精品解析：四川省达州市渠县中学2025-2026学年九年级下学期期中数学测试题

2026年07月17日罗春的初中数学平行组卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2030 D. 2. 我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”从环月轨道传回第一张月面照片时距地球公里．将公里用科学记数法表示应为（ ） A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 3. 下列计算结果正确的是（　　 ） A. B. C. D. 4. 一个小立方块的六面分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是从三个不同方向看到的情形，则F的对面是（ ）     A. 字母C B. 字母D C. 字母E D. 字母A 5. 某中学从初中部随机抽取了50名学生对“每月阅读图书册数”进行调查，统计结果如下表，关于册数的这组数据，下列说法正确的是（ ） 册数 0 1 2 3 人数 5 10 15 20 A. 中位数是2.5 B. 众数是2 C. 平均数是2 D. 方差是1.2 6. 如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 7. 甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，，，，垂足为E，与交于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点、点是函数图象上的两点，则；④；其中正确的结论是（ ） A. ②③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②④ 10. 如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 在有理数范围内分解因式：________________ ． 12. 如图，有四张大小、材质完全相同的卡片，卡片上书写文字若干．现将它们置于暗箱，摇匀后随机抽取两张．则抽到的两张卡片上的文字恰能正确判定四边形为正方形的概率为__________________． 13. 若分式方程无解，那么m的值应为_________． 14. 如图，在中，，和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则_____________度． 15. 如图：已知直线，点在上，点在上，若的面积为27，且，则平行线与之间的距离为______． 三．解答题（共10小题，满分90分） 16. 计算与解不等式： （1）计算：； （2）解不等式：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 读书是文化建设的基础，为充分发挥读书启智润心的正能量，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了户家庭进行问卷调查，将调查结果分为个等级：A、B、C、D， 整理如下：下面是家庭成年人阅读时间在小时内的数据： ，，，，，，，，，，，，，，． 家庭成年人阅读时间统计表： 等级 阅读时间（小时） 频数 A B C D 合计 请结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的______，______； （2）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为______度，______； （3）该社区宣传管理人员有男女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“男女”的概率． 19. 如图，中，，． （1）尺规作图：过点A作于E，交线段于点G．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）填空：求证：． 证明：， ①___________° ， 又∵②___________ ∴③___________ 在和中 （④___________） 20. 甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角，的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数右支下方x轴上的动点，且为等腰三角形，求出所有满足条件的P点． 22. 某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 （1）若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？（请用二元一次方程组求解） （2）若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 23. 如图，已知是的外接圆，．D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的半径． 24. 如图，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是．抛物线经过A、B、C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）试判断的形状，并给予证明； （3）设动点M从点A出发沿着x轴向着点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动，设点M运动t秒时，的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②设点M在线段上运动时，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时的t值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当为直角三角形时，求t的值． 25. 现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张．如图1，甲卡片是边长为（）的正方形，乙卡片是宽为1、长为a的长方形，丙卡片是边长为1的正方形．小河分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3所示，其面积分别为，． （1）请用含a的式子分别表示，______，______．（结果需化简） （2）比较与的大小，并说明理由． （3）现有一正方形，其周长与图2中的长方形周长相等．试探究：该正方形的面积S与图2中长方形的面积的差是否是一个常数？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年07月17日罗春的初中数学平行组卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2030 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 根据相反数的意义，一个数前面加上负号就是这个数的相反数可得答案． 【详解】解：的相反数是2030， 故答案为：C． 2. 我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”从环月轨道传回第一张月面照片时距地球公里．将公里用科学记数法表示应为（ ） A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列计算结果正确的是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂相除的法则、完全平方公式、幂的乘方法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、和无法合并，故A选项计算错误，不符合题意； B、，故B选项计算错误，不符合题意； C、，故C选项计算错误，不符合题意； D、，故D选项计算正确，符合题意． 4. 一个小立方块的六面分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是从三个不同方向看到的情形，则F的对面是（ ）     A. 字母C B. 字母D C. 字母E D. 字母A 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据相邻面的情况确定出相邻的四个字母是确定对面上的字母的关键，观察三个正方体，与E相邻的字母有A，D，B，C，从而确定出F的对面是E． 【详解】解：由图可知，E相邻的字母有A，D，B，C ∴E对面的是字母F，即F的对面是E． 故选：C． 5. 某中学从初中部随机抽取了50名学生对“每月阅读图书册数”进行调查，统计结果如下表，关于册数的这组数据，下列说法正确的是（ ） 册数 0 1 2 3 人数 5 10 15 20 A. 中位数是2.5 B. 众数是2 C. 平均数是2 D. 方差是1.2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差、平均数、中位数及众数，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题的关键．根据方差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断． 【详解】解：∵抽取了50名学生， ∴中位数为第25，26人的阅读数量，由表格可得：中位数为，故A错误，不符合题意； 由表格可得阅读3册的人数最多，故众数为3，故B错误，不符合题意； 平均数为，故C正确，符合题意； 方差为：，故D错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，由平行线的判定定理可判断①；过点作，则，由平行线的性质可得，即可判断②；设，，可得，，，即可判断③；过点作，则，可得，，进而得到，即得到，即可判断④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 过点作，则， ∴，， ∴， 即，故②正确； 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵，，，， ∴，， 过点作，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②③④， 故选：． 7. 甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输kg货物，由题意，得： ； 故选A． 【点睛】本题考查根据实际问题列分式方程．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 8. 如图，菱形中，，，，垂足为E，与交于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求得菱形的边长，再根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可以求得该菱形的面积．菱形的面积还等于底乘以高，求出DE的长度，根据三角函数的定义可求出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，，，， ∴， 由勾股定理得到：， 又∵， ∴． ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算；根据菱形的面积求得的长度是解决问题的关键． 9. 二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点、点是函数图象上的两点，则；④；其中正确的结论是（ ） A. ②③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次含图象的性质，根据图象与轴交于点，对称轴为直线，可得另一个交点为，，根据二次函数与轴的交点在与之间（不包括这两点），可得，由此可得，分别代入计算，再根据二次函数图象的增减性即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线， ∴另一个交点为，， ∴， ∴同号，即， ∵二次函数与轴的交点在与之间（不包括这两点）， ∴， ∴，故①正确； 当时，，且， ∴，则， ∵， ∴，则，即， ∵， ∴，故②，④正确； ∵对称轴为，， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；即离对称轴越远，值越小， ∵， ∴，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D ． 10. 如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，证明，根据相似三角形的性质即可判断①；得出，根据三角形内角和定理即可判断②；在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，根据定弦定角得出在的上运动，进而根据当时，面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴ 即 在中， 即 ∵是等腰直角三角形， ∴平分 ∴ ∴ ∴， ∴，故②正确， 如图所示， 在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，且 ∴， ∵ ∴ ∴在的上运动， ∴， 连接交于点，则， ∴当时，结合垂径定理，最小， ∵是半径不变 ∴此时最大 则面积的最大， ∴ ，故③正确； 如图所示，当在上时，最小，过点作交的延长线于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 在有理数范围内分解因式：________________ ． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 如图，有四张大小、材质完全相同的卡片，卡片上书写文字若干．现将它们置于暗箱，摇匀后随机抽取两张．则抽到的两张卡片上的文字恰能正确判定四边形为正方形的概率为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用画树状图或列表法求概率、概率公式，根据列表法可得共有12种等可能的情况数，其中抽到的两张卡片上的文字恰能正确判定四边形为正方形的有4种情况数， 再利用概率公式求解即可． 【详解】解：四张卡片分别用A、B、C、D表示，列表格如下： A B C D A B C D 由表格可得，共有12种等可能的情况数，其中抽到的两张卡片上的文字恰能正确判定四边形为正方形的有4种情况数， 则抽到的两张卡片上的文字恰能正确判定四边形为正方形的概率为， 故答案为：． 13. 若分式方程无解，那么m的值应为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先解分式方程得出，再根据分式方程无解，得出，即，由此计算即可得出结果． 【详解】解：去分母，得， 整理，得， ∴． ∵分式方程无解， ∴，即． ∴． 14. 如图，在中，，和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则_____________度． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 【详解】解：和的平分线交于点， ， ， 同理，， ， ， 当时， 故答案为：． 15. 如图：已知直线，点在上，点在上，若的面积为27，且，则平行线与之间的距离为______． 【答案】6 【解析】 【分析】两条平行线之间的距离指的是一条直线上任意一点到另一条线段的垂线段的长度，由此将平行线与之间的距离转化为点到的垂线段的长度，然后根据三角形的面积求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ， 则， 的面积为27，且， ， ， 平行线与之间的距离为：6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查两条平行线的距离，根据定义转化为线段的长度，从而转化为已知三角形的面积求高的长，其中两条平行线的距离的转化是关键． 三．解答题（共10小题，满分90分） 16. 计算与解不等式： （1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解①得， 解②得， 原不等式组的解集为． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查的是分式的化简求值问题，明确分式的加减法计算法则和因式分解是解题的关键．首先根据异分母的分式加法进行计算，然后将分子进行因式分解，再进行约分化简得出化简结果，最后将x的值代入化简后的式子进行计算，即可解题． 【详解】解：原式 ， 当时，上式． 18. 读书是文化建设的基础，为充分发挥读书启智润心的正能量，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了户家庭进行问卷调查，将调查结果分为个等级：A、B、C、D， 整理如下：下面是家庭成年人阅读时间在小时内的数据： ，，，，，，，，，，，，，，． 家庭成年人阅读时间统计表： 等级 阅读时间（小时） 频数 A B C D 合计 请结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的______，______； （2）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为______度，______； （3）该社区宣传管理人员有男女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“男女”的概率． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由家庭成年人阅读时间在小时内的数据可得答案； （2）用乘以等级的人数所占的百分比，即可求出组对应扇形的圆心角的度数；求出等级的人数所占的百分比即可得出答案； （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中“男女”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由家庭成年人阅读时间在小时内的数据可知，，． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：扇形统计图中组对应扇形的圆心角为． ， ． 故答案为：；； 【小问3详解】 解：设名男生记为，名女生记为，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选中“男女”的结果有：，，，，共种， 恰好选中“男女”的概率为． 19. 如图，中，，． （1）尺规作图：过点A作于E，交线段于点G．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）填空：求证：． 证明：， ①___________° ， 又∵②___________ ∴③___________ 在和中 （④___________） 【答案】（1） 如图，、点G即为所求； （2），，，． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，垂线的定义，对顶角相等，全等三角形的判定方法． （1）以A为圆心，适当长为半径作弧，交于M、N，作的垂直平分线交于E，交线段于点G即可； （2）根据垂线的定义、对顶角相等、等量代换、全等三角形的判定方法补全证明过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角，的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，四边形都是矩形可得．在中解直角三角形可得，在中解直角三角形可得，再根据列方程求得，进而求得的长即可． 【详解】解：由题意可知，四边形都是矩形． ∴． 在中， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 答：甘州木塔的高度约为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数右支下方x轴上的动点，且为等腰三角形，求出所有满足条件的P点． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数的解析式为， （2）或． 【解析】 【分析】（1）将点代入求得即可得到反比例函数解析式，进而确定，再运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设，，先求得，再分、、三种情况列方程求得解并取符合题意的解即可解答． 【小问1详解】 解：将点代入， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， 将代入， ∴，解得：， ∴． 【小问2详解】 解： 设，， ∵， ∴， 由为等腰三角形： ①当时，，解得： （不合题意舍去）或， ∴点P的坐标为：， ②当时，，解得：（不合题意舍去）或， ∴点P的坐标为； ③当时，，解得：（不合题意舍去）． 综上所述，P点的坐标为或． 22. 某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 （1）若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？（请用二元一次方程组求解） （2）若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 【答案】（1）购进甲种用品100件，乙种用品80件 （2）甲种用品61件，乙种用品119件 【解析】 【分析】（1）设购进甲种用品x件，乙种用品y件，根据“购进甲、乙两种抗疫用品共180件，且销售完这批抗疫用品后能获利1240元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种用品m件，则购进乙种用品件，根据“投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购货方案，再利用总利润＝销售每件的利润×销售数量，可分别求出3个购货方案可获得的利润，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购进甲种用品x件，乙种用品y件， 依题意得：， 解得：． 答：购进甲种用品100件，乙种用品80件． 【小问2详解】 解：设购进甲种用品m件，则购进乙种用品件， 依题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以取61，62，63， ∴共有3种购货方案， 方案1：购进甲种用品61件，乙种用品119件； 方案2：购进甲种用品62件，乙种用品118件； 方案3：购进甲种用品63件，乙种用品117件． 方案1可获得的利润为（元）； 方案2可获得的利润为（元）； 方案3可获得的利润为（元）． ∵， ∴获利最大的购货方案为：购进甲种用品61件，乙种用品119件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 23. 如图，已知是的外接圆，．D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图①，连接， ，为的中点， ， 过圆心， 为的中点， ， 又∵， ， ， ∴， ， ∵为的半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】（）连接，可得，即得过圆心，证明，得，得到，即得，即可求证； （）过点作于点，连接，由锐角三角函数得，设，则，利用勾股定理可得，得到，即得，即得到，解得，即得，又由等腰三角形的性质可得，即可得，设的半径为，则，在中利用勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，过点作于点，连接， ， 设，则， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， 设的半径为，则， 在中，， 解得， 的半径为． 24. 如图，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是．抛物线经过A、B、C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）试判断的形状，并给予证明； （3）设动点M从点A出发沿着x轴向着点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动，设点M运动t秒时，的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②设点M在线段上运动时，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时的t值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1） （2）解：是等腰三角形，证明如下： 由（1）得， ∴， 又∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）①；②的最大值为6，此时；③或5 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点和点的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）利用勾股定理求出的长，再求出的长，则可得到，据此可得结论； （3）①过点作轴于，则，分两种情况讨论：当时，当时，分别画出符合题意的图形，再利用三角形的面积公式得到函数解析式即可；②根据题意可得，据此利用二次函数的性质求解即可；③分三种情况：，，，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵抛物线与经过A、B、C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①由（2）得，，故点、同时开始运动，同时停止运动． 过点作轴于点， 在中，， 则在中，， 当时，， ∴ ； 当时，， ∴ ； 综上所述，； ②当点M在线段上运动时，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为； ③当轴时，为直角三角形， 在中，， 在中，， 又∵． ∴， ∴； 当点、分别运动到点、时， 为直角三角形，此时． 当时，则， 当时，，此时一定不是直角三角形， 当时，∵， ∴ ∴； 综上所述，当为直角三角形时，或． 25. 现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张．如图1，甲卡片是边长为（）的正方形，乙卡片是宽为1、长为a的长方形，丙卡片是边长为1的正方形．小河分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3所示，其面积分别为，． （1）请用含a的式子分别表示，______，______．（结果需化简） （2）比较与的大小，并说明理由． （3）现有一正方形，其周长与图2中的长方形周长相等．试探究：该正方形的面积S与图2中长方形的面积的差是否是一个常数？ 【答案】（1）； （2） ∵． 理由：． ∵， ∴， ∴． （3）该正方形的面积与图2中长方形的面积的差是一个常数． 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，完全平方公式，掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）利用分割法表示出即可； （2）作差法比较大小即可； （3）根据题意，先求出正方形的边长，再求出面积，作差后进行判断即可． 【小问1详解】 解：由图可知，甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为1， ∴，． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 图2中长方形的周长为． ∵正方形的周长与图2中长方形的周长相等， ∴正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积． ∵， ∴该正方形的面积与图2中长方形的面积的差是一个常数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $