2.4.1 导数的运算与导数的几何意义-【创新教程】2022-2026五年高考数学真题分类特训

第二部分专题四导数及其应用 年真题分类特训 专题四 导数及其应用 知识技能解读… 导数是高考考查理性思维能力的重要载体，导数的几何意义、利用导数研究函数的单调 性、最值、极值问题成为了高考的高频考点，也是高中数学的重难点.考查方向为： (1)利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题， 难度不定，题目可能为简单题，也可能为难题，题型为选择题、填空题或解答题， (2)导数综合应用的命题方向仍将以选择、填空压轴题或解答题形式考查不等式恒（能） 成立问题与探索性问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零，点或方程解问题，重点考查分 类整合思想、分析解决问题的能力 第1节导数的运算与导数的几何意义 [考点1]导数的运算 3.(2023·全国甲卷（文），8)曲线y=千1在 (2022·全国甲卷（理），6)当x=1时，函数 fx)=alnx十b取得最大值-2，则f(2)= 点1, 处的切线方程为 A.y=t B.y-gt A.-1 C.y-f+ D.y-2r43 4 c D.1 4.(2025·全国一卷，12)若直线y=2x+5是 [考点2]导数的几何意义 曲线y=e+x+a的一条切线，则a 1.(2026·全国I卷，4)曲线y=5x十81nx在 点(1,5)处的切线方程为 () A.y=3x+2 B.y-5x 5.(2024·新课标I卷，13)若曲线y=e+x C.y=8x-3 D.y=13x-8 在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1) 2.(2024·全国甲卷（理），6)设函数f(x)= 十a的切线，则a= e十2sin工，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的 6.(2022·新高考I卷，15)若曲线y=(x+a)e 1+x2 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围 ) 是 7.(2022·新高考Ⅱ卷，14)曲线y=lnx|过 B. 坐标原点的两条切线的方程为 C.2 D. 2 最新真题分类特训·数学 》 8.(2024·新课标Ⅱ卷，16)(15分)已知函数 9.(2022·全国甲卷（文），20)(12分)已知函 f(x)=e*-ax-a3. 数f(x)=x3-x,g(x)=x2十a,曲线y= (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点 f(x)在点(x1,f(x1)处的切线也是曲线y (1,f(1)处的切线方程； =g(x)的切线. (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a (1)若x1=-1,求a; 的取值范围. (2)求a的取值范围. 26若方程有一根为=中，则（十）广-aX。十1< 0,解得a<-2; a十-1时，a=0,显然x2-Qx十1<0不成立； 1 若x= 综上可知，当a<-2时，零点为。十'a气 11 当-2≤a<0时，零点为1， a-1,-1; 当a=0时，只有一个零点-1； 当0<a<1时，套点为。己一1 当a=1时，只有一个零点-1； 1 当1<a≤2时，零点为。，-1 当a>2时，零点为1，-1. 所以当函数有两个零，点时，a≠0且a≠1， 点睛：本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方 程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根 据范围讨论根（或零点）的个数，从而得解， 答案：(-∞，0)U(0,1)U(1,+∞) 第6节函数模型 1.DA选项：gp=lgP叫 1g1026>3,T=220,由4 图易知处于固态；B选 固态 3 超临界 项：lgp=lg128>2,T= 状态 液态 270,由图易知处于液态； C选项：lgp=lg9987≈ 1 气态 3.999,T=300,由图易 0十 知处于固态；D选项：lg力200250300350400T =g729>2,T=360,由图易知处于超临界状态；所以选D. 2.解析：由1+右>0，得f>-70.因为y=1(1+) 为单调递增函数，所以由lg2≤y≤3lg2=lg8,可得2≤ 1+760≤8，得700≤f≤490 答案：[700,4900] 3.解析：所消耗的总体能y=41.025-c0s) sin =4.1-4cos09 sin y-4sin29-（4.14 cos cos0-4-4.1eos0=0→ sin0 sin 0 cos0-智→0=0 40 40 答案：arccos4i 专题四、 导数及其应用 第1节导数的运算与导数的几何意义 考点1导数的运算 Bf)兰-台由条件，存62 1f(1)=a-b=01 所以a=b=-2,即(x)=-2+2, x 22, 所以了②)=-号+=选B 详解详析 考点2导数的几何意义 1.Dy=5+,当x=1时，=13，所求切线方程为y 5=13(x-1),即y=13x-8,选D. 2.Af(x)=e+2sinx、 1+x2 ∴f(x)=(e+2cosx)1+x)-(e+2sinx）·2x (1+x2)2 (z-1)'e'+2(1+x2)cos z-4zsin x (1+x2)2 则f(0)=3, y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0), 即3x-y+1=0, 令x=0,得y=1, 令y=0,得x=一合， y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三 角的面积为S=号××1= 3.C登南线y=年在点(，)处的切线方程为y 号=k(x-1), 因为y十 e 所以y=e(x十1)e- (x+1)2 (x+1)2, 所以=y1-1=号， 所以切线方程为y一号=是（红一1D, 所以南线y一千在点(1，）处的切线方程为 y=x+，故选C 4.解析：由2x十5=e十x十a得e=x十5-a,故可知y= x十5一a与y=e相切，所以5-a=1,故a=4. 答案：4 5.解析：由题知y=(e十x)'=e十1，当x=0时，切线斜 率k=2, 则切线方程为y=2x+1,y=[nz+1)+a= 2,得x=-号y=2x(号)+1=0，y=lh(x+1)+a 的切点（合0） 即0=n(-号+1)十a,故a=lh2 答案：ln2 6.解析：易得曲线不过原点，设切点为(x,(x。十a)eo),则 切线斜率为f(x。)=(x。十a十1)eo,可得切线方程为y 一(xo十a)e'o=(xo十a十1)e'0（x一x。),又切线过原，点， 可得-(x十a)eo=-x,(x。十a十l)eo,化简得x号十 ax一a=0(￥)，又切线有两条，即￥方程有两不等实 根，由判别式△=a2十4a>0,得a<一4，或a>0. 答案：(-∞，-4)U(0,十∞) 最新真题分类特训·数学 7.解析：当x>0时，点(x1,lnx1)(x1>0)上的切线为y- 1n=上(x一)，若该切线经过原点，则lnx,-1=0, 解得x=e,此时切线方程为y=总 当x<0时，点(x2,ln(-x2)(x2<0)上的切线为y- 1n(-)=1(x-).若该切线经过原点， T2 则ln(一x2)一1=0，解得x=一e,此时切线方程为 答案：y=名y=-名 e 8.解：(1)a=1,f(x)=e-x-1,切点(1，e-2),f(x)=e -1,k=f(1)=e-1, 所以要求的切线方程为y-(e一2)=(e-1)(x-1),即y =(e-1)x-1. (2)f(x)=e-a,当a≤0时，f(x)>0,f(x)在R上单 调递增，此时无极值， ∴.a>0,令f(x)=0,x=lna, f(x)在(-∞，lna)上单调递减，(lna,十c∞)上单调 递增， f(x)糕小位=f(lna)=a-alna-a3<0, .1-lna-a2<0, 令ga)=-a2-lna+1,ga@)=-2a-a<0, g(a)在(0，十∞)单调递减，而g(1)=0, ∴.g(a)<0台a>1, .a的取值范围(1，十o). 9.解：(1)，f(x)=3x2-1,.f(-1)=2且f(-1)=0, 故y=f(x)在点(-1,0)处的切线为y=2x+2, 又y=2x十2与y=g(x)相切，将直线y=2x十2代入 g(x)=x2+a得x2-2x十a-2=0, 由△=4-4a十8=0得a=3. (2)∫(x)=3x2-1,曲线y=f(x)在点(x1,f(x)处 的切线为y-(x-x1)=(3x-1)(x-x1), 即y=(3x-1)x-2x; 由g(x)=x2+a得g'(x)=2x, 设y=g(x)在点(x2,g(x2)处的切线为y-(x十a)= 2x2（x-x2）, 即y=2x2x-x十a, /3x1=2, {-2x-a-x2' a=后-2=}(9-8-6+10. 令h()=是x-2x2-号2+子，则N()=9r2-6r -3x=3z(3x+10(x-1,令k(x)>0,解得-号<2< 0或x>1, 令W(x)<0,解得x<-号或0<x<1,则x变化时， h'(x),h(x)的变化情况如下表： 1 0 (0,1)11,+∞) h'(x) 0 十 0 0 h(s) 减 27 增 减 4 地 则h(x)的值域为[-l,十∞)，故a的取值范围 为[-1，+∞). 第2节 导数的综合应用 考点1导数与函数的单调性 1.ACD首先有f(x)=(x-1)2(x-4), 则f(x)=3(x-1)(x-3), 对于A有，x=3左右的两侧符号变化为由负到正，故其 为极小值点，故A正确； 对于B有，当0<x<1时，函数单调递增且x2<x,故 f(x2)<f(x),故B错误； 对于C有，当1<x<2时，得1<2x-1<3且f(1)=0, f(3)=-4,故-4<f(2x-1)<0,故C正确； 对于D有，当一1<x<0时，f(x)单调递增，f(2-x)> f(x)成立，故D正确.故选择：ACD. 点评：函数的单调性问题转化成导数的单调性问题即可 顺利解决. 2.C由题意可知了x)=ae-是≥0在区间1,2)上恒成 主，即a≥（侵）设E=c,则在12上有 g=+1e>0,所以g)a=g=e,则(ga) =日，即a≥e1,故选C 3.解析：由函数的解析式可得f(x)=alna十 (1+a)ln(1+a)≥0在区间(0，十∞)上恒成立， 对1+arn1+o≥-g1na,即(t）)广≥ n0在区间(0，十c0)上位成主 故(1)=1≥-na雨a+1ea.2. 故ln(1+a)>0, 故ha+1)≥-na即aa+1≥1】 {0<a<1 10<a<1 故521≤a<1, 结合题意可得实数a的取值范国是[5,1 答案[，】 4.解：(1)因为a=1,所以f(x)=x-sin工 cos2x x∈(o,)则f(x) 1cos xcos'z-2cos (-sin z)sin z cos'x 1-cos'x+2sin'zcos'z-cos'z-2(1-cos'z) cos°x cos'x