2.解析：由题意，不妨设a十3b=A(b十c)=μ(2a十c), π=3 当1=号，即2z+-号时=sin=号， a=(a-3)b+c 则 =+ (λ-3=1-2 -3 故 ,解得=-6。 - 'sin 2a=2sin acos a-2xx22 答案：一6 3 3 3 考点2平面向量的坐标运算 cos2a=1-2sina=1-2X 1.D因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4十x2- 4x=0,解得x=2.故选择：D. fa=sm(a+看） 2.D(a+b)·(a+b)=a2+(a+)(a·b)+yb -sin 2acoscos 2asin =2(1+)=0,所以4=-1.故选D. 3.B因为a=(3,1),b=(2,2), =22×+日× 所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1), 32 则1a+b1=√5+32=√34，|a-b=√1+1=√2， =2V6+1 6 (a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2, 2 13.解：(D周为0)=60s9-号且0≤<x, 所以c0s(a十b,a-b)=a+b):Ca-b2= 1a+ba-b√34×√2 所以9=子 罗故适R 详解详析 4.解析：由题意可知，2k=5×6,则k=15. 3.D因为a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以a-b 答案：15 =√/4+（-3)=5.故选D. 5.解析：a·b=-2×1十3×2=4. 4.解析：因为a-b=(x,1)一(x一1,2x)=(1,1一2x), 答案：4 又a⊥(a-b), 第2节平面向量的数量积及应用 所以a·(a-b)=x十1-2x=1-x=0,解得x=1, 考点1平面向量的数量积 所以a=√2+1平=√2. 1.D将已知条件的两边分别平方得：|a+b12=|a2+ 答案：W2 2a·b+|b2=1, 5.解析：由a十bl=2a-bl,得a2=2a·b; |a-b12=|al2-2a·b+1b12=3, 由a-bl=√3，得a2-2a·b+62=3,即b=3, 两式相减得：4ab=1-3=-2,即a…b=一分 1bl=√3 2.B以(AB,AD}为基底向量，可知AB=|AD=2, 答案5 AB·AD=0, 考点4平面向量的综合应用 则EC-E店+BC=AB+Ad,ED-EA+AD 1.D先根据AB=OB-OA,求出OA,OB,进而可以用向 量OA,OB表示出2CA十AB,即可解出， -2AB+AD, 因为|OA1=|OB=√2，|AB|=2, 所以】 C ED (2AB+AD) 由AB=OB-OA平方，可得OA·OB=0, (号A店+AD =-A+A =-1十4=3.故 所以OA,0B》-. 选B. 2CA+AB=2(0A-0C)+OB-O4=OA+OB-20元， 3.D建立如图所示坐标系，由题易 0C1=V/32+4F=5,所以，2CA+AB2=OA+OB 知，设C(0,0),A(3,0),B(0,4), B(0,4) +4O元-4(OA+OB)·0C .'PC=1,.P (cos 0,sin 0), 0e[0,2x), =2+2+4×25-4(0A+OB)·0C PA.PB=(3-cos 0,-sin 0). =104-4(OA+OB)·OC, P,y） (-cos 0,4-sin )=-3cos 0- 又(OA+OB).OC1≤1OA+OB1IOC1=5X√2+2= 4sin 0+cos20+sin0=1-5sin(0 10,即-10≤(0A+0B)·0C≤10， 3 +p)(其中sinp=号，cosp= 所以|2CA+ABI2∈[64,144]，即|2CA+AB|∈[8， 号[-4,6]，所以选D. 12],故选：D. 2.A如图所示，|OA|=1, D 4.解析：(2a+b)·b=2a·b+6=2×1X3×号+32=11. |OP|=√2，则由题意可知： C 3 答案：11 ∠APO=元， 4, 5.解析：由a1b,得m十3m十3=0，解得m=一3 由勾股定理可得PA= 4 √OP2-OA=1 答案：-日 当点A,D位于直线PO异侧时， 考点2平面向量的夹角 设∠OPC=a,0a≤至， C由已知有c=(3十t,4),cos〈a,c〉=cos(b,c),故 9+3t+16_3+t 1c·5=1c.1,解得t=5,故选C 则PA.PD-|PAp可cos(a+) 考点3平面向量的模 =1 X/2cos acos(+） 1.C设b=(x,y),则a-b=(2-x,-y).由la-b|=2, 得(2-x)2+(-y)2=4,即(x-2)2+y2=4,所以点(x, =√2cosa 2 cos asin y)的轨迹是圆心为(2,0)，半径r=2的圆.又|b|= =cos2a-sin acos a √x+y=√(x-0)2+(y-0),点(0,0)在点(x,y)的 -1+gs2a-合sin2a 2 轨迹圆上，所以bmax=2r=4. 2.B将条件|a+2b|=2平方得1+4a·b+4b2=4,由 =12. （-2aLb得6-2a:b=0,所以6=合，b1-号 0<a≤要，则-≤2a-≤， 165 最新真题分类特训·数学 六当2a-开=-要时，PA: 4,解析：本题考查了平面向量的数量积，模的最值. 由题意可知，f(a,b),f(b,c),f(a,c)三者全为0或一个 PD有最大值1. 0 为1，一个为一1，一个为0. 当点A,D位于直线PO同侧 当全为0时，可知a,b,c,两两垂直，不符合题意，所以必 时，设∠0PC=a,0≤a≤年， 为后者，不妨设f(a·b)=0,f(b·c)=一1， f(a,c)=1, 则：PA.PD=PA.PD 可知b·c<0,a·c>0,a·b=0, cos(a-) 设a=(1,0),b=(0,1),c=(cos0,sin0), =1 /2coac(a-f） ac=cos9>0,b=sin0K0,∴0e(20） ∴.|a+b+cl=√(1+cos8)2+(1+sin8)2 √2 =cos2 a+sin acos a √3+2isim(+）: -1中eg2a+7in2a 2 可知0+晋（香）2(0件）(-2,2， =1+2 ∴.la+b+cl∈(1，w5⑤). 合+号sin(2a+晋} 答案：(15) 0<a≤，则≤2a+牙≤受， 5.解析：如图，因为E为CD的中 点，则ED十EC=0, 六当2a+至=吾时，PA·P0有最大值1 2 (AE+ED-AD 综上可得，PA,PD的最大值为1士区 可得 2 AE+EC-AC 故选A· 两式相加，可得到2AE=AD十AC, 3.解析：第一空：由c=a十b且a十b一c=0, 即2正-子a+b:则正-a+b: 因为B示=号8C,则2P店+F元=0， AF+FC=AC 可得 AF+FB=AB 得到AF+FC+2AF+FB=AC+2AB, 即3AF=2a+b,即AF=号a+号b 于是A正：A=(a+):(号a+号) .c=a+b=a十b, .==1, -b(2a+5a·b+26). ∴+u=2, 第二空：设a与b夹角为0. 记AB=x,AC=,则A正.AF=立2a2+5a·b+26) |a=ab=1, ∴.lal=|a·|blcos0=l, -72r+5os60+2y) .'.Ibl cos 0=1, 不妨设a=(1,0),b=(1,m),m∈R,c=（(x,y), =(2x++2y） a+b-c=(2-x,m-y), 在△ABC中，根据余弦定理： |a+b-cl=1, BC=x2+y2-2xycos 60=x2+y2-zy=1, .(x-2)2+(m-y)2=1, 于是A正.正-(+受+2）品（学+2） 设c=OC, O为坐标原点， 由x2+y2-xy=1和基本不等式，x2+y2-xy=1>≥ C点轨迹为以(2，m)为圆心，1为半径的圆， 2xy-xy=xy, 设C(2十cosa,n十sina),x∈R, 故xy≤1，当且仅当x=y=1取得等号， 由c=OC=a十b得入十u=2+cosa, 则x=y=1时，A正，A正有最大值是 所以1≤x十≤3. 答案：2[1,3] 答案：a+0是 166最新真题分类特训·数学 军真题分类特训 专题六年面向量 知识技能解读… 在高中数学中，向量是解决几何问题的常用工具，也是高考的一个热点，平面向量具有几 何与代数的双重性，是联接几何与代数的“桥梁”，也是我们解决数学问题的一种重要工具.高 考对平面向量的考查有上升趋势，有时会作为平面图形问题的一个载体出现，有助于解决高 考中更多综合性问题，落实数学抽象和直观想象两大核心素养.高考对平面向量的考查应关 注如下问题： (1)向量是数形结合的产物，利用向量解决问题时，能建立直角坐标系，选择坐标运算往 往更简单，使问题代数化， (2)求参数取值时，可根据平行、垂直、模等条件应用方程的思想， (3)适当关注向量与三角函数、解析几何、数列等知识的交汇问题， 第1节 平面向量的概念及运算 [考点1]平面向量的线性运算及平面向 2.(2023·新课标I卷，3)已知向量a=(1,1),b= 量基本定理 (1,-1),若(a+b)⊥(a+b),则() 1.(2026·全国I卷，2)已知平面向量a,b不 A.λ十4=1 B.λ+4=-1 共线，且2a+b=a一3b,则 () C.λ4=1 D.4=-1 A.x=2,y=-3 B.x=-2,y=3 3.(2023·全国甲卷（文），3)已知向量a=(3,1),b C.x=2,y=3 D.x=-2,y=-3 =(2,2),则cos(a+b,a一b〉= 2.(2026·上海卷，10)已知k∈R,向量a,b,c 是两两不平行的向量，a+3b∥b+c,2a+ A.17 R哥 kc∥b十c,则k的值为 D.26 [考点2]平面向量的坐标运算 5 1.(2024·新课标I卷，3)已知向量a=(0,1),b= 4.（2024·上海卷，5)已知a=(2,5),b=(6,k), (2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( ) a∥b,则k的值为 A.-2 B.-1 5.(2023·上海卷，2)已知向量a=(-2,3), C.1 D.2 b=(1,2),求a·b= 46 第二部分专题六平面向量 第2节 平面向量的数量积及应用 [考点1] 平面向量的数量积 4.(2025·全国二卷，12)已知平面向量a= 1.(2026·全国Ⅱ卷，3)已知向量a,b满足 (x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a a+b|=1,a-b|=3,则a·b=() A. B. c.-3 D.-日 5.(2023·新课标Ⅱ卷，13)已知向量a,b满足 |a-b|=√3，a+b1=|2a-b|,则|b|= 2.(2023·全国乙卷（文），6)正方形ABCD的 边长是2，E是AB的中点，则EC·ED= [考点4幻平面向量的综合应用 1.（2025·北京卷，10)已知平面直角坐标系 A.√5 B.3 C.2√5 D.5 xOy中，|OA|=|OB|=√2，|AB|=2,若C 3.(2022·北京卷，10)在△ABC中，AC=3, (3,4),则|2CA十AB引的取值范围是() BC=4,∠C=90°，P为△ABC所在平面内 A.[6,14] B.[6,12] 的动点，且PC=1,则PA·PB的取值范 C.[8,14] D.[8,12 围是 () 2.(2023·全国乙卷（理），12)已知⊙O的半径 A.[-5,3] B.[-3,5] 为1，直线PA与⊙O相切于点A,直线PB C.[-6,4] D.[-4,6] 与⊙O交于B,C两点，D为BC的中点，若 4.(2022·全国甲卷（理），13)设向量a,b的夹 |PO川=√2，则PA·PD的最大值为() 角的余弦值为号，且a=1,b1=3,则 B1+22 (2a+b)·b= A些 2 5.(2022·全国甲卷（文），13)已知向量a=(m, C.1+√2 D.2+√2 3),b=(1,m+1),若a⊥b,则m= 3.(2026·天津卷，14)已知a=a·b=1,|b [考点2]平面向量的夹角 >1.记c=a+b.当a+b-c=0时，入+u (2022·新高考Ⅱ卷，4)已知向量a=(3, ;当|a+b-c|=1时，λ+4的取 4),b=(1,0),c=a十b,若a,c>=(b,c〉，则 值范围为 t= () 4.（2025·上海卷，12)已知函数f(x)= A.-6 B.-5 C.5 D.6 1,x>0 [考点3]平面向量的模 0,x=0,a、b、c是平面内三个不同的单位 1.(2026·北京卷，6)已知向量a,b满足|a一b1 -1,x<0 =2,a=(2,0),则|b的最大值为 ( 向量.若f(a·b)十f(b·c)+f(c·a)=0,则 A.0 B.2 C.4 D.6 a十b十cl的取值范围是 2.(2024·新课标Ⅱ卷，3)已知向量a,b满足 a=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则 5.(2023·天津卷，14)在△ABC中，∠A=号， b= () |BC=1,点D为线段AB的中点，点E为 A. B号 c D.1 线段CD的中点，若设AB=a,AC=b,则AE 3.(2022·全国乙卷（文），3)已知向量a=(2, 可用a,b表示为 :若BF=。BC,则 1),b=(-2,4),则a-b|= AE·AF的最大值为 A.2 B.3 C.4 D.5