2.4 科学测量：用单摆测量重力加速度（讲义）物理鲁科版选择性必修第一册

本讲义聚焦“用单摆测量重力加速度”核心实验，基于单摆周期公式推导重力加速度表达式，衔接单摆运动规律与实验应用，通过实验原理阐释、器材规范使用、步骤操作指引及误差分析构建完整学习支架。 资料特色在于强化科学探究与科学思维，通过摆长精确测量（摆线长加球半径）、多周期计时求平均值等实验操作培养科学探究能力，结合T²-L图像分析及误差来源讨论提升科学思维，创新实验设计（如弹簧振子、智能手机磁传感器测周期）深化物理观念。课中辅助教师高效开展实验教学，课后分层练习帮助学生巩固操作技能与数据处理能力，落实科学态度与责任培养。

第二章 机械振动 第4节 科学测量：用单摆测量重力加速度 课标要点 1.能明确实验的理论依据（单摆周期公式推导重力加速度表达式），理解摆长、周期测量与g值计算的关联，深化对单摆运动规律的应用认知。 2.能分析实验中影响误差的因素（如摆长测量偏差、周期计时误差），推导误差减小的方法，提升实验误差分析与逻辑优化能力。 3.能独立完成实验操作（测量摆长、记录多组周期数据），规范使用刻度尺、停表，通过数据计算g值并评估结果，强化实验实操与数据处理能力。 4.通过体验科学测量的严谨过程，认识“多次测量求平均值”等科学方法的意义，培养实事求是的实验态度与尊重数据的科学精神。 学习重难点 重点：掌握实验原理（周期公式求g）及摆长、周期的准确测量。 难点：分析并减小实验误差（如摆长测量、周期计时误差）。 知识点 实验技能储备 1.实验目的 （1）用单摆测量重力加速度。 （2）会使用秒表测量时间。 （3）能分析实验误差的来源，并能采用适当方法减小测量误差。 2.实验器材 铁架台、单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。 3.实验原理与设计 当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，由此得到g＝，因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。 4.实验步骤 (1)取长约 1 m 的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自由下垂，如图 所示。 (2)用毫米刻度尺量出摆线长度l'，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l'＋r。 (3)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(小于5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30~50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T。 (4)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。 (5)改变摆长，重做几次实验。 5.数据分析 将测量的数据记入你设计的表格中，并分析数据，形成结论。 6.实验结论 写出实验结论。 7.讨论 （1）通过哪些方式可使小球的运动更加接近简谐运动？ （2）为什么要从平衡位置开始计时、计数？为什么不用秒表直接测量一次全振动的时 间作为周期？除秒表外，测量时间还可选用哪些器材？ （3）你还能用什么方法测量重力加速度？ 特别提醒 系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等等。 偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。 随学随练 1.用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示。 (1)组装单摆时，应在下列器材中选用　　　　　　　(选填选项前的字母)。  A.长度为1 m左右的细线 B.长度为30 cm左右的细线 C.直径为2 cm左右的塑料球 D.直径为2 cm左右的铁球 (2)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用　　　　图(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。  (3)将单摆正确组装后进行如下操作，其中正确的是　　　　　(选填选项前的字母)。  A.测出摆线长作为单摆的摆长 B.把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度(小于5°)释放，使之做简谐运动 C.在摆球经过平衡位置时开始计时 D.用停表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期 (4)甲同学用游标卡尺测得摆球的直径为d，用停表测得摆球完成N次全振动所用的时间为t，用米尺测得摆线长为l0，根据以上数据，可得到当地的重力加速度g为　　　　　。  (5)乙同学多次改变单摆的摆长l并测得相应的周期T，他根据测量数据画出了如图丁所示的图像。你认为横轴所表示的物理量应为　　　　　　(选填“l2”“l”或“”)。 答案　(1)AD　(2)丙　(3)BC (4)　(5) 解析　(1)单摆的摆角小于5°，所以摆线的长度要适当大些，这样摆幅较大，便于观察和计时，所以选择长度为1 m左右的细线，A正确，B错误；为了减小空气阻力的影响，应选择体积较小，密度较大的铁球，C错误，D正确。 (2)为了保证摆球的摆长一定，单摆的悬点处需要固定，所以应采用题图丙所示的固定方式。 (3)悬点到球心的距离为摆长，所以应将摆线长和球的半径之和作为摆长，A错误；单摆的摆角应小于5°，所以把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度(小于5°)释放，使之做简谐运动，B正确；摆球在平衡位置速度最大，通过时间极短，便于计时，所以在摆球经过平衡位置时开始计时，C正确；测量周期时，根据1次全振动的时间作为周期误差较大，应测量多次(一般为30次或50次)全振动的时间，求解周期，D错误。 (4)根据单摆的周期公式T＝2π可知g＝ (5)根据单摆的周期公式T＝2π可知T∝，所以横轴表示的物理量为。 2.一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为　　　　 mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为　　　 mm，则摆球的直径为　　　　 mm。  (2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角　　　　5°(填“大于”或“小于”)。  (3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为　　　　 cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为　　　　 s，该小组测得的重力加速度大小为　　　 m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)  答案　(1)0.006(0.005、0.007也可)　20.035(20.034、20.036均可)　20.029(20.027、20.028、20.030均可)　(2)大于　(3)82.5　1.82　9.83 解析　(1)题图(a)读数为0＋0.6×0.01 mm ＝0.006 mm(0.005 mm、0.007 mm也可)； 题图(b)读数为20 mm＋3.5×0.01 mm ＝20.035 mm(20.034 mm、20.036 mm均可)； 则摆球的直径为20.035 mm－0.006 mm ＝20.029 mm(20.027 mm、20.028 mm、20.030 mm均可) (2)若角度盘上移则形成如图所示图样，则实际摆角大于5°。 (3)摆长＝摆线长度＋半径，代入数据计算可得摆长为82.5 cm； 小球从第1次到61次经过最低点经过了30个周期，则T＝ s＝1.82 s 根据单摆周期公式T＝2π， 可得g＝≈9.83 m/s2。 3.在“用单摆测量重力加速度”的实验中， (1)某同学用游标卡尺测得摆球的直径，如图甲，为　　　　 cm；同学用停表记录的时间如图乙所示，则停表的示数为　　　　 s；  (2)如果该同学在实验时，用的摆球质量分布不均匀，无法确定其重心位置。他第一次量得悬线长为L1(不计摆球半径)，测得周期为T1；第二次量得悬线长为L2，测得周期为T2。根据上述数据，可求得g值为　　　　；  A. B. C. D. (3)该同学又想出另一个办法测重力加速度，他测出多组摆线长L与周期T的数据，根据实验数据，作出了T2－L的关系图像，如图丙所示，根据图中数据，重力加速度为　　　 m/s2(π2取9.86，结果保留三位有效数字)； (4)如果该同学测得的g值偏大，可能的原因是　　　　。  A.测摆线长时摆线拉得过紧 B.开始计时时，停表按下稍晚 C.实验中将51次全振动误记为50次 D.摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了 答案　(1)1.070　96.8　(2)B　(3)9.86 (4)AB 解析　(1)用游标卡尺测得摆球的直径为1 cm＋0.05 mm×14＝1.070 cm，停表的示数为90 s＋6.8 s＝96.8 s (2)设摆球的重心距离摆线最低点的距离为r，则根据单摆周期公式可知T1＝2π，T2＝2π，联立解得g＝，故选B。 (3)根据T＝2π，可得T2＝L＋，由题图丙可知 s2/m， 解得g＝9.86 m/s2。 (4)根据T＝2π，可得g＝，测摆线长时摆线拉得过紧，则l测量值偏大，则g值测量值偏大，选项A正确；开始计时时，停表按下稍晚，则周期测量值偏小，则g值测量值偏大，选项B正确；实验中将51次全振动误记为50次，则周期测量值偏大，则g值测量值偏小，选项C错误；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，而计算时仍按原来值计算，则g值测量值偏小，选项D错误。 知识点 探索创新实验 1.某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。 具体步骤如下： ①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。 ②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。 ③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。 ④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。 ⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。 该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。 (1)由步骤④，可知振动周期T＝　　　　　　。  (2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝　　　　　　。  (3)由实验数据作出的l－T2图线如图(b)所示，可得g＝　　　　　　 m/s2(保留三位有效数字，π2取9.87)。  (4)本实验的误差来源包括　　　　　　(填标号)。  A.空气阻力 B.弹簧质量不为零 C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置 答案　(1)　(2)l0＋　(3)9.59 (4)AC 解析　(1)30次全振动所用时间t，则振动周期 T＝ (2)弹簧振子的振动周期T＝2π 可得振子的质量M＝ 振子平衡时，根据平衡条件Mg＝kΔl 可得Δl＝ 则l与g、l0、T的关系式为l＝l0＋Δl＝l0＋ (3)根据l＝l0＋整理可得 l＝l0＋·T2 则l－T2图像斜率k＝ m/s2 解得g≈9.59 m/s2 (4)空气阻力的存在会影响弹簧振子的振动周期，是实验的误差来源之一，故A正确； 弹簧质量不为零导致振子在平衡位置时弹簧的长度变化，不影响其他操作，根据(3)解析可知对实验结果没有影响，故B错误； 根据实验步骤可知光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置会影响振子周期的测量，是实验的误差来源之一，故C正确。 2.一同学利用图甲所示装置来测定当地的重力加速度。已知光滑圆弧凹槽ABC的半径为R，弧长为l(R远大于l)，B为圆弧轨道最低点，A、C关于B点所在的竖直线对称。小钢球的半径为r(r远小于l)，当小钢球经过圆弧轨道最低点B时，光传感器发出的光所在直线，恰好能过小钢球的球心。现将小钢球从A点由静止释放，沿凹槽ABC自由往复运动，光传感器接收端接收到一段时间内的光信号强度变化情况如图乙所示(只有ΔT已知)。 (1)(3分)该同学在分析光信号强度变化情况时，发现Δt与ΔT相比，非常小，可以忽略不计。由此可得出，小钢球往复运动的周期为　　　。  (2)(3分)小钢球在圆弧轨道上的运动与单摆运动相似，根据“用单摆测量重力加速度”实验原理，可得当地的重力加速度的表达式为g＝　　　。  答案　(1)2ΔT　(2) 解析　(1)根据题图乙可知ΔT＝ 由于Δt与ΔT相比，非常小，可以忽略不计，解得小钢球往复运动的周期为T0＝2ΔT (2)单摆的摆长L＝R－r 根据T0＝2π 结合上述解得g＝。 3.某智能手机中的“磁传感器”功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强度越大。某中学的小明在家里用手机、磁化的小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度，实验步骤如下： ①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。 ②打开夹子释放小球，小球运动，取下夹子。 ③运行手机“磁传感器”功能，手机记录磁感应强度的变化。 ④改变摆线长和夹子的位置，测量出各次实验的摆线长L及相应的周期T。 (1)如图乙所示，图中记录了实验中磁感应强度的变化情况，测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为　　　。  (2)实验中用游标卡尺测量摆球直径如图丙所示，则摆球直径为　　　 cm。  (3)得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了T2－L图像，如图丁所示，则图像的横截距为　　　 m，根据图中数据可得当地重力加速度g＝　　　 m/s2(π2取9.86，后一空结果保留三位有效数字)。  答案　(1)　(2)2.00　(3)－0.01　9.72 解析　(1)测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则该时间内完成的周期性个数为，所以单摆周期的测量值为T＝； (2)由题图丙可知该游标卡尺的分度值为0.1 mm，则摆球直径为d＝20 mm＋0.1 mm×0＝20.0 mm＝2.00 cm (3)设小球直径为d，则单摆周期T＝2π，整理得T2＝(L＋)，当T2＝0时，解得L＝－＝－ cm＝－1.00 cm＝－0.01 m，由以上分析可知T2－L图像斜率k＝ s2/m，解得g≈9.72 m/s2。 基础通关 1.(多选)在“用单摆测量重力加速度”实验中，下列操作正确的是(　　) A.甲图：小球从偏离平衡位置60°开始摆动 B.乙图：细线上端用铁夹子固定 C.丙图：小球到达最高点时作为计时开始与终止的位置 D.丁图：小球自由下垂时测量摆线的长度 答案　BD 解析　摆线与竖直方向的夹角小于5°时，才可以认为摆球的运动为简谐运动，故A错误；细线上端应用铁夹子固定，防止松动引起摆长变化，故B正确；当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误；实验时应该测量小球自由下垂时摆线的长度，故D正确。 2.(多选)某实验小组利用单摆测当地的重力加速度实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是(　　) A.以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算 B.单摆所用摆球质量太大 C.把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间 D.开始计时时，停表过早按下 答案　AC 解析　根据T＝2π，得g＝。以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算，则l偏大，测得的g偏大，故A正确；单摆所用摆球质量大小与测得的重力加速度的大小无关，故B错误；把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间，则周期测量值偏小，重力加速度测量值偏大，故C正确；开始计时时，停表过早按下，则测得的T偏大，则g测量值偏小，故D错误。 3.某同学利用如图甲所示的装置测量当地的重力加速度以及一磁性小球的大小，长度为l的细线将该磁性小球悬挂于O点，小球平衡时在其正下方放置一智能手机，打开手机的测磁软件可以记录附近磁感应强度大小，将小球由平衡位置拉开一个角度θ(θ<5°)，然后由静止释放，手机同时描绘出附近磁感应强度随时间变化的图像，如图乙所示。 (1)根据图乙可知，单摆的周期T＝　　　　 s；  (2)改变摆线长度，测出多组细线长l和对应振动周期T，作出l－T2图像如图丙所示，π取3.14，由图可知，重力加速度g＝　　　　 m/s2(结果保留三位有效数字)；  (3)图像与横轴的交点坐标T2＝4×10－2 s2，则小球的直径d＝　　　　 cm(结果保留一位有效数字)。  答案　(1)1.6　(2)9.86　(3)2 解析　(1)根据单摆的运动规律一个周期内应该有两个磁感应强度的最大值。由题图乙可得出，单摆的周期为T＝1.6 s。 (2)根据单摆周期公式T＝2π，解得l＝T2－，根据l－T2图线的斜率k＝ m·s－2＝，可得重力加速度g≈9.86 m/s2。 (3)根据l－T2图像的截距，结合l－T2图像的斜率可得，小球的直径d＝2×10－2 m＝2 cm。 4.(1)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和T计算重力加速度的公式是g＝　　　　　。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是　　　m。若测定了40次全振动的时间如图乙所示，则停表读数是　　　　 s，单摆的摆动周期是　　　　 s。  (2)为了提高测量准确度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标在以l为横轴、T2为纵轴的坐标系上，即图丙中用“·”表示的点，则： ①单摆做简谐运动应满足的条件是　　　　　　　　　　　。  ②试根据图丙中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝　　　m/s2(结果保留2位有效数字)。  答案　(1)　0.875 0　75.2　1.88 (2)①偏角小于5°　②见解析图　9.9 解析　(1)由单摆的周期公式T＝2π， 可得g＝ 由题图甲可知，摆长l＝(88.50－1.00) cm ＝87.50 cm＝0.875 0 m 停表的读数t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s 所以T＝＝1.88 s。 (2)①单摆做简谐运动应满足的条件是偏角小于5°。 ②连线时使大部分点落在图线上，不在图线上的点均匀 分布在图线的两侧(如图)，图线斜率k＝＝4 s2/m 由g＝可知T2－l图线的斜率表示，故＝4 s2/m 可得g≈9.9 m/s2。 5.某实验小组利用图甲所示的双线摆来测量当地的重力加速度，已知图甲中细线长度均为L＝100.00 cm，与水平方向夹角均为θ＝53°(sin 53°＝0.8)。 (1)关于本实验，下列说法正确的是　　　　。  A.摆线上端直接绕在水平杆上即可 B.为便于观察摆球的运动，摆球应选择质量和体积都大些的球 C.为便于测量振动周期，应使摆球从摆角较大的位置释放 D.测量周期时应从摆球通过最低点开始计时，并记录多次全振动所用的总时间 (2)小组成员先用游标卡尺测得摆球的直径如图乙所示，则该摆球的直径d＝　　　　 cm，双线摆的摆长l0＝　　　　 cm；他们再将摆球沿垂直纸面向外拉开一个较小角度(小于5°)后释放，用停表测出30次全振动的总时间t＝54.6 s，则双线摆的振动周期T＝　　　　 s。  (3)实验中，他们同时改变两根细线的长度，测出多组双线摆的细线长l和对应振动周期T，作出lsin θ－T2图像如图丙所示，A、B为图像上的两点。根据图像可求得当地重力加速度g＝　　　　 m/s2(π2取9.87，计算结果保留三位有效数字)。  答案　(1)D　(2)2.170　81.085　1.82　(3)9.75 解析　(1)若摆线上端直接绕在水平杆上，摆球在摆动时，摆线的长度会产生变化，实验误差会增大，因此摆线的上端应固定在悬点上，故A错误；为减小实验误差，摆球应选择质量大些和体积小些的球，故B错误；为使摆球做简谐运动，应使摆球从摆角较小的位置由静止释放，以减小实验误差，故C错误；测量周期时应从摆球通过最低点开始计时，并记录多次全振动所用的总时间，以减小实验误差，故D正确。 (2)20分度游标卡尺的精确值为0.05 mm，由题图乙可知该摆球的直径为d＝2.1 cm＋14×0.05 mm＝2.170 cm 由几何关系可得双线摆的摆长为l0＝Lsin 53°＋＝100.00×0.8 cm＋ cm＝81.085 cm 用停表测出30次全振动的总时间t＝54.6 s，则双线摆的振动周期为T＝ s＝1.82 s (3)由题意可知，单摆的摆长准确值为lsin θ＋，由单摆的周期公式可得T＝2π 整理可得lsin θ＝T2－ 则lsin θ－T2图像的斜率为 m/s2＝ 解得重力加速度为g≈9.75 m/s2。 6.利用单摆可以测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小球，制成单摆。 (1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为　　　　 cm。  (2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的是　　　　(填标号)。  A.摆线要选择较细、伸缩性小些的，并且线尽可能短一些 B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的 C.为了使摆的周期大一些，以方便测量，摆线相对平衡位置的偏角越大越好 D.用刻度尺测量摆线的长度，就是单摆的摆长 (3)悬挂后，用米尺测量摆长L1，将小球拉离平衡位置一个小角度(小于5°)，由静止释放小球，稳定后小球在某次经过平衡位置时开始计时，经过50个全振动时停止计时，测量结果如图丙所示，则通过测量和计算可得出单摆周期T＝　　　　 s。  (4)实验中改变摆长L获得多组实验数据，正确操作后作出的T2－L图像为图丁中②图线。某同学误将悬点到小球下端的距离记为摆长L，其他实验步骤均正确，作出的图线应当是图丁中的　　　　(填“①”“③”或“④”)，利用该图线求得的重力加速度　　　　(填“大于”“等于”或“小于”)利用图线②求得的重力加速度。  答案　(1)1.86　(2)B　(3)2.6　(4)③　等于 解析　(1)钢球直径读数为18 mm＋0.1 mm×6＝18.6 mm＝1.86 cm。 (2)为减小实验误差，摆线要选择较细、伸缩性小些的，并且线尽可能长一些，A错误；为减小空气阻力，摆球尽量选择质量大些、体积小些的，B正确；若摆线相对平衡位置的偏角超过5°，摆球的运动将不是简谐运动，C错误；摆长为摆线长加上摆球半径，D错误。 (3)秒表读数为t＝2 min＋10.0 s＝130.0 s。单摆周期为T＝ s＝2.6 s。 (4)单摆周期公式为T＝2π，得T2＝l，若误将悬点到小球下端的距离记为摆长，则T2＝(L－r)，作出的图线应当是图丁中的③。T2－L图像斜率不受影响，故利用该图线求得的重力加速度等于利用图线②求得的重力加速度。 素养提升 7.某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图(a)所示，轻质弹簧上端悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下： (1)测出钩码和小磁铁的总质量m； (2)在弹簧下端挂上该钩码和小磁铁，使弹簧振子在竖直方向做简谐运动，打开手机的磁传感器软件，此时磁传感器记录的磁感应强度变化周期等于弹簧振子振动周期； (3)某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图(b)所示，从图中可以算出弹簧振子振动周期T＝　　　　(用“t0”表示)；  (4)改变钩码质量，重复上述步骤； (5)实验测得数据如下表所示，分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是　　　(填“线性的”或“非线性的”)；  m/kg 10T/s T/s T2/s2 0.015 2.43 0.243 0.059 0.025 3.14 0.314 0.099 0.035 3.72 0.372 0.138 0.045 4.22 0.422 0.178 0.055 4.66 0.466 0.217 (6)设弹簧的劲度系数为k，根据实验结果并结合物理量的单位关系，弹簧振子振动周期的表达式可能是　　　　　　(填正确答案标号)；  A.2π B.2π C.2π D.2πk (7)除偶然误差外，写出一条本实验中可能产生误差的原因：_____________________________。 答案　 (3) 　(5)线性的　(6)A　(7)见解析 解析　(3)由题图(b)可知弹簧振子振动周期T＝； (5)分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的比值接近常量3.95，则弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是线性的； (6)因2π的单位为＝s 因为s(秒)为周期的单位，则其他各项单位都不是周期的单位，故选A； (7)除偶然误差外，钩码振动过程中受空气阻力的影响可能会使本实验产生误差。 8.某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。 (1)用游标卡尺测量摆球直径d。当测量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为　　　　　 mm。  (2)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1 mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为　　　　 m/s2(保留3位有效数字)。  (3)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图丙所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是　　　　　　　　　　　　，原因是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。  答案　(1)19.20　(2)9.86　(3)逐渐减小　随着摆线长度l的增加，则l＋越接近于l，此时计算得到的Δg越小 解析　(1)摆球直径 d＝19 mm＋0.02×10 mm＝19.20 mm； (2)单摆的摆长为L＝990.1 mm＋×19.20 mm＝999.7 mm，根据T＝2π，可得g＝，代入数据得g＝ m/s2≈9.86 m/s2； (3)由题图丙可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小，原因是随着摆线长度l的增加，则l＋越接近于l，此时计算得到的Δg越小。 迁移创新 9.某同学用如图甲所示的实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。细线的一端固定在一力传感器触点上，力传感器与电脑屏幕相连，能直观显示细线的拉力大小随时间的变化情况，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器，记录小球经过光电门的次数及时间。 (1)用游标卡尺测量摆球直径d，结果如图乙所示，则摆球直径d＝　　　　　 cm；  (2)将摆球从平衡位置拉开一个合适的角度，由静止释放摆球，摆球在竖直平面内稳定摆动后，启动数字计时器，摆球某次通过光电门时从1开始计数计时，当摆球第n次(n为大于3的奇数)通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T＝　　　　　(用t、n表示)。此过程中计算机屏幕上得到如图丙所示的F－t图像，可知图像中两相邻峰值之间的时间间隔为　　　　　。  (3)若在某次实验时该同学未测量摆球直径d，在测得多组细线长度l和对应的周期T后，画出l－T2图像。在图线上选取M、N两个点，找到两点相应的横、纵坐标。如图丁所示，利用该两点的坐标可得重力加速度表达式g＝　　　　　，理论上图线在纵轴截距的绝对值等于　　　　　　。  答案　(1)1.240　(2)　 (3)4π2　(或摆球半径) 解析　(1)摆球直径为d＝12 mm＋8×0.05 mm＝12.40 mm＝1.240 cm (2)小球每个周期经过光电门2次，摆球通过光电门时从1开始计数，同时开始计时，当摆球第n次(为大于3的奇数)通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期为 T＝ F－t图像的峰值对应小球经过最低点，每个周期小球两次经过该位置，可知F－t图像中两相邻峰值之间的时间间隔为； (3)根据单摆周期公式T＝2π 可得l＝T2－ 可知，l－T2图像的斜率k＝ 由题图丁可知k＝ 可得重力加速度表达式为g＝4π2 根据前面式子可知理论上图线在纵轴截距的绝对值等于摆球半径。 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 机械振动 第4节 科学测量：用单摆测量重力加速度 课标要点 1.能明确实验的理论依据（单摆周期公式推导重力加速度表达式），理解摆长、周期测量与g值计算的关联，深化对单摆运动规律的应用认知。 2.能分析实验中影响误差的因素（如摆长测量偏差、周期计时误差），推导误差减小的方法，提升实验误差分析与逻辑优化能力。 3.能独立完成实验操作（测量摆长、记录多组周期数据），规范使用刻度尺、停表，通过数据计算g值并评估结果，强化实验实操与数据处理能力。 4.通过体验科学测量的严谨过程，认识“多次测量求平均值”等科学方法的意义，培养实事求是的实验态度与尊重数据的科学精神。 学习重难点 重点：掌握实验原理（周期公式求g）及摆长、周期的准确测量。 难点：分析并减小实验误差（如摆长测量、周期计时误差）。 知识点 实验技能储备 1.实验目的 （1）用单摆测量重力加速度。 （2）会使用秒表测量时间。 （3）能分析实验误差的来源，并能采用适当方法减小测量误差。 2.实验器材 铁架台、单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。 3.实验原理与设计 当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，由此得到g＝，因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。 4.实验步骤 (1)取长约 1 m 的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自由下垂，如图 所示。 (2)用毫米刻度尺量出摆线长度l'，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l'＋r。 (3)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(小于5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30~50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T。 (4)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。 (5)改变摆长，重做几次实验。 5.数据分析 将测量的数据记入你设计的表格中，并分析数据，形成结论。 6.实验结论 写出实验结论。 7.讨论 （1）通过哪些方式可使小球的运动更加接近简谐运动？ （2）为什么要从平衡位置开始计时、计数？为什么不用秒表直接测量一次全振动的时 间作为周期？除秒表外，测量时间还可选用哪些器材？ （3）你还能用什么方法测量重力加速度？ 特别提醒 系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等等。 偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。 随学随练 1.用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示。 (1)组装单摆时，应在下列器材中选用　　　　　　　(选填选项前的字母)。  A.长度为1 m左右的细线 B.长度为30 cm左右的细线 C.直径为2 cm左右的塑料球 D.直径为2 cm左右的铁球 (2)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用　　　　图(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。  (3)将单摆正确组装后进行如下操作，其中正确的是　　　　　(选填选项前的字母)。  A.测出摆线长作为单摆的摆长 B.把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度(小于5°)释放，使之做简谐运动 C.在摆球经过平衡位置时开始计时 D.用停表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期 (4)甲同学用游标卡尺测得摆球的直径为d，用停表测得摆球完成N次全振动所用的时间为t，用米尺测得摆线长为l0，根据以上数据，可得到当地的重力加速度g为　　　　　。  (5)乙同学多次改变单摆的摆长l并测得相应的周期T，他根据测量数据画出了如图丁所示的图像。你认为横轴所表示的物理量应为　　　　　　(选填“l2”“l”或“”)。 2.一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为　　　　 mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为　　　 mm，则摆球的直径为　　　　 mm。  (2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角　　　　5°(填“大于”或“小于”)。  (3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为　　　　 cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为　　　　 s，该小组测得的重力加速度大小为　　　 m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)  3.在“用单摆测量重力加速度”的实验中， (1)某同学用游标卡尺测得摆球的直径，如图甲，为　　　　 cm；同学用停表记录的时间如图乙所示，则停表的示数为　　　　 s；  (2)如果该同学在实验时，用的摆球质量分布不均匀，无法确定其重心位置。他第一次量得悬线长为L1(不计摆球半径)，测得周期为T1；第二次量得悬线长为L2，测得周期为T2。根据上述数据，可求得g值为　　　　；  A. B. C. D. (3)该同学又想出另一个办法测重力加速度，他测出多组摆线长L与周期T的数据，根据实验数据，作出了T2－L的关系图像，如图丙所示，根据图中数据，重力加速度为　　　 m/s2(π2取9.86，结果保留三位有效数字)； (4)如果该同学测得的g值偏大，可能的原因是　　　　。  A.测摆线长时摆线拉得过紧 B.开始计时时，停表按下稍晚 C.实验中将51次全振动误记为50次 D.摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了 知识点 探索创新实验 1.某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。 具体步骤如下： ①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。 ②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。 ③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。 ④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。 ⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。 该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。 (1)由步骤④，可知振动周期T＝　　　　　　。  (2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝　　　　　　。  (3)由实验数据作出的l－T2图线如图(b)所示，可得g＝　　　　　　 m/s2(保留三位有效数字，π2取9.87)。  (4)本实验的误差来源包括　　　　　　(填标号)。  A.空气阻力 B.弹簧质量不为零 C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置 2.一同学利用图甲所示装置来测定当地的重力加速度。已知光滑圆弧凹槽ABC的半径为R，弧长为l(R远大于l)，B为圆弧轨道最低点，A、C关于B点所在的竖直线对称。小钢球的半径为r(r远小于l)，当小钢球经过圆弧轨道最低点B时，光传感器发出的光所在直线，恰好能过小钢球的球心。现将小钢球从A点由静止释放，沿凹槽ABC自由往复运动，光传感器接收端接收到一段时间内的光信号强度变化情况如图乙所示(只有ΔT已知)。 (1)(3分)该同学在分析光信号强度变化情况时，发现Δt与ΔT相比，非常小，可以忽略不计。由此可得出，小钢球往复运动的周期为　　　。  (2)(3分)小钢球在圆弧轨道上的运动与单摆运动相似，根据“用单摆测量重力加速度”实验原理，可得当地的重力加速度的表达式为g＝　　　。  3.某智能手机中的“磁传感器”功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强度越大。某中学的小明在家里用手机、磁化的小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度，实验步骤如下： ①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。 ②打开夹子释放小球，小球运动，取下夹子。 ③运行手机“磁传感器”功能，手机记录磁感应强度的变化。 ④改变摆线长和夹子的位置，测量出各次实验的摆线长L及相应的周期T。 (1)如图乙所示，图中记录了实验中磁感应强度的变化情况，测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为　　　。  (2)实验中用游标卡尺测量摆球直径如图丙所示，则摆球直径为　　　 cm。  (3)得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了T2－L图像，如图丁所示，则图像的横截距为　　　 m，根据图中数据可得当地重力加速度g＝　　　 m/s2(π2取9.86，后一空结果保留三位有效数字)。  基础通关 1.(多选)在“用单摆测量重力加速度”实验中，下列操作正确的是(　　) A.甲图：小球从偏离平衡位置60°开始摆动 B.乙图：细线上端用铁夹子固定 C.丙图：小球到达最高点时作为计时开始与终止的位置 D.丁图：小球自由下垂时测量摆线的长度 2.(多选)某实验小组利用单摆测当地的重力加速度实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是(　　) A.以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算 B.单摆所用摆球质量太大 C.把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间 D.开始计时时，停表过早按下 3.某同学利用如图甲所示的装置测量当地的重力加速度以及一磁性小球的大小，长度为l的细线将该磁性小球悬挂于O点，小球平衡时在其正下方放置一智能手机，打开手机的测磁软件可以记录附近磁感应强度大小，将小球由平衡位置拉开一个角度θ(θ<5°)，然后由静止释放，手机同时描绘出附近磁感应强度随时间变化的图像，如图乙所示。 (1)根据图乙可知，单摆的周期T＝　　　　 s；  (2)改变摆线长度，测出多组细线长l和对应振动周期T，作出l－T2图像如图丙所示，π取3.14，由图可知，重力加速度g＝　　　　 m/s2(结果保留三位有效数字)；  (3)图像与横轴的交点坐标T2＝4×10－2 s2，则小球的直径d＝　　　　 cm(结果保留一位有效数字)。  4.(1)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和T计算重力加速度的公式是g＝　　　　　。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是　　　m。若测定了40次全振动的时间如图乙所示，则停表读数是　　　　 s，单摆的摆动周期是　　　　 s。  (2)为了提高测量准确度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标在以l为横轴、T2为纵轴的坐标系上，即图丙中用“·”表示的点，则： ①单摆做简谐运动应满足的条件是　　　　　　　　　　　。  ②试根据图丙中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝　　　m/s2(结果保留2位有效数字)。  5.某实验小组利用图甲所示的双线摆来测量当地的重力加速度，已知图甲中细线长度均为L＝100.00 cm，与水平方向夹角均为θ＝53°(sin 53°＝0.8)。 (1)关于本实验，下列说法正确的是　　　　。  A.摆线上端直接绕在水平杆上即可 B.为便于观察摆球的运动，摆球应选择质量和体积都大些的球 C.为便于测量振动周期，应使摆球从摆角较大的位置释放 D.测量周期时应从摆球通过最低点开始计时，并记录多次全振动所用的总时间 (2)小组成员先用游标卡尺测得摆球的直径如图乙所示，则该摆球的直径d＝　　　　 cm，双线摆的摆长l0＝　　　　 cm；他们再将摆球沿垂直纸面向外拉开一个较小角度(小于5°)后释放，用停表测出30次全振动的总时间t＝54.6 s，则双线摆的振动周期T＝　　　　 s。  (3)实验中，他们同时改变两根细线的长度，测出多组双线摆的细线长l和对应振动周期T，作出lsin θ－T2图像如图丙所示，A、B为图像上的两点。根据图像可求得当地重力加速度g＝　　　　 m/s2(π2取9.87，计算结果保留三位有效数字)。  6.利用单摆可以测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小球，制成单摆。 (1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为　　　　 cm。  (2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的是　　　　(填标号)。  A.摆线要选择较细、伸缩性小些的，并且线尽可能短一些 B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的 C.为了使摆的周期大一些，以方便测量，摆线相对平衡位置的偏角越大越好 D.用刻度尺测量摆线的长度，就是单摆的摆长 (3)悬挂后，用米尺测量摆长L1，将小球拉离平衡位置一个小角度(小于5°)，由静止释放小球，稳定后小球在某次经过平衡位置时开始计时，经过50个全振动时停止计时，测量结果如图丙所示，则通过测量和计算可得出单摆周期T＝　　　　 s。  (4)实验中改变摆长L获得多组实验数据，正确操作后作出的T2－L图像为图丁中②图线。某同学误将悬点到小球下端的距离记为摆长L，其他实验步骤均正确，作出的图线应当是图丁中的　　　　(填“①”“③”或“④”)，利用该图线求得的重力加速度　　　　(填“大于”“等于”或“小于”)利用图线②求得的重力加速度。  素养提升 7.某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图(a)所示，轻质弹簧上端悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下： (1)测出钩码和小磁铁的总质量m； (2)在弹簧下端挂上该钩码和小磁铁，使弹簧振子在竖直方向做简谐运动，打开手机的磁传感器软件，此时磁传感器记录的磁感应强度变化周期等于弹簧振子振动周期； (3)某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图(b)所示，从图中可以算出弹簧振子振动周期T＝　　　　(用“t0”表示)；  (4)改变钩码质量，重复上述步骤； (5)实验测得数据如下表所示，分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是　　　(填“线性的”或“非线性的”)；  m/kg 10T/s T/s T2/s2 0.015 2.43 0.243 0.059 0.025 3.14 0.314 0.099 0.035 3.72 0.372 0.138 0.045 4.22 0.422 0.178 0.055 4.66 0.466 0.217 (6)设弹簧的劲度系数为k，根据实验结果并结合物理量的单位关系，弹簧振子振动周期的表达式可能是　　　　　　(填正确答案标号)；  A.2π B.2π C.2π D.2πk (7)除偶然误差外，写出一条本实验中可能产生误差的原因：_____________________________。 8.某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。 (1)用游标卡尺测量摆球直径d。当测量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为　　　　　 mm。  (2)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1 mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为　　　　 m/s2(保留3位有效数字)。  (3)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图丙所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是　　　　　　　　　　　　，原因是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。  迁移创新 9.某同学用如图甲所示的实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。细线的一端固定在一力传感器触点上，力传感器与电脑屏幕相连，能直观显示细线的拉力大小随时间的变化情况，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器，记录小球经过光电门的次数及时间。 (1)用游标卡尺测量摆球直径d，结果如图乙所示，则摆球直径d＝　　　　　 cm；  (2)将摆球从平衡位置拉开一个合适的角度，由静止释放摆球，摆球在竖直平面内稳定摆动后，启动数字计时器，摆球某次通过光电门时从1开始计数计时，当摆球第n次(n为大于3的奇数)通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T＝　　　　　(用t、n表示)。此过程中计算机屏幕上得到如图丙所示的F－t图像，可知图像中两相邻峰值之间的时间间隔为　　　　　。  (3)若在某次实验时该同学未测量摆球直径d，在测得多组细线长度l和对应的周期T后，画出l－T2图像。在图线上选取M、N两个点，找到两点相应的横、纵坐标。如图丁所示，利用该两点的坐标可得重力加速度表达式g＝　　　　　，理论上图线在纵轴截距的绝对值等于　　　　　　。  学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $