精品解析：广东省茂名市茂南区部分学校2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024－2025学年度初三级期末质量监测数学科 （本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的）． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，可得答案，解题的关键是正确理解乘积为的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是， 故选：． 2. 下列各数中，是无理数的是（） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，熟知无理数就是无限不循环小数是解题的关键．根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A、2是整数，不符合无理数的定义不是无理数，不符合题意； B、0是整数，不符合无理数的定义不是无理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是分数，不符合无理数的定义，不符合题意； 故选：C． 3. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确； B、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误； C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误； D、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4. 蚕丝是大自然中的天然纤维，柔韧绵长．某蚕丝的直径大约是0.000014米，0.000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可． 【详解】解：根据科学记数法要求0.000014的小数点从原位置移动到1后面，动了有5位，从而用科学记数法表示为， 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键． 5. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．为考查所种杂交水稻的长势，随机抽取6株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是：，，，，，，则这组数据的中位数是（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 21，23 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义进行解答即可． 【详解】解：，，，，，，则这组数据的中位数是 故选：B． 6. 下列各式中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，去括号，有理数的乘方和积的乘方，根据合并同类项，有理数的乘方，去括号和积的乘方运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角都相等 D. 正方形的对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质对各个命题分别判断，即可得出答案． 【详解】解：A、平行四边形对角线互相平分，故本选项错误； B、矩形的对角线相等，故本选项错误； C、菱形的对角相等，故本选项错误； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了命题与定理，解题的关键是掌握真命题与假命题的定义，能根据有关性质与判定对命题的真假进行判断是关键． 8. 对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. 若，则 D. y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．根据反比例函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：当，， ∴图象必经过点，故A选项不正确，不符合题意； ∵， ∴图象位于第二、四象限，B选项不正确，不符合题意； 若，则，C选项正确，符合题意； 在第二或第四象限中，y随x的增大而增大，D选项不正确，不符合题意； 故选：C． 9. 下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）错误的是（ ） 隔壁听得客分银， 不知人数不知银， 七两分之多四两， 九两分之少半斤. 《算法统宗》 注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九，则还差八两”，即可列出关于x或y的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九，则还差八两． ∴或或． 故选：D． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程：必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的是（ ） A. ②④ B. ①②④ C. ②④⑤ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质，由图象可得，，由抛物线的对称轴得出，即，即可判断①；根据图象可得一个交点，关于直线对称，得出另一个交点，即可判断②；根据，即可判断③；令，，进而得出，结合即可判断④；由函数图象得出对于任意实数，都有，即可判断⑤；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：，， 对称轴是直线， ，即， ， ，故①错误，不符合题意； 方程，即为二次函数与轴的交点， 根据图象可得一个交点，关于直线对称， 另一个交点， 方程必有一个根大于2且小于3，故②正确，符合题意； 对称轴是直线，， ，故③错误，不符合题意； ， ， 令，， ， ， ，故④正确，符合题意； 对于任意实数，都有， 对于任意实数，都有，故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确的是②④⑤， 故选：C． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请你把答案填在横线的上方）． 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3＝______． 【答案】25° 【解析】 【分析】如图，由平行线的性质可求得∠4，结合三角形外角的性质可求得∠3． 【详解】解：如图， ∵a∥b， ∴∠4=∠2=55°， 又∵∠4=∠1+∠3， ∴∠3=∠4-∠1=55°-30°=25°． 故答案为：25°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 14. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则 依题意， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则k的值为___________ 【答案】108 【解析】 【分析】过作轴于，交于，由四边形是正方形，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，可得，，，证明，有，即可得，即可解得，再用待定系数法． 【详解】解：过作轴于，交于，如图： 四边形是正方形，， ，， 点是边上靠近点的三等分点， ， 将沿直线折叠后得到， ，，， ， ， ， ， ，， ，， ， 解得：， ， 把代入得： ， 解得：， 故答案为：108． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，涉及正方形性质，翻折变换，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例，求出的坐标． 三．解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分） 16. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，中，，垂足是，若，，． （1）求的值； （2）求值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． （1）首先根据三角函数求出的长度，即可得出的长度； （2）在中，根据勾股定理求出的长度，由，代值计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∴． 18. 如图，已知中，点在上，且． （1）请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点．（不写作法，保留作图痕边） （2）在（1）所作的图形中，连接，求证：． 【答案】（1）图见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，三角形全等的判定及性质． （1）根据作角平分线的尺规作图的方法作图即可； （2）证明，得到，根据线段的和差即可证明． 【小问1详解】 解：如图，为所求； 【小问2详解】 证明：平分， ． 在与中， ， ， ． ∵， ∴． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）． 19. 今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会战实况并进行团史学习，现随机抽取部分学生进行知识竞赛并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示）期中计为“较差”，计为“一般”，计为“良好”计为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 根据统计图提供信息回答如下问题： （1） ___________， ___________，并将直方图补充完整； （2）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握达到优秀的人数； （3）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上四人中随机抽取两人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或树状图的方法，求恰好抽取两名女生参加知识竞赛的概率； 【答案】（1），，见解析 （2）192人 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出抽取的总人数，再用“较差”对应的人数除以总人数，可得到y的值，再求出“一般”对应的人数，即可求解； （2）用1200乘以达到优秀的人数所占的百分比，即可求解； （3）根据题意，画出树状图，可得一共有12种等可能结果，其中恰好抽取两名女生参加知识竞赛的有6种，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得： 抽取的总人数为人， ∴， “一般”对应的人数为人， ∴； 补全直方图，如下图： 故答案为：，； 【小问2详解】 解：人， 答：该校学生对团史掌握达到优秀的人数为192人； 【小问3详解】 解：根据题意，画出树状图，如下图： 一共有12种等可能结果，其中恰好抽取两名女生参加知识竞赛的有6种， ∴恰好抽取两名女生参加知识竞赛的概率为． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，用样本估计总体，利用树状图或列表法求概率，正确读懂统计图和用列表法或树状图法求概率是解题的关键． 20. 某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为50元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是800元 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，二次函数解决实际问题，二次函数的性质． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由题意，设利润为元，，根据利润单利润销售量列函数关系式，配方得顶点式求最值解题即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 该函数的图象过，， ，解得， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设利润为元， 则， ，且 当时，有最大值，最大值为， 当销售单价为50元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是800元． 21. 如图，中，，平分，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）作于F，若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理， （1），根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2），根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案. 【小问1详解】 证明：∵，平分， ∴， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴. ∵， ∴. ∵四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）． 22. 综合与实践 【问题情境】龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意．某校数学实践小组利用所学数学知识测量龙象塔的高度． 【实践探究】下面是两个方案及测量数据： 项目 测量龙象塔的高度 方案 方案一：晴天，借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：阴天，利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 1.61m 1.59m 1.6m 26.4° 26.6° 26.5° 1.18m 1.22m 1.2m 37.1° 36.9° 37° 38.9m 39.1m 39m 34.8m 35.2m 35m 【问题解决】 （1）本次实践活动对每个测量项目测量两次，再以两次测量数据的平均数作为研究数据，这样做的目的是______． （2）根据“方案一”的数据，求出龙象塔的高度； （3）根据“方案二”的数据，求出龙象塔的高度（参考数据：，，，，，）． 【答案】（1）减小误差 （2）龙象塔高度为52米 （3）龙象塔的高度为52.5米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质和锐角三角函数并进行实际应用是解题的关键． （1）根据题意解答即可； （2）由题意可知，从而得出，代入测量的平均值进行求解即可； （3）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：这样做的目的是减小误差； 【小问2详解】 解：由题意可知， 又， ， ，即， 解得， 龙象塔高度为52米； 【小问3详解】 解：在中，， ， 在中，， ， ， ， 即． 米， 龙象塔的高度为52.5米． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）若点在第一象限运动，过点作轴于点，与线段交于点，当点运动到什么位置时，线段的值最大？请求出点的坐标和的最大值； （3）连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为，的最大值为 （3）存在，或 【解析】 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，设，则，表示，可知当时，取得最大值，最大值为，此时，，即可求解坐标以及面积最大值； （3）根据菱形的对角线垂直且互相平分即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 设，则， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为， 此时， 点的坐标为，的最大值为； 【小问3详解】 解：存在．如图， 设点，交于点，若四边形是菱形，连接，则，， ， 解得， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度初三级期末质量监测数学科 （本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的）． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，是无理数的是（） A. 2 B. 0 C. D. 3. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 4. 蚕丝是大自然中的天然纤维，柔韧绵长．某蚕丝的直径大约是0.000014米，0.000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．为考查所种杂交水稻的长势，随机抽取6株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是：，，，，，，则这组数据的中位数是（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 21，23 6. 下列各式中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角都相等 D. 正方形的对角线互相平分 8. 对于反比例函数，下列结论正确是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. 若，则 D. y随x的增大而增大 9. 下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）错误的是（ ） 隔壁听得客分银， 不知人数不知银， 七两分之多四两， 九两分之少半斤. 《算法统宗》 注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语 A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程：必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的是（ ） A. ②④ B. ①②④ C. ②④⑤ D. ②③④ 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请你把答案填在横线的上方）． 11. ______． 12. 因式分解：________ 13. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3＝______． 14. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则k的值为___________ 三．解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，中，，垂足是，若，，． （1）求的值； （2）求的值． 18. 如图，已知中，点在上，且． （1）请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点．（不写作法，保留作图痕边） （2）在（1）所作的图形中，连接，求证：． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）． 19. 今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会战实况并进行团史学习，现随机抽取部分学生进行知识竞赛并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示）期中计为“较差”，计为“一般”，计为“良好”计为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 根据统计图提供信息回答如下问题： （1） ___________， ___________，并将直方图补充完整； （2）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握达到优秀的人数； （3）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上四人中随机抽取两人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或树状图的方法，求恰好抽取两名女生参加知识竞赛的概率； 20. 某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 21. 如图，中，，平分，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）作于F，若，，求的长． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）． 22. 综合与实践 【问题情境】龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意．某校数学实践小组利用所学数学知识测量龙象塔高度． 【实践探究】下面是两个方案及测量数据： 项目 测量龙象塔的高度 方案 方案一：晴天，借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：阴天，利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 1.61m 1.59m 1.6m 26.4° 26.6° 26.5° 118m 1.22m 1.2m 37.1° 36.9° 37° 38.9m 39.1m 39m 34.8m 35.2m 35m 【问题解决】 （1）本次实践活动对每个测量项目测量两次，再以两次测量数据的平均数作为研究数据，这样做的目的是______． （2）根据“方案一”的数据，求出龙象塔的高度； （3）根据“方案二”的数据，求出龙象塔的高度（参考数据：，，，，，）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）若点在第一象限运动，过点作轴于点，与线段交于点，当点运动到什么位置时，线段值最大？请求出点的坐标和的最大值； （3）连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$