专题03 二次函数与一元二次不等式（八大题型）（题型归纳+题型训练+易错精练）-2025-2026学年高一数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题03 二次函数与一元二次不等式（八大题型） 【题型01：求二次函数的值域或最值】 【题型02：二次函数的图象分析与判断】 【题型03：判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【题型04：解一元二次不等式】 【题型05：根据一元二次不等式解求参数】 【题型06：一元二次不等式恒成立】 【题型07：不等式分式的解法】 【题型08：实际问题】 【题型01：求二次函数的值域或最值】 1．已知函数，，则的最值为（    ） A．13， B．13，1 C．13， D．1， 【答案】A 【分析】将二次函数解析式平方，可得抛物线对称轴方程，结合即可得答案. 【详解】由， 其图象为开口向上且对称轴为的抛物线， 又，所以函数在上递减，在上递增， 所以当时有最大值为13， 当时有最小值为． 故选：A． 2．已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配方法可得答案. 【详解】， 其图象是对称轴为，开口向上的抛物线， 所以当时，有最小值，为， 当时，有最大值，为， 则的取值范围为. 故选：C. 3．已知，则的最大值为（   ） A．25 B． C． D．8 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质求解． 【详解】，所以时，取得最大值， 故选：B． 4．二次函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】，根据函数图象得到不等式解集. 【详解】等价于， 根据函数的图象可得的解集为或. 故选：B. 5．函数 的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数单调性求解值域. 【详解】 开口向上，对称轴为, 函数单调递减，函数单调递增， 当时，, 当时，, 所以. 故答案为： 【题型02：二次函数的图象分析与判断】 1．多选题如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，则（    ） A． B． C．若实数，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由图可分析符号即可判断A；根据对称性可知函数与x轴交于另一点，代入可得，然后可确定B；由及，结合二次函数即可判断C；根据题意可得代入即可计算. 【详解】由图可知，，时，，所以，故A错误； 因为与x轴交于点，对称轴为，所以与x轴交于另一点， 则，又，所以，故B正确； 因为，，所以，故C正确； 因为是函数的零点，所以， 则，即， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 2．多选题抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若方程有两个根，且；则 D．若方程有四个根，则这四个根的和为4 【答案】BCD 【分析】由题可知，，，然后根据二次函数图象与性质逐项判断即可. 【详解】由的顶点坐标为，则，则， 由抛物线图象开口向下，所以，所以，所以A错误； ，所以B正确； 令，则的两根为，且开口向下， 因为方程有两个根，且， 所以与的两交点为，所以，所以C正确； ，其对称轴为， 因为方程有四个根，分别为， 根据对称性知，所以这四个根的和为4，所以D正确. 故选：BCD 3．多选题如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】根据二次函数的图象的开口、对称轴、零点，知，可判断A，B，由对称性知函数有两个零点，得，，代入不等式，结合求解，即可判断C，D. 【详解】对于A，由图象开口向下，得，故A不正确； 对于B，对称轴为，故对 ， 即，故B正确； 对于C，图像过点 ，由对称性得有两个零点， 所以，故，由， ，得，故的解集为，故C正确； 对于D，∵，，由，得 又，，解得， ∴的解集为，故D正确. 故选：BCD. 4．多选题二次函数的图象如下图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二次函数的图象，可判断出结果. 【详解】对于A，由图可得对称轴为，所以，故A正确； 对于B，由图可得，当时，，所以，故B错误； 对于C，由图可得，当时，，所以，故C正确； 对于D，该图象开口向下，所以，因为，所以， 当时，，所以，故D正确； 故选：ACD. 5．多选题如图所示，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中不正确的是（   ） A． B． C．时的解集为或 D．方程有且仅有一个实数解 【答案】BCD 【分析】对于A，由对称轴可判断；对于B，由图象与轴交于，两点即可判断；对于C，由韦达定理得到，，代入即可解不等式；对于D，将函数式设成，取，由判别式判断. 【详解】对于A，因为函数的对称轴为，所以，整理得.故A正确； 对于B，因为二次函数图象与轴交于，两点， 所以，故B错误； 对于C，因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为，所以点的坐标为， 所以和是方程的两根， 所以，， 所以，， 所以可化为， 由于，所以，解得.故C错误； 对于D，由C可设，， 当时，方程即为， 所以， 由于，此时方程有两个不等实数根，故D错误. 故选：BCD 6．多选题如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：其中结论正确的是（   ）    A． B．方程的两个根是 C． D．当时，的取值范围是 【答案】AB 【分析】选项A，由图得到二次函数与轴有两个交点，故，即可判断A的正误；选项B，根据二次函数对称轴为，结合二次函数与轴的一个交点为，即可求出另一个交点的坐标，即可判断B的正误；选项C，利用选项B的结果，根据韦达定理得，从而有，即可判断C；选项D，根据图象判断，结合选项C，可求出的取值范围，据此对D进行判断. 【详解】对于选项A，由图知，抛物线与有两个交点， 则，得到，所以选项A正确， 对于选项B，因为抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为，则另一个交点为， 所以程的两个根是，故选项B正确， 对于选项C，由选项B知，得到，所以，故选项C错误， 对于选项D，由选项C知，由图易知， 由，即，得到，解得，所以选项D错误， 故选：AB. 7．多选题已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D． 【答案】BCD 【分析】根据对称轴的范围判断选项A；可以根据题意求出，的正负情况，判断选项B；将，联合已知，判断选项C；利用韦达定理判断选项D. 【详解】由题可知，，，，对称轴 所以有，，故A错误； 因为，，，所以，故B正确； 因为，当时，显然不成立； 当时， 由题可知，的解为 所以的解为，因为，得或 即的解集为或，故C正确； 由韦达定理可知，， 所以，故D正确. 故选：BCD 【题型03：判断二次函数的单调性和求解单调区间】 1．函数的单调递增区间是 . 【答案】和 【分析】首先去绝对值，将函数写成分段函数的形式，再结合二次函数的单调性，即可求解. 【详解】， 当时，，是函数的单调递增区间， 当时，，是函数的单调递增区间， 所以函数的单调递增区间是和. 故答案为：和 2．函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ． 【答案】 4   【分析】由二次函数的对称轴及开口方向得单调性，由单调性可得最值． 【详解】由题意，它的图象是开口向下的抛物线， 对称轴是直线，因此减区间是， 在区间上， 时，递增，时，递减，因此， 故答案为：；4. 3．函数的单调递增区间为 . 【答案】和 【分析】画函数图像，再根据图像得出结果. 【详解】函数，开口向上与轴的两个交点 对称轴为， 图像如下 所以函数单调递增区间为 故答案为： 4．函数的递减区间是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 可得其图象开口向下，图象的对称轴是直线，故其递减区间是． 故答案为：. 5．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 6．已知是二次函数，且满足，， (1)求的解析式； (2)若，求的单调区间和值域. 【答案】(1) (2)减区间为，增区间为，值域为 【分析】（1）设，根据题中条件可得出关于、、的方程组，求出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）利用二次函数的单调性可求得函数在上的增区间和减区间，进而可求得该函数在上的值域. 【详解】（1）设，则， 因为， 即， 即， 所以，，解得，则. （2）因为函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数的减区间为，增区间为， 所以，， 因为，，所以，， 所以，函数在上的值域为. 7．已知二次函数的图象过点. (1)求的解析式，并写出的单调递增区间（不要求证明）； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）原不等式可转化为，根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为函数的图象过点， 所以,解得. 所以的解析式为. ，故的单调递增区间为. （2）即为, 即，解得或. 故不等式的解集为. 【题型04：解一元二次不等式】 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式得到答案. 【详解】由得，解得或， 故选：B. 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可. 【详解】因为，所以. 所以，所以或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】， 所以， 原不等式的解集为． 故选：D． 4．下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值不等式、分式不等式及一元二次不等式解法求解判断即可. 【详解】由，则，解得. 对于A，由，则，解得； 对于B，由，则，解得； 对于C，由，则，解得或； 对于D，由，则，解得. 故选：A. 5．解出下列一元二次不等式的解集． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接因式分解即可求解； （2）利用配凑法即可求解. 【详解】（1）由，得， 解得：或， 故不等式的解集为：； （2），即，即，解得. 则其解集为. 6．求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法结合一元二次不等式解集的形式，解不等式； （2）根据一元二次不等式解集的形式，解不等式； （3）根据实数的性质解不等式； （4）根据根的判别式的值确定解集的形式. 【详解】（1） 或. 所以所求不等式的解集为： （2） . 所以所求不等式的解集为： （3）由 . 所以所求不等式的解集为： （4）因为 . 由， 所以所求不等式的解集为： 7．解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或． (3)一切实数． (4)． 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可得答案. 【详解】（1），方程的解是． 不等式的解为． （2）整理得，． ，方程的解为. 原不等式的解为或． （3）整理，得． 由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数． （4）整理，得． 由于当时，成立；而对任意的实数都不成立， 原不等式的解为． 8．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或； (2) (3)或． (4) 【分析】首先变形不等式的形式，再求对应方程的实数根，再结合二次函数的图象，即可求解. 【详解】（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或； （2）原不等式可化为． 解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （3）原不等式可化为． 方程两根为2和-3． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （4）由原不等式得． 原不等式等价于． 解方程，得． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． 【题型05：根据一元二次不等式解求参数】 1．若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理用表示，代入所求不等式得到关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】由不等式的解集为， 则，即， 所以不等式，即为，又， 所以，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 2．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 3．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离计算可得，再利用充分不必要条件定义即可判断. 【详解】由，因为，所以， 要想该命题为真命题，只需，四个选项中只有A符合充分不必要的性质. 故选：A. 4．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，列不等式解得结果. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以“” 是真命题， 因此 即实数的取值范围是. 故选：B. 5．已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 6．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 7．若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先对不等式进行参数分离，得到关于的不等式，然后利用基本不等式的性质即可求得结果. 【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题， 所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 8．解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式解集的形式，分类讨论，求不等式的解集. 【详解】原不等式可化为： . 若，则不等式的解为：. 若，则，所以或. 若，则. 当，即时，不等式解集为：； 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解集为：. 综上可知： 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 9．若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先分情况讨论不等式的解集，再根据解集包含整数的个数确定的取值范围. 【详解】不等式可化为. 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得 ； 若即，则原不等式可化为，无解； 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得 . 综上可得：实数的取值范围为：. 10．已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为A，关于的不等式的解集为B. (1)求集合A与集合B； (2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解，求解含参的一元二次不等式的解得到； （2）根据是的必要不充分条件，故，即可求解. 【详解】（1）因为不等式对于一切实数恒成立， 所以，解得， 即． 因为，所以， 解得，即， （2）因为是的必要不充分条件，故， 即， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 11．解关于x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 12．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为： . 当时， . 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时， . 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 【题型06：一元二次不等式恒成立】 1．若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．9 【答案】C 【分析】将不等式的未知数移到同一侧，得到小于等于关于的函数的最小值，利用基本不等式求解即可. 【详解】由，得对任意的恒成立. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的最大值为10. 故选：C. 2．若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据不等式的解集中恰有3个正整数，得出，再由不等式的解集求出实数的取值范围. 【详解】因为不等式的解集中恰有个正整数， 即不等式的解集中恰有个正整数， 所以，所以不等式的解集为 所以这三个正整数为，所以，即 故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 【题型07：不等式分式的解法】 1．解下列关于x的不等式. (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将分式不等式转化为整式不等式，根据二次不等式的解法求解； （2）对于非标准形式的分式不等式，要通过移项、通分的方法将其化为标准形式再利用数轴穿根法求解； （3）分式不等式转化为整式不等式，利用数轴穿根法求解. 【详解】（1）由可得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. （2）原不等式可化为,即， 即且， 由图可知，原不等式的解集为． （3）由可得， 由数轴穿根法可知，或或， 所以不等式的解集为. 2．解不等式：. 【答案】 【分析】移项通分转化为解一元二次不等式可得答案. 【详解】由得， 即，可得， 令解得或， 所以原不等式的解集为. 3．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分式不等式转化为一元二次不等式，求得解集； （2）分式不等式转化为一元二次不等式组，分别求出两不等式的解集，最后取并集即可； 【详解】（1）原不等式可化为，即，解得， 所以原不等式的解集为． （2）因为，即，可得， 解得， 所以原不等式的解集为． 4．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）（2）（3）将分式不等式转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解即可. 【详解】（1）由于，所以， 解得或，所以的解集为：或. （2）由于，所以， 解得，所以的解集为：. （3）由于，所以， 所以，解得或， 所以的解集为：或. 5．解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)或. 【分析】（1）（2）把分式不等式转化成一元二次不等式求解即得. （3）变形给定的不等式，再转化成一元二次不等式组求解. 【详解】（1）不等式，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，即， 则或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 【题型08：实际问题】 1．如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1) (2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 2．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 3．2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. 【详解】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. （2）由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 4．“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 【答案】(1)米 (2)平方米 【分析】（1）设草坪的长为米，宽为米，根据面积得到关于的等量关系，再结合长比宽至少多米得到关于的不等式，由此求解出结果； （2）设整个绿化面积为平方米，根据图形列出的表达式，然后结合已知条件利用基本不等式求解出的最小值. 【详解】（1）设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得， 因为矩形的长比宽至少多米，所以， 所以，解得， 又因为，所以， 所以草坪宽的最大值为米． （2）设整个绿化面积为平方米，由题意可得 ， 当且仅当即时，等号成立， 故整个绿化面积的最小值为平方米． 5．某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为，已知此生产线年产量最大为220吨． （1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本； （2）经过评估，企业定价每吨产品的出厂价为40万元，且最大利润不超过1660万元，由该生产线年产量的最大值应为多少？ 【答案】（1）年产量为200（吨）时每吨平均成本最低，最低成本为32万元；（2）210吨． 【分析】（1）平均成本等于总成本除以年产量，得到的式子符合乘积为定值，利用基本不等式求出最小值； （2）表示出利润得到关于x的二次不等式，求出范围即可.注意实际问题下取值范围的限制. 【详解】解∶（1）设每吨的平均成本为W， 则W= 当且仅当，即x=200（吨）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元． （2）由题意得， ， 解得，x≥230或x≤210 ∵0<x≤220 ∴0<x≤210 当最大利润不超过1660万元时，年产量的最大值应为210吨． 1．已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值. 【详解】（1）解：设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． （2）解：函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以，． 2．已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，结合韦达定理可得结果. （2）讨论的范围，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）当时，关于的方程的两根为， 由韦达定理可得，解得. （2）原不等式可化为. 当时，原不等式为，解得，； 当时，方程的根为，， 当时，不等式可化为，解得或， ； 当，即时，原不等式为，； 当，即时，不等式可化为，解得，； 当，即时，不等式可化为，解得，. 综上所述，当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，. 3．设函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系来确定系数； （2）先将不等式化简，再通过因式分解求解集，需要对参数的取值进行分类讨论。 【详解】（1）由题意，不等式的解集为，则-1和3是方程的两个根， 得解得，所以. （2）若，则，即， 因为，所以，是方程的两个实数根， ①当时，，不等式的解集为， ②当时，解集为， ③当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 4．已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式，结合分类讨论思想，求不等式的解集； （2）采用分离变量的方法，转化成求函数的最值. 【详解】（1）由 . 若即，上式可化为： ； 若即，上式可化为： ； 若即，上式可化为：， 因为 ，所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. （2）不等式即 ， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以 ， 设， 当时，； 当时，，因为（当且仅当时取等号），所以. 所以 综上可知：的取值范围是 【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数与一元二次不等式（八大题型） 【题型01：求二次函数的值域或最值】 【题型02：二次函数的图象分析与判断】 【题型03：判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【题型04：解一元二次不等式】 【题型05：根据一元二次不等式解求参数】 【题型06：一元二次不等式恒成立】 【题型07：不等式分式的解法】 【题型08：实际问题】 【题型01：求二次函数的值域或最值】 1．已知函数，，则的最值为（    ） A．13， B．13，1 C．13， D．1， 2．已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的最大值为（   ） A．25 B． C． D．8 4．二次函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 5．函数 的值域为 ． 【题型02：二次函数的图象分析与判断】 1．多选题如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，则（    ） A． B． C．若实数，则 D．若，则 2．多选题抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若方程有两个根，且；则 D．若方程有四个根，则这四个根的和为4 3．多选题如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 4．多选题二次函数的图象如下图所示，则（   ） A． B． C． D． 5．多选题如图所示，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中不正确的是（   ） A． B． C．时的解集为或 D．方程有且仅有一个实数解 6．多选题如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：其中结论正确的是（   ）    A． B．方程的两个根是 C． D．当时，的取值范围是 7．多选题已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D． 【题型03：判断二次函数的单调性和求解单调区间】 1．函数的单调递增区间是 . 2．函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ． 3．函数的单调递增区间为 . 4．函数的递减区间是 ． 5．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 6．已知是二次函数，且满足，， (1)求的解析式； (2)若，求的单调区间和值域. 7．已知二次函数的图象过点. (1)求的解析式，并写出的单调递增区间（不要求证明）； (2)求不等式的解集． 【题型04：解一元二次不等式】 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 5．解出下列一元二次不等式的解集． (1) (2) 6．求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 7．解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 8．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型05：根据一元二次不等式解求参数】 1．若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 7．若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 8．解关于x的不等式. 9．若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 10．已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为A，关于的不等式的解集为B. (1)求集合A与集合B； (2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 11．解关于x的不等式： 12．解关于的不等式：． 【题型06：一元二次不等式恒成立】 1．若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．9 2．若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型07：不等式分式的解法】 1．解下列关于x的不等式. (1)； (2)； (3)； 2．解不等式：. 3．解不等式： (1)； (2)． 4．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 5．解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【题型08：实际问题】 1．如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 2．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 3．2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 4．“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 5．某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为，已知此生产线年产量最大为220吨． （1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本； （2）经过评估，企业定价每吨产品的出厂价为40万元，且最大利润不超过1660万元，由该生产线年产量的最大值应为多少？ 1．已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 2．已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 3．设函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，，求不等式的解集． 4．已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$