精品解析：广东韶关市仁化县2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

广东省韶关市仁化县2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析. 【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意； 选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意； 选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意； 选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意； 综上，只有选项B符合不可能事件的定义， 故选：B． 3. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 5. 如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个基站，若其覆盖范围是一个半径为的圆，则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是（ ） A. 只有B B. 只有A、B C. 只有B、C D. A、B、C 【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，根据勾股定理的逆定理求出，再利用勾股定理求出，进一步即可得出答案． 【详解】解：如图，点O是的中点， ∴， ∵，，， 而， ∴， 在中，，， ∴ 即， 又∵， ∴点B、点C在圆的内部，点A在圆的外部． 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 7. 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子个数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽种子个数 96 282 382 567 945 1912 2850 发芽种子频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.945 0.956 0.950 则种子发芽的概率估计值是（ ） A. 0.960 B. 0.950 C. 0.945 D. 0.940 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，根据某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.950左右，所以估计该作物种子发芽的概率为0.950． 【详解】解：根据频率估计概率可知该作物种子发芽的概率为0.950， 故选：B． 8. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（ ） A. 2分米 B. 3分米 C. 4分米 D. 5分米 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】的直径为分米， （分米）， ，（分米）， （分米）， （分米）， 积分的最大深度（分米）． 故选：． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键． 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点、对应点分别为、．若，当点、、、在同一条直线上时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ． 10. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 12. 二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】顶点在x轴上，即纵坐标为0．利用顶点坐标公式即可求出m的值． 【详解】解：∵抛物线y=2x2-4x+3m的顶点在x轴上， ∴， ∴m=． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-），应熟练掌握． 13. 如图，P是等边内部一点，把绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到，则旋转角的度数是_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，根据旋转得到旋转角为，根据等边三角形的性质，得到，即可． 【详解】解：由题意，旋转角为， ∵是等边三角形， ∴； 故答案为：60． 14. 如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 设三角形与相切于，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：设三角形与相切于点，与相切于点． 由题意，得． 三角形纸片的周长为，，， ∴三角形纸片的周长． 故答案为：． 15. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ∴，． 17. 学习电学知识后，小婷同学用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图． （1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 ； （2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）任意闭合其中一个开关，小灯泡发光为不可能事件； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出小灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于0； 故答案为：0； 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果数为6， 所以小灯泡发光的概率=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 18. 已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？最大侧面积是多少？（结果保留） 【答案】矩形的长、宽都是cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为cm2 【解析】 【分析】设矩形的长为，则宽为，分两种情况，根据圆柱侧面积即可建立函数关系式求解． 【详解】解：设矩形的长为，宽为， 则当绕着宽旋转时， 所形成圆柱的侧面积为：； 当绕着长旋转时， 所形成圆柱的侧面积为：， 所以旋转形成的圆柱的侧面积． 因为且抛物线的对称轴为直线， 所以当时，S取得最大值为：， 此时长和宽都是， 所以矩形的长、宽都是时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）将绕原点O顺时针旋转90°得到，点A、B、C的对应点分别为、、； （2）作关于原点O的中心对称图形（A、B、C的对应点分别为D、E、F）； （3）在（1）的条件下，连接点和，求线段扫过的图形的面积（结果保留）． 【答案】（1）将绕原点O顺时针旋转90°得到，如图即为所求； （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）将的三个顶点A、B、C分别绕原点O顺时针旋转90°得到、、，顺次连接得到； （2）作的三个顶点A、B、C关于原点O中心对称的对称点D、E、F，顺次连接得到； （3）线段扫过的图形是扇形，根据扇形面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 线段扫过的图形是圆心角为90°的扇形， ∵， ∴根据勾股定理得，，即扇形半径， 线段扫过的图形面积为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、中心对称图形、扇形面积公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20. 2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应为每件元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率为，利用该电商平台2025年11月份吉祥物一月的销售量该电商平台2025年9月份吉祥物一月的销售量（月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价为每件元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价为每件元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得， 整理得， 解得， 又∵要尽量减少库存， ∴取， 答：售价应为每件元． 21. 如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接． （1）___________度； （2）求证：为的切线； （3）若，求上的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， 由（1）得：，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，，，证明，四边形是菱形，，是等边三角形，可得，进一步可得结论； （2）如图，连接，由（1）得：，是等边三角形，可得，证明为等边三角形，可得，，证明，可得，再进一步证明即可； （3）由，，，可得，结合，再利用弧长公式计算即可. 【小问1详解】 解：如图，连接，，， ∵和相交于两点，且经过的圆心， ∴，， ∴四边形是菱形，，是等边三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴上的长. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 五、解答题（三）（共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2） 当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 23. 【模型提出】如图1，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】 （1）如图2，当弦，时，求外接圆的半径． （2）如图3，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． ①在点G的运动过程中 ． ②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和的最小值． ③在图3中，若点I是的内心，连接，则线段的最小值． 【答案】（1） （2）①， ②， ③ 【解析】 【分析】（1）作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E，由圆周角定理得，由垂径定理得，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）①先证明，可得，从而得到，即可求证； ②根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则，以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，进而得到点在上，继而得到点G的路径为，求出的长度，即可求解； ③根据点I是的内心，可得，作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，再证得是等腰直角三角形，可得，进而得到是等腰直角三角形，可得到，连接，与交于点，当点I与点重合时，此时线段最短，即可求解． 【小问1详解】 解：如图：作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 【小问2详解】 ①证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：； ②点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则， 以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则， ∴点在上， 当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合， 当E与C重合时，F与D重合，则G与重合， ∴点G的路径为， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∴的长度为，即点G经过的路径为； 连接，在中 所以当O、C、G三点共线时取最小值为 ③解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 连接，与交于点， 当点I与点重合时，此时线段最短， ∵， ∴， 即线段最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，圆周角定理，弧长公式，三角形出内心及外接圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省韶关市仁化县2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 3. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个基站，若其覆盖范围是一个半径为的圆，则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是（ ） A. 只有B B. 只有A、B C. 只有B、C D. A、B、C 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子个数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽种子个数 96 282 382 567 945 1912 2850 发芽种子频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.945 0.956 0.950 则种子发芽的概率估计值是（ ） A. 0.960 B. 0.950 C. 0.945 D. 0.940 8. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（ ） A. 2分米 B. 3分米 C. 4分米 D. 5分米 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点、对应点分别为、．若，当点、、、在同一条直线上时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 12. 二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________． 13. 如图，P是等边内部一点，把绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到，则旋转角的度数是_____度． 14. 如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为______． 15. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 学习电学知识后，小婷同学用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图． （1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 ； （2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率． 18. 已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？最大侧面积是多少？（结果保留） 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）将绕原点O顺时针旋转90°得到，点A、B、C的对应点分别为、、； （2）作关于原点O的中心对称图形（A、B、C的对应点分别为D、E、F）； （3）在（1）的条件下，连接点和，求线段扫过的图形的面积（结果保留）． 20. 2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 21. 如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接． （1）___________度； （2）求证：为的切线； （3）若，求上的长． 五、解答题（三）（共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 23. 【模型提出】如图1，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】 （1）如图2，当弦，时，求外接圆的半径． （2）如图3，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． ①在点G的运动过程中 ． ②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和的最小值． ③在图3中，若点I是的内心，连接，则线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $